2023年广西五市高考仿真卷数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设i为虚数单位，2为复数，若且+i为实数机，则机=()

Z

A.一1B.0C.1D.2

2.若函数=//一。恰有3个零点，则实数”的取值范围是()

A.(―,+00)B.(0,—)C.(0,4e-)D.(0,+oo)

3.如图，已知三棱锥中，平面平面ABC,记二面角。—AC—3的平面角为a,直线D4与平面

A8C所成角为直线AB与平面ADC所成角为则()

A.a>/3>yB.f3>a>yC.a>y>/3D.y>a>f3

4.若不等式aln(x+l)-》3+2》2>0在区间(o,+8)内的解集中有且仅有三个整数，则实数。的取值范围是()

F9321(932]

A，121n2,而」(21n2,而J

f9321(91

121n2ln5j121n2)

3

5.一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是“则判断框中应填入的条件是()

C.z>4?D.i<4?

6.I-X2-4=|的展开式中有理项有（）

（2郎）

A.3项B.4项C.5项D.7项

7.要得到函数y=2sin2x+£的图象,只需将函数y=2cos2x的图象

A.向左平移・个单位长度

B.向右平移!•个单位长度

C.向左平移J个单位长度

O

D.向右平移J个单位长度

6

sini---!—,l<x<3

8.已知函数={2,若函数/（x）的极大值点从小到大依次记为4；%?%，并记相应的极

2/（x-2）,3<x<100

大值为伪也，?•也，则t（4+〃）的值为（）

/=1

A.250+2449B.250+2549C.249+2449D.249+2549

0<2x+y<6

9.若MV满足约束条件，',则z=x+2），的最大值为（）

3<x-y<6,

A.10B.8C.5D.3

10.要得到函数y=6sin无-专的图象，只需将函数y=6sin2尤一?图象上所有点的横坐标()

7T

A.伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向右平移了个单位长度

B.伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图像向左平移,个单位长度

4

C.缩短到原来的一1倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移5兰万•个单位长度

224

D.缩短到原来的，倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向右平移口二个单位长度

224

11.若(l+ax)(l+x)5的展开式中产,尤3的系数之和为一］0,则实数a的值为()

A.-3B.-2C.-1

12.已知函数/(x)=|一"一"+3，""1,若关于》的方程式*)=履一"1恰有4个不相等的实数根，则实数々的取值范

Inx,x>12

围是()

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知双曲线的一条渐近线为y=2x,且经过抛物线y2=4x的焦点，则双曲线的标准方程为,

14.已知多项式（尤+2）'"。+1）"=4++…+4”+满足/=4，a,=16,则—+〃=

aQ+a1+a2+•••+ani+n=-------------.

15.满足约束条件1万|+2卜区2的目标函数2=y-％的最小值是.

16.函数/(x)满足/(x)=/(x-4),当xe［—2,2)时，/(x)=<2'+"+"'""""，若函数/(x)在［0,2020)

\\-x,a<x<2

上有1515个零点，则实数。的范围为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(x)=；|x-a|(aeR).

(1)当a=2时，解不等式x-g+/(x)21；

(2)设不等式x-g+/(x)Wx的解集为例，若cM,求实数。的取值范围.

18.(12分)已知函数/.(x)=eX-xlnx+ar,/'(x)为的导数，函数/'(x)在x=/处取得最小值.

(1)求证：lnx0+x0=0；

(2)若"/时，恒成立，求。的取值范围.

19.(12分)已知｛4｝是等差数列，满足q=3,a4=12,数列也｝满足a=4,d=20,且也一。“｝是等比数

列.

(1)求数列&｝和也｝的通项公式；

(2)求数列也,｝的前〃项和.

20.(12分)如图，在四棱锥P—A3CDP-ABCD中，△B46是等边三角形，BC±AB，BC=CD=243>

AB=AD=2.

⑴若PB=3BE,求证：AE〃平面PC。；

(2)若PC=4,求二面角A-PC—B的正弦值.

21.（12分）已知（x+1）”=4+q（工-1）+%（为一D~+—I），+…+a”（x-1）”,（其中〃eN*）

SfJ=4+见+/+•••+"〃•

⑴求S„；

（2）求证：当〃24时，工>（〃-2）2"+2/.

