经济数学（第三版） 课件 第三章 边际成本和收益的计算

第三章

边际成本和收益的计算目

录CONTENTS1边际成本问题及解决方案2使用MathStudio讨论边际问题3进一步学习的数学知识：微分法MarginalcostproblemsandSolutionsUsingMathstudiotodiscussmarginalissuesFurthermathematicsknowledge:differentialmethod1边际成本问题及解决方案MarginalcostproblemsandSolutions一、问题引入引例秋收季节，一农妇到田间拾麦穗，第一天能拾回10斤麦穗，以后每天拾到的麦穗会越来越少.假设每天都少拾回1斤麦穗，而农妇每天需要多消耗的麦穗为2斤，那么什么时候就不应该再去拾麦穗了？到第9天的时候，农妇拾回的麦穗数量为2斤，预计第10天时她拾回的麦穗数量为1斤，少于她多消耗的麦穗数量，所以第10天农妇就不应该去了.经济学中，将1斤称为农妇第10天拾麦穗的边际收益.【问题分析】二、边际成本问题及解决方案解例3.1我们以成本函数为例，考查产量第一步：求

（1）在处的变化率；（2）在处的变化率。二、边际成本问题及解决方案第二步：求平均变化率第三步：求极限，当无限趋近0时，函数的值无限趋近，即所以，成本函数在处的变化率为同理，成本函数在处的变化率为三、导数的定义及经济意义

自变量：

函数值：

1.导数的定义（1）求增量:（2）算比值：（3）取极限：例3.2

设函数

，求.解三、导数的定义及经济意义1.导数的定义如果函数y=f(x)

在开区间I内的每点处都可导，就称函数f(x)

在开区间I内可导。对于任一𝒙∈𝑰，都对应着𝒇(𝒙)的一个确定的导数值。这个函数就叫做原来函数𝒇(𝒙)的导函数

。三、导数的定义及经济意义1.导数的定义(1)求增量:(2)算比值：

(3)取极限：例3.3

求常数函数

的导数.解三、导数的定义及经济意义三、导数的定义及经济意义(1)求增量:(2)算比值：

(3)取极限：例3.4

求函数

的导数

及在点

处的导数值即从而得解三、导数的定义及经济意义三、导数的定义及经济意义

定义3.3设生产某种产品的总成本函数为，当总成本函数可导时，其导数叫做产量为时的边际成本。定义3.4经济意义当产量为Q个单位产品时，再生产一个单位产品，总成本的增量为。2.导数的经济意义三、导数的定义及经济意义因为所以，产量为100件时的边际成本为例3.5生产某产品件时的总成本函数为求产量为100件时的边际成本。(百元/件)(百元/件)(元/件)（百元），解四、求导法则

函数的和、差求导法则函数的乘积求导法则函数的商求导法则特别地

导数的四则运算法则四、求导法则

设，求例3.6例3.7设

，求解解四、求导法则

设，求例3.8例3.9设，求解解四、求导法则例3.10设，求解2使用MathStudio讨论边际问题UsingMathstudiotodiscussmarginalissues一、使用MathStudio求导数求例3.11的导数第二步：回车，显示求导结果为第一步：在指令区输入D(x^2)，求的导数,默认为1阶导数解二、边际分析典型案例例3.12求成本函数以及产量Q分别为50、100、200时的边际成本，指出其经济意义.的边际成本函数，解在指令区输入D(0.001Q^3-0.3Q^2+40Q+2000)1.边际成本问题二、边际分析典型案例当产量为50、100、200时的边际成本分别为经济意义：在产量分别为50、100、200的基础上再生产一个单位产品，总成本的增加分别为17.5、10、40.二、边际分析典型案例经济意义当销量为个单位产品时，再销售一个单位产品，总收益的增量为。设销售某种产品

个单位时的总收益函数为。当总收益函数可导时，其导数叫做销量为时的边际收益.定义3.52.边际收益问题二、边际分析典型案例（1）边际收益函数为（元／台）（2）销量为200台时的边际收益为（元／台）例3.13销售某商品Q台的收入函数为（元），试求：（1）边际收益函数；（2）销量为200台时的边际收益。解二、边际分析典型案例设某产品的收入函数为（元），试求：（1）边际收入函数；（2）产量分别为9000、10000、11000台时的边际收入，并说明其经济意义。（1）边际收入函数为（元／台）（2）（元）（元）（元）增加一个单位产品，收益增加20元增加一个单位产品，收益增加20元增加一个单位产品，收益减少20元例3.8解二、边际分析典型案例经济意义当销量为个单位产品时，再销售一个单位产品，总利润的增量为。设销售某种商品

