高考数学二轮复习 第2部分 大专题综合测4 立体几何 文（含解析）试题

4立体几何(文)时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·山东潍坊市质检)已知三条不同的直线m，n，l和两个不同的平面α，β，则下列命题正确的是()A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥αC．若l⊥n，m⊥n，则l∥mD．若l⊥α，m⊥β，且l⊥m，则α⊥β[答案]D[解析]若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，故A不正确；若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n与α相交或n∥α或n⊂α，故B不正确；若l⊥n，m⊥n，则l与m相交、平行或异面，故C不正确；若l⊥α，m⊥β，且l⊥m，则由线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理知α⊥β，故D正确．2．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为()A．6＋eq\r(5)B．6＋2eq\r(5)C．8＋eq\r(5) D．8＋2eq\r(5)[答案]D[解析]由三视图可知该几何体为一横放的直三棱柱，其中底面正对观察者，为一直角三角形，两直角边长分别为1,2，棱柱的高为2，故其表面积S＝(2＋1＋eq\r(5))×2＋2×1＝8＋2eq\r(5).3．如图是一个空间几何体的三视图，这个几何体的体积是()A．2π B．4πC．6π D．8π[答案]D[解析]由图可知该几何体是一个圆柱内挖去一个圆锥所得的几何体，V＝V圆柱－V圆锥＝π×22×3－eq\f(1,3)π×22×3＝8π，故选D．4.在正四面体(棱长都相等的四面体)A－BCD中，棱长为4，M是BC的中点，点P在线段AM上运动(P不与A、M重合)，过点P作直线l⊥平面ABC，l与平面BCD交于点Q，给出下列命题：①BC⊥平面AMD；②Q点一定在直线DM上；③VC－AMD＝4eq\r(2).其中正确的是()A．①② B．①③C．②③ D．①②③[答案]A[解析]由BC⊥AM，BC⊥MD，可得BC⊥平面AMD，即①正确；由BC⊥平面AMD可得平面AMD⊥平面ABC，则若过P作直线l⊥平面ABC，l与平面BCD交于点Q，Q点一定在直线DM上，即②正确；由VC－AMD＝eq\f(1,2)VC－ABD＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),12)×43＝eq\f(8\r(2),3)，即③不正确，综上可得正确的命题序号为①②，故应选A.5．(2015·淄博市质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.eq\f(πa3,6) B．eq\f(πa3,3)C.eq\f(2πa3,3) D．πa3[答案]A[解析]由三视图可知该几何体为一个圆锥的eq\f(1,4)，其中圆锥的底面圆的半径为a，高为2a，所以该几何体的体积V＝(eq\f(1,3)×πa2×2a)×eq\f(1,4)＝eq\f(πa3,6).故选A.6．已知α、β、γ是三个不重合的平面，m、n是不重合的直线，下列判断正确的是()A．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γB．若α⊥β，l∥β，则l∥αC．若m∥α，n∥α，则m∥nD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n[答案]D[解析]A错，两平面还可垂直；B错，还可能有l⊂α；C错，两直线m，n的位置关系不确定；D正确，垂直于同一平面的两直线互相平行．7．(2015·临沂八校质检)若四棱锥P－ABCD的底面ABCD为正方形，且PD垂直于底面ABCD，N为PB的中点，则三棱锥P－ANC与四棱锥P－ABCD的体积之比为()A.eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D．eq\f(1,4)[答案]D[解析]本题考查空间几何体的体积．四棱锥P－ABCD的体积易求，关键是把三棱锥P－ANC的体积用四棱锥P－ABCD的高和底面积表示出来．设正方形ABCD的面积为S，PD＝h，则所求体积之比为eq\f(V三棱锥P－ANC,V四棱锥P－ABCD)＝eq\f(V四棱锥P－ABCD－V三棱锥N－ABC－V三棱锥P－ADC,V四棱锥P－ABCD)＝eq\f(\f(1,3)Sh－\f(1,3)·\f(1,2)S·\f(1,2)h－\f(1,3)·\f(1,2)Sh,\f(1,3)Sh)＝eq\f(1,4).8.如图，正△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是()A．动点A′在平面ABC上的投影在线段AF上B．恒有平面A′GF⊥平面BCEDC．三棱锥A′－FED的体积有最大值D．异面直线A′E与BD不可能垂直[答案]D[解析]由题意，DE⊥平面AGA′，∴A、B、C正确，故选D．9．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为AB的中点，则点C到平面A1DMA.eq\f(\r(6),3)a B．eq\f(\r(6),6)aC.eq\f(\r(2),2)a D．eq\f(1,2)a[答案]A[解析]设点C到平面A1DM的距离为h，则由已知得DM＝A1M＝eq\r(a2＋\f(a,2)2)＝eq\f(\r(5),2)a，A1D＝eq\r(2)a，S△A1DM＝eq\f(1,2)×eq\r(2)a×eq\r(\f(\r(5),2)a2－\f(\r(2),2)a2)＝eq\f(\r(6),4)a2，连接CM，S△CDM＝eq\f(1,2)a2，由VC－A1DM＝VA1－CDM，得eq\f(1,3)S△A1DM·h＝eq\f(1,3)S△CDM·a，即eq\f(\r(6),4)a2·h＝eq\f(1,2)a2·a，得h＝eq\f(\r(6),3)a，所以点C到平面A1DM的距离为eq\f(\r(6),3)a，选A.10．(2015·河南六市联考)一个几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的体积是()A．1 B．2C．3 D．