22.（10分）在AABC中，角A,B,。所对的边分别为a,b,c,且a=/?cosC+csin3.

(1)求B的值;

7

⑵设44c的平分线AD与边交于点。，已知4。=了，cosA求匕的值.

25

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

|z|a+(sja2+b2-b\i,______

可设z=a+4(“SeR),将U+i化简，得到1),由复数为实数，可得正寿-6=0,解方程即

zyla2+b2

可求解

【详解】

设z=a+bi(a,bwR),则目+j=3+6+/=&+*叫+,=a+(^cr+b--b^.

22l2

za+bia+b1a+b

由题意有5+从-1=ona=o,所以加=0.

故选：B

【点睛】

本题考查复数的模长、除法运算，由复数的类型求解对应参数，属于基础题

2.B

【解析】

求导函数，求出函数的极值，利用函数/。)=//一。恰有三个零点，即可求实数。的取值范围.

【详解】

函数y=//的导数为y'=2xe*+Ye'=xe'(x+2),

令y'=0,则x=0或-2,

-2<x<0上单调递减，(f,-2),(0,+8)上单调递增,

所以0或-2是函数y的极值点,

函数的极值为：/(0)=0,/(-2)=de-=±,

e

函数/(幻=/d一”恰有三个零点，则实数的取值范围是：(0,《).

故选B.

【点睛】

该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象

的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大.

3.A

【解析】

作AB于O',OE，AC于E，分析可得a=?DED',P=NOAD',再根据正弦的大小关系判断分析得a>p,

再根据线面角的最小性判定P>y即可.

【详解】

作。£>'，钻于。_LAC于£：.

因为平面DAB，平面ABC,，平面A8C.故AC_LDE,AC_L,

故AC,平面。EDI故二面角。—AC—3为&=2DED'.

又直线DA与平面ABC所成角为6=ZDAD'，因为ZM3,

DD'DD'

故sin?DED'——?——5皿？。4。'.故。之力,当且仅当4£重合时取等号.

DEDA

又直线AB与平面AOC所成角为九且力=ND4。'为直线AB与平面ADC内的直线AO所成角，故£2人当且仅

当区D，平面ADC时取等号.

故

B

故选：A

【点睛】

本题主要考查了线面角与线线角的大小判断，需要根据题意确定角度的正弦的关系，同时运用线面角的最小性进行判定.

属于中档题.

4.C

【解析】

由题可知，设函数/(x)=aln(x+l),g(x)=d_2f,根据导数求出g(x)的极值点，得出单调性，根据

«ln(x+l)-?+2x2>0在区间(0,+8)内的解集中有且仅有三个整数，转化为/(x)>g(x)在区间(0,+00)内的解集

中有且仅有三个整数，结合图象，可求出实数”的取值范围.

【详解】

设函数/(x)=aln(x+l),g(x)=x3-2x2,

因为g'(x)=3炉-4x,

所以g'(x)=0,

-4

，》=0或％=—>

3

4

因为0<x<1时，g<x)<0,

4

或x<0时，g'(x)>0,g(0)=g(2)=0,其图象如下：

当〃,,()时，/(x)>g(x)至多一个整数根;

；)>g⑶

当。>0时，/(x)>g(x)在(0,+8)内的解集中仅有三个整数，只需

1),,g(4)

aln4>33-2x32

tzln5„43-2x42

故选：C.

【点睛】

本题考查不等式的解法和应用问题，还涉及利用导数求函数单调性和函数图象，同时考查数形结合思想和解题能力.

5.D

【解析】

首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质，然后对循环体进行分析，找出循环规律，判断输出结果与循环次

数以及i的关系，最终得出选项.

【详解】

经判断此循环为“直到型”结构，判断框为跳出循环的语句，

第一次循环：S=O+」一=L,i=l+l=2；

1x22

]17

第二次循环：5=七+'一=*,i=2+l=3；

22x33

213

第三次循环：S=—+——i=3+l=4,

33x44

此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句，.1•<4?,故选D.

【点睛】

题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框

和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处

理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序，(6)在给出程序框图求解输出结果的试题

中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.

6.B

【解析】

由二项展开式定理求出通项，求出x的指数为整数时厂的个数，即可求解.

【详解】

加=(-1丫21。//3，OWrWlO，

当r=0,3,6,9时，为有理项，共4项.

故选:B.

【点睛】

本题考查二项展开式项的特征，熟练掌握二项展开式的通项公式是解题的关键，属于基础题.

7.D

【解析】

先将)'=2$皿［2苫+?)化为>=28$

,根据函数图像的平移原则，即可得出结果.

2T

【详解】

因为y=2sin|2x+—=2cos2x=2cos

\6Jk3J

所以只需将y=2cos2x的图象向右平移g个单位.

【点睛】

本题主要考查三角函数的平移，熟记函数平移原则即可，属于基础题型.

8.C

【解析】

对此分段函数的第一部分进行求导分析可知，当x=2时有极大值/(2)=1,而后一部分是前一部分的定义域的循环,

而值域则是每一次前面两个单位长度定义域的值域的2倍，故此得到极大值点a„的通项公式％=2n,且相应极大值

n

bn=2-',分组求和即得

【详解】

当时，/(x)=-cosl---I,

显然当x=2时有，/(幻=0,

.•.经单调性分析知

x=2为.f(x)的第一个极值点

又•••3<x4100时，/(x)=2/(x—2)

x=4,x=6,x=S,均为其极值点

•.•函数不能在端点处取得极值

an=2n,1<n<49»neZ

,对应极值以=2"Ll<n<49,neZ

t(ai+bi)=(2+98)x49+1x(13)=?49十244g

/=i21-2

故选：c

【点睛】

本题考查基本函数极值的求解，从函数表达式中抽离出相应的等差数列和等比数列，最后分组求和，要求学生对数列

和函数的熟悉程度高，为中档题

9.D

【解析】

1z1

画出可行域，将Z=x+2），化为y=--X+-，通过平移y=--x即可判断出最优解，代入到目标函数，即可求出最值.

【详解】

解:由约束条件｛°'（作出可行域如图，

3<x-y<6

I2

化目标函数z=x+2y为直线方程的斜截式,y=—万工+耳.由图可知

1z

当直线y=-5X+5过A（3,0）时,直线在丁轴上的截距最大,z有最大值为3.

故选：。

【点睛】

本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域，然后将目标函数转化为y=or+》z的形式，在可行域内通过平移

y=也找到最优解，将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题.

10.B

【解析】

分析：根据三角函数的图象关系进行判断即可.

详解：将函数y=图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），

得到V=\/3sin（—x2x--）=百5加（x—-），

233

再将得到的图象向左平移-个单位长度得到y=Jis泳x--+-)=Jis泳x——)，

43412

故选B.

点睛：本题主要考查三角函数的图象变换，结合。和。的关系是解决本题的关键.

11.B

【解析】

由(1+ax)(.\+x)5=(1+x)5+ax(\+x)5,进而分别求出展开式中F的系数及展开式中的系数，令二者之和等于

-10,可求出实数。的值.

【详解】

由(1+0X)(1+x)5=(1+x)5+ax(l+x)5,

2

则展开式中无2的系数为c；+aC5'=10+5a,展开式中/的系数为C；+aC5=10+10a,

二者的系数之和为(10+5a)+(10“+10)=15a+20=—10,得a=—2.

故选：B.

【点睛】

本题考查二项式定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.

12.D

【解析】

由已知可将问题转化为：y=/(x)的图象和直线有4个交点，作出图象，由图可得：点(1,0)必须在直线

一!的下方，即可求得：A〉?；再求得直线和y=/〃x相切时，k=立;结合图象即可得解.

222e

【详解】

若关于X的方程/(*)=丘一|恰有4个不相等的实数根，

则y=/(x)的图象和直线>=履一;有4个交点.作出函数y=/(x)的图象，如图，

故点(1,0)在直线y=kx——的下方.

I〜।

：.M----->0,解得A>一.

22

当直线》=丘一:和相切时，设切点横坐标为，”，

,1,

,Inm+I.r-

则斤=2=9・・m=Ie・

m

m

此时，4=工=立，汽幻的图象和直线有3个交点，不满足条件，

tne2

故所求k的取值范围是1g，生)，

故选D..

【点睛】

本题主要考查了函数与方程思想及转化能力，还考查了导数的几何意义及计算能力、观察能力，属于难题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.尤2_2_=]

4

【解析】

2

设以直线丫=±2%为渐近线的双曲线的方程为/一宁=4(2*0),再由双曲线经过抛物线y2=4x焦点厂(1,0),能

求出双曲线方程.

【详解】

解：设以直线y=±2x为渐近线的双曲线的方程为/一Y="Xw0),

・・,双曲线经过抛物线产=©焦点F(l,0),

:.1二之，

...双曲线方程为V—2-=1,

4

2

故答案为：X1--=1.

4

【点睛】

本题主要考查双曲线方程的求法，考查抛物线、双曲线简单性质的合理运用，属于中档题.

14.572

【解析】

1,多项式(x+2)(x+1)=a0+axx+a2x~H---1aoi+"x"""满足/=4,q=16

二令x=0,得2"&1"=4=4,则〃z=2

(x+2)"Xx+l)"=(f+4x+4)(x+l)"

•••该多项式的一次项系数为4C；T+4C；Ti=16

:.CT=3

n—3

m+n—5

a

令X=1,得(1+2)-X(1+1)3=4+4+iZ2H---Fm+n=72

故答案为5,72

15.-2

【解析】

可行域|x|+2|y|W2是如图的菱形ABCD,

代入计算,

知2八=0-2=-2为最小.

16.—,0

_2_

【解析】

由已知，〃力在［-2,2)上有3个根，分2>a»l,0<a<l,-l<a<0,—2<aW—l四种情况讨论的单调

性、最值即可得到答案.

【详解】

由已知，“X)的周期为4,且至多在［-2,2)上有4个根，而［0,2020)含505个周期，所以/(X)在［-2,2)上有3个

根，设8*)=2/+3/+。，g'(x)=6d+6x,易知g(x)在(-1,0)上单调递减，在(口,—1),(1,y)上单调递增,

又g(—2)=a-4<0,g⑴=a+5>0.

若2>a21时,/(x)在(a,2)上无根，在［—2,0必有3个根，

。+1>0

则即<八，此时。£0;

,/(0)<0a<0

若0<。<1时,“X)在(。⑵上有1个根，注意到/(0)=a>0,此时“X)在［-2,田不可能有2个根，故不满足;

若—l<a〈O时，要使“X)在［-2,a］有2个根，只需〈二、八，解得一一4a«0；

/(a)<02

若-2<a<—l时，/(x)在［-2,a］上单调递增，最多只有1个零点，不满足题意；

综上，实数。的范围为一］wa«0.

2

故答案为：一；,0

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，涉及到函数的周期性、分类讨论函数的零点，是一道中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

'14'

17.(1){x|xWO或x/1}；(2)

【解析】

(1)使用零点分段法，讨论分段的取值范围，然后取它们的并集，可得结果.

(2)利用等价转化的思想，可得不等式|3x-l|+|x-a|W3x在恒成立，然后解出解集，根据集合间的包含关

系，可得结果.

【详解】

(1)当a=2时，

原不等式可化为|3%-1|+|尤一2|23.

①当xW，时，

3

则一3x+1+2—3=>所以x40；

②当，<x<2时，

3

贝!13x—1—2+x23=xN1,所以lWx<2；

⑧当xN2时，

3

贝！13x—1—2+3nx>—,所以xN2.

2

综上所述：

当a=2时，不等式的解集为{x|x<0或x》l}.

(2)由|x-；|+/(x)Wx,

贝！J|3x-1|+|x-a|<3x,

由题可知：

13x—11+1x-a区3x在—恒成立，

一32.

所以3x-l+|x-a区3x,gp|x-a|<1,

即a—IWxWa+l,

,1

a-\<—,“

..314

所以<=>—<a<—

।、123

a+\>—

[2

「14]

故所求实数”的取值范围是一万,§.

【点睛】

本题考查零点分段求解含绝对值不等式，熟练使用分类讨论的方法，以及知识的交叉应用，同时掌握等价转化的思想,

属中档题.

18.(1)见解析；(2)[1一%+8).

【解析】

(1)对/(x)求导，令g(x)="—lnx+a-l,求导研究单调性，分析可得存在：<10<1使得g'«o)=O,即

"一，=0,即得证；

(2)+x0+a-\..Q,+/两种情况讨论，当-^-+/+。-1..0时，转化

无。公

/(Bmin=/(%0)=,+*02+/。利用均值不等式即得证；当J-十/十。一］<0,/'口)有两个不同的零点芭，/，

*0*0

分析可得/(x)的最小值为/(9)，分。之1一6,。<1一0讨论即得解.

【详解】

(1)由题意/'(x)=e'-lnx+a-1,

令g(x)="-lnx+a-l,贝Ug(x)="-L，知g'(x)为(。,+8)的增函数，

x

因为，(1)=0-1>0,=五一2<0,

所以，存在使得g'(fo)=O,即八一;=0.

所以，当xw(O"o)时g'(x)<g'&)=0,g(x)为减函数，

当X€&,+oo)时g'(x)>g'«o)=0,g(x)为增函数，

故当X=f。时，g(x)取得最小值，也就是/‘(X)取得最小值.

右1八A1

故/=。，于是有e%-一=0,即e"=一,

/%

所以有lnx°+Xo=O,证毕.

1,

（2）由（1）知，/'（x）=e*-lnx+a-1的最小值为一+x0+o-1,

X。

1…(1、

①当---Fx0+62—1..0,即q..1—一+入0时，/(X)为［无0，+。。)的增函数,

I玉)

2

所以/（x）min=/（玉>）=e"-X。Inxo+xoa^—+x0+xoa,

xo

\

21

...-+Xo+Xo1-一+与-1,

X。1X。yjX。

1（11

由（1）中不</<1,得—+x0I-1>1,即/（x）>1.

xo

故+满足题意.

kXo)

1fl

②当一+x0+«-1<0,Bpa<1--+x0时，/(无)有两个不同的零点须，x2,

%1%)

X1

且&<x2,即/'(马)=6应-inx2+a-l=0=>a=lnx2-e+1,

若入€(%0，々)时/'(%)</'(%2)=°，/(x)为减函数，(*)

若xe(时/'(X)>/'(w)=0,f(x)为增函数，

所以/(x)的最小值为/(9).

注意到/(D=e+a=l时，a=\-e,且此时尸(1)=e+a—1=0,

(i)当a之l—e时，f'(\)=e+a-i..0=f'(x2),

所以0<々,，1,BP1-X2>0,

-xnxt2>2

又/(犬2)=6处2l2+书=e&-々In/+(lnx2-e+l)x2=(l-x2)e+x2

=(l-x2)(^-1)+1,

而升一1>0,所以(1一々)(/2-1)+1>1,即/(三)>1.

1_(\\/1、

由于在不</<1下，恒有<e,所以1—e<l—I1-%0.

2v-^o)I“0,

(ii)当a<l-e时，/,(l)=e+a-l<0=//(x2)»

所以々>1>%,

所以由(*)知xe。,％)时，/(X)为减函数，

所以f(x)<f(l)=e+a<l,不满足x..x.时，恒成立，故舍去.

,,(11

故1-e”a<l——FX0满足条件.

综上所述：。的取值范围是U-4+8).

【点睛】

本题考查了函数与导数综合，考查了利用导数研究函数的最值和不等式的恒成立问题，考查了学生综合分析，转化划

归，分类讨论，数学运算能力，属于较难题.

3

19.(1)a.=3〃(〃=1,2,•■•),hn—3〃+2"|(〃=1,2,…)；(2)—〃(〃+1)+2"-1

【解析】

试题分析：(1)利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论；(2)利用分组求和法，由等差

数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列也“｝前n项和.

试题解析：

(I)设等差数列｛an｝的公差为d,由题意得

d=-..-=———-=1..*.a=ai+(n-1)d=ln

33n

设等比数列｛bn-an｝的公比为q,则

n-,nn1

/.bn-an=(bi-ai)q=2-1,/.bn=ln+2

(II)由(I)知bn=ln+2n7,•数列｛In｝的前n项和为争(n+1),

数列｛2n-1｝的前n项和为lx±_£_=2n-1,

数列｛bn｝的前n项和为；5,=3域〃+1)+2"-1

考点：1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；1.数列求和.

20.(1)详见解析(2)正

5

【解析】

(1)如图，作跖〃PC,交.BC于F