高考数学一轮复习 第四章 平面向量 热点专题突破二 三角函数与平面向量的综合问题习题 理试题

热点专题突破二三角函数与平面向量的综合问题1.(2016·黑龙江牡丹江一中月考)在△ABC中,m=(2a-c,cosC),n=(b,cosB)且m∥n.(1)求角B的大小;(2)若b=1,当△ABC面积取最大时,求△ABC内切圆的半径.1.【解析】(1)由已知得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,即2sinAcosB=sin(B+C),∴cosB=,B=.(2)由(1)得B=,又b=1,在△ABC中,b2=a2+c2-2accosB得b2=a2+c2-ac,即1+3ac=(a+c)2.又∵(a+c)2≥4ac,得1+3ac≥4ac,即ac≤1,∴S△ABC=acsinB=ac≤.当且仅当a=c=1时,S△ABC最大值为,此时由S△ABC=(a+b+c)r,r=.2.(2016·福建大田一中月考)如图,以Ox正半轴为始边作角α(0<α<π),终边与单位圆相交于点P,已知点P的坐标为.角α终边逆时针旋转β0<β<π后,与单位圆交于点Q,函数f(β)=.(1)求的值;(2)若关于β的方程f(β)+sinβ+2k=0在0<β<π上有两个不同的解,求k的取值范围.2.【解析】(1)由三角函数定义得cosα=-,sinα=,∴原式==2cos2α=2×.(2)由三角函数定义得Q(cos(α+β),sin(α+β)),∴f(β)==-cos(α+β)+sin(α+β)=-(cosαcosβ-sinαsinβ)+(sinαcosβ+cosαsinβ)=cosβ.∴原方程可转化为-2k=sinβ+cosβ=sin,即k=-sin,由图象知-<k<-<k<.∴k的取值范围是.3.(2015·四川雅安中学模拟)已知向量=2cos,-1,,定义函数f(x)=.(1)求函数f(x)的表达式,并指出其最大值和最小值;(2)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且f(A)=1,bc=8,求△ABC的面积S.3.【解析】(1)∵f(x)==(-2sinx,-1)·(-cosx,cos2x)=sin2x-cos2x=sin,∴f(x)的最大值和最小值分别是和-.(2)∵f(A)=1,∴sin.∴2A-或2A-,即A=或A=.又∵△ABC为锐角三角形,∴A=.∵bc=8,∴△ABC的面积S=bcsinA=×8×=2.4.平面内有三个点A(2,0),B(0,2),C(cosα,sinα)(其中α∈(0,π)),点O为坐标原点,且||=.(1)求a的值;(2)求向量的夹角.4.【解析】(1)由题可知向量的坐标为(2+cosα,sinα),∴由||=可知,解得cosα=,又∵α∈(0,π),∴α=.(2)由(1)可知C(cosα,sinα),即为C,∴,||=,∴cos<>==-,又<>∈(0,π),∴<>=.∴向量的夹角为.5.(2015·山东师大附中一模)已知m=2cos,cosx,n=,且函数f(x)=m·n+1.(1)设方程f(x)-1=0在(0,π)内有两个零点x1,x2,求x1+x2的值;(2)若把函数y=f(x)的图象向左平移个单位,再向下平移2个单位,得函数g(x)图象,求函数g(x)在上的单调增区间.5.【解析】(1)由题设知f(x)=-sin2x+1+cos2x+1=cos+2,∵f(x)-1=0,∴cos+2=1,∴cos=-,∴2x+=2kπ+或2x+=2kπ+,k∈Z,得x=kπ+或x=kπ+,∵x∈(0,π),得x1=,x2=,∴x1+x2=.(2)y=f(x)图象向左平移个单位,得y=cos+2=cos2x++2=-sin+2,再向下平移2个单位得g(x)=-si