4[答案]D[解析]由三视图知该几何体是如图所示的四棱锥P－ABCD，其中底面ABCD是直角梯形，侧面ABP是Rt△，且侧面PAB⊥底面ABCD，故其体积为V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)(2＋4)×2×2＝4.11．(2015·潍坊市质检)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，底面△ABC是边长为1的正三角形，棱SC是球O的直径且SC＝2，则此三棱锥的体积为()A.eq\f(\r(2),6) B．eq\f(\r(3),6)C.eq\f(\r(2),3) D．eq\f(\r(2),2)[答案]A[解析]过点B作BD⊥SC于点D，连接AD，因为△SBC≌△SAC，所以AD⊥SC，又BD∩AD＝D，所以SC⊥平面ABD，因为SB⊥BC，SC＝2，BC＝1，所以BD＝AD＝sin60°＝eq\f(\r(3),2)，又AB＝1，所以S△ABD＝eq\f(1,2)×1×eq\r(\f(\r(3),2)2－\f(1,2)2)＝eq\f(\r(2),4)，所以V三棱锥S－ABC＝eq\f(1,3)×S△ABD×SC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×2＝eq\f(\r(2),6).12．如图所示，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1,E、F分别是棱AA′、CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM＝x，x∈[0,1]，给出以下四个命题：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②当且仅当x＝eq\f(1,2)时，四边形MENF的面积最小；③四边形MENF周长L＝f(x)，x∈[0,1]是单调函数；④四棱锥C′－MENF的体积V＝h(x)为常函数；以上命题中假命题的序号为()A．①④ B．②C．③ D．③④[答案]C[解析]AC⊥平面BDD′B′，EF∥AC，∴EF⊥平面BDD′B′，∴①正确；∵EF为所在棱的中点，由对称性及条件知四边形EMFN为菱形，其面积随着对角线MN的增大而增大，当x＝eq\f(1,2)时，M为BB′的中点，此时MN取最小值，∴②正确，③错误；V四棱锥C′－MENF＝2VC′－MEF＝2VE－MFC′为常数，∴V＝h(x)为常函数．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P－ABC[答案]1[解析]依题意得三棱锥P－ABC的主视图与左视图均为三角形，且这两个三角形的底边长都等于正方体的棱长，底边上的高也都相等，因此三棱锥P－ABC的主视图与左视图的面积之比等于1.14．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.[答案]30[解析]本题考查三视图及柱体体积公式．由三视图知该几何体由一个棱长为3,4,2的长方体和一个底面是直角梯形高为4的直棱柱组成，则体积V＝3×4×2＋eq\f(2＋1,2)×1×4＝30.15．已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD的中点，则①棱AB与PD所在直线垂直；②平面PBC与平面ABCD垂直；③△PCD的面积大于△PAB的面积；④直线AE与平面BF是异面直线．以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号)[答案]①③[解析]由条件可得AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD，故①正确；若平面PBC⊥平面ABCD，由PB⊥BC，得PB⊥平面ABCD，从而PA∥PB，这是不可能的，故②错；S△PCD＝eq\f(1,2)CD·PD，S△PAB＝eq\f(1,2)AB·PA，由AB＝CD，PD>PA知③正确；由E、F分别是棱PC、PD的中点，可得EF∥CD，又AB∥CD，∴EF∥AB，故AE与BF共面，④错，故填①③.16．(2014·邯郸一模)已知直角梯形ABCD，AB⊥AD，CD⊥AD，AB＝2AD＝2CD＝2沿AC折成三棱锥，当三棱锥体积最大时，求此时三棱锥外接球的体积________．[答案]eq\f(4,3)π[解析]在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB＝2AD＝2CD＝2，∴AB＝2，AD＝1，CD＝1，∴AC＝eq\r(2)，BC＝eq\r(2)，∴BC⊥AC，取AC的中点E，AB中点O，当三棱锥体积最大时，平面DCA⊥平面ACB，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴OB＝1，∴V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，DC∥AB，DC＝1，AB＝4，BC＝2eq\r(3)，∠CBA＝30°.(1)求证：AC⊥PB；(2)当PD＝2时，求此四棱锥的体积．[解析](1)∵PC⊥平面ABCD，∴PC⊥AC，又∠CBA＝30°，BC＝2eq\r(3)，AB＝4，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BCcos∠CBA)＝eq\r(16＋12－2×4×2\r(3)×\f(\r(3),2))＝2，∴AC2＋BC2＝4＋12＝16＝AB2，∴∠ACB＝90°，故AC⊥BC.又∵PC、BC是平面PBC内的两条相交直线，故AC⊥平面PBC，∴AC⊥PB．(2)当PD＝2时，作CE⊥AB交AB于E，在Rt△CEB中，CE＝CB·sin30°＝2eq\r(3)×eq\f(1,2)＝eq\r(3)，又在Rt△PCD中，DC＝1，∴PC＝eq\r(3)，∴VP－ABCD＝eq\f(1,3)·PC·SABCD＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\f(1,2)(1＋4)×eq\r(3)＝eq\f(5,2).18．(本题满分12分)(2014·山西太原检测)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF＝3，G和H分别是CE和CF的中点．(1)求证：AC⊥平面BDEF；(2)求证：平面BDGH//平面AEF；(3)求多面体ABCDEF的体积．[解析](1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD．又因为平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD＝BD，且AC⊂平面ABCD，所以AC⊥平面BDEF.(2)证明：在△CEF中，因为G、H分别是CE、CF的中点，所以GH∥EF，又因为GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以GH∥平面AEF.设AC∩BD＝O，连接OH，在△ACF中，因为OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF，又因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，所以OH∥平面AEF.又因为OH∩GH＝H，OH，GH⊂平面BDGH，所以平面BDGH∥平面AEF.(3)解：由(1)，得AC⊥平面BDEF，又因为AO＝eq\r(2)，四边形BDEF的面积SBDEF＝3×2eq\r(2)＝6eq\r(2)，所以四棱锥A－BDEF的体积V1＝eq\f(1,3)×AO×SBDEF＝4.同理，四棱锥C－BDEF的体积V2＝4.所以多面体ABCDEF的体积V＝V1＋V2＝8.19．(本题满分12分)(2015·洛阳市期末)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，且AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：OM∥平面PAB；(2)求证：平面PBD⊥平面PAC；(3)当三棱锥M－BCD的体积等于eq\f(\r(3),4)时，求PB的长．[解析](1)∵在△PBD中，O、M分别是BD、PD的中点，∴OM是△PBD的中位线，∴OM∥PB，OM⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，∴OM∥平面PAB．(2)∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD．∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，AC∩PA＝A，∴BD⊥平面PAC.∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC，(3)因为底面ABCD是菱形，M是PD的中点，所以VM－BCD＝eq\f(1,2)VM－ABCD＝eq\f(1,4)VP－ABCD，从而VP－ABCD＝eq\r(3).又AB＝2，∠BAD＝60°，所以S菱形ABCD＝2eq\r(3).∵四棱锥P－ABCD的高为PA，∴eq\f(1,3)×2eq\r(3)×PA＝eq\r(3)，得PA＝eq\f(3,2)，∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB．在Rt△PAB中，PB＝eq\r(PA2＋AB2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＋22)＝eq\f(5,2).20．(本题满分12分)(2014·威海两校质检)如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝2，E是侧棱PC上的动点．(1)求四棱锥P－ABCD的体积；(2)如果E是PA的中点，求证PC∥平面BDE；(3)是否不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE？证明你的结论．[解析](1)∵PA⊥平面ABCD，∴VP－ABCD＝eq\f(1,3)S正方形ABCD·PA＝eq\f(1,3)×12×2＝eq\f(2,3).即四棱锥P－ABCD的体积为eq\f(2,3).(2)连接AC交BD于O，连接OE.∵四边形ABCD是正方形，∴O是AC的中点．又∵E是PA的中点，∴PC∥OE.∵PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴PC∥平面BDE.(3)不论点E在何位置，都有BD⊥CE.证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC.∵PA⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA.又∵AC∩PA＝A，∴BD⊥平面PAC.∵不论点E在何位置，都有CE⊂平面PAC.∴不论点E在何位置，都有BD⊥CE.21．(本题满分12分)(2015·海淀区期末)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，又AD∥BC，AD⊥DC，且BC＝PD＝3AD＝3.(1)画出四棱锥P－ABCD的正视图；(2)求证：平面PAD⊥平面PCD；(3)求证：棱PB上存在一点E，使得AE∥平面PCD，并求eq\f(PE,EB)的值．[解析](1)四棱锥P－ABCD的正视图如图所示．(2)证明：因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PD⊥AD．因为AD⊥DC，PD∩CD＝D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AD⊥平面PCD．因为AD⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面PCD．(3)证明：当eq\f(PE,EB)＝eq\f(1,2)时，AE∥平面PCD．理由如下：分别延长CD，BA交于点O，连接PO.因为AD∥BC，BC＝3AD，所以eq\f(OA,OB)＝eq\f(AD,BC)＝eq\f(1,3)，即eq\f(OA,AB)＝eq\f(1,2).所以eq\f(OA,AB)＝eq\f(PE,EB)，所以AE∥OP.因为OP⊂平面PCD，AE⊄平面PCD，所以AE∥平面PCD．22．(本题满分12分)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BB1＝BC，AC1⊥平面A1BD，D为AC(1)求证：B1C∥平面A1BD(2)求证：B1C1⊥平面ABB1A(3)在CC1上是否存在一点E，使得∠BA1E＝45°，若存在，试确定E的位置，并判断平面A1BD与平面BDE是否垂直？若不存在，请说明理由．[分析](1)连接AB1，交A1B于M，则MD就是平面A1BD内与B1C平行的直线；(2)需在平面ABB1A1中找两条相交直