个单位时的利润函数为。当可导时，称为销售量为个单位时的边际利润定义3.6因于是可得即边际利润等于边际收入与边际成本之差3.边际利润问题二、边际分析典型案例

边际利润函数为

再多生产1吨，总利润将增加150元再多生产1吨，总利润没有变化再多生产1吨，总利润就要减少50元生产决策者不能只盲目地追求产量，还需根据利润的变化情况，确定适当的产量指标。例3.15解二、边际分析典型案例苹果价格下降的幅度为引例3.2由于增加了市场供应，近期的水果价格有所下调.张阿姨去超市买水果，发现苹果的价格由原来的每千克9元下降到每千克7元，而香蕉的价格由原来的每千克8元下降到每千克6.5元，张阿姨算了一笔账：香蕉价格下调的幅度为4.需求价格弹性分析二、边际分析典型案例价格的相对改变量为需求量的相对改变量为调价前调价后单价需求量单价需求量10035095420需求量对价格的相对变化率为引例3.3某商店对某商品的价格进行了调整，由销售记录可以得到调价前后一周单价和需求量的有关数据(见下表).试分析该商品需求量对价格的灵敏度.二、边际分析典型案例设函数，若极限存在，则称此极限值为函数在点处的弹性，记作，即也称为函数的

弹性函数

.定义3.7注意弹性的计算方法及含义:(1)函数弹性的计算公式为(2)函数的弹性反映了函数对自变量变化的灵敏度，它表示当自变量变化1%时，函数变化.二、边际分析典型案例因为

例3.16所以时的弹性为解二、边际分析典型案例设商品的需求量是价格的函数：(即需求函数)，则称为商品的需求价格弹性，简称需求弹性.定义3.8(1)在当前的价格水平和需求量基础上，如果商品的价格上涨（下跌）1%，需求量会下降（上升）(2)如果，需求量的下降幅度大于价格的上涨幅度，需求量对价格的灵敏度高，这时，我们称该商品的需求富有弹性；如果，则称该商品的需求缺乏弹性；如果，则称该商品的需求具有单位弹性；如果，则称该商品的需求完全没有弹性；如果，则称该商品的需求具有完全弹性.经济意义二、边际分析典型案例

例3.17解二、边际分析典型案例(2)求𝑝=5、10、15时的需求弹性,并说明其经济意义表示商品的价格时，如果价格上涨1%，需求量会下降0.5%，此时该商品的需求缺乏弹性.表示商品的价格时，如果价格上涨1%，需求量会下降1%，此时该商品的需求具有单位弹性.表示商品的价格时，如果价格上涨1%，需求量会下降1.5%，此时该商品的需求富有弹性.3进一步学习的数学知识：微分法Mathematicalknowledgeforfurtherstudy:differentialmethod一、微分的定义设边长为的正方形,当边长增加很小的时,其面积近似地增加多少？设正方形的面积为,面积的增加部分为例3.17解一、微分的定义设函数在点处可导,则称为函数在点处的微分,记作,即此时，也称函数定义3.9在点处可微.如果函数在任意点处可导,则称为函数在点处的微分,简称函数的微分,记作导数也称微商一、微分的定义

求函数

的微分.例3.18（1）求导数（2）求微分

设函数，求当例3.19时，函数的微分和函数的改变量.当时表明当较小时，，这个结论具有一般性解解二、复合函数的导数与微分函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数如果函数

在对应点处可导，则复合函数

定理3.2

推广多变量二、复合函数的导数与微分函数由复合而成

设，求

.例3.20函数由复合而成

设，求

.例3.21解解二、复合函数的导数与微分

设，求

.例3.22

设，求.例3.23函数由复合而成解解二、复合函数的导数与微分

设，求.例3.24先用积的求导法则,得在计算时,用复合函数求导法则,于是解二、复合函数的导数与微分

设，求.例3.25先用商的求导法则,得在计算时,用复合函数求导法则,于是解二、复合函数的导数与微分

设，求.例3.26解二、复合函数的导数与微分

求函数的微分.例3.27计算函数的导数所以微分解三、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数如是显函数由方程确定的函数为隐函数设方程确定了关于的函数，并且可导，将方程两边同时对求导，并将看成的函数，便可得到隐函数的导数了.函数称为显函数，而方程所确定的函数称为隐函数.1.隐函数的导数求由方程的导数.例3.28确定的函数方程两边对求导，得解出，可得函数的导数为解三、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数1.隐函数的导数确定了与的关系，则称函数为由上述参数方程所确定的函数.设为参数，如果参数方程三、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数2.由参数方程所确定的函数的导数于是得到由参数方程所确定的函数的导数计算公式为如果函数都可导，且，又的反函数单调连续，则由参数方程所确定的函数可看成与复合而成的函数，根据复合函数的求导法则，有三、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数2.由参数方程所确定的函数的导数由于，例3.29设参数方程，求确定了函数解三、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数所以有如果函数的导数在处可导，则称的导数为函数的二阶导数，记作，或四、二阶导数

求函数的二阶导数.例3.30解四、二阶导数

设函数，求.例3.31所以解五、二元函数的偏导数定义3.10二元函数在点所取得的函数值记为

设有三个变量和，如果当变量在一定范围内任意取定一对数值时，变量按照一定的对应法则总有唯一确定的数值与它们对应，则称是的二元函数。记作，其中称为自变量，称为因变量.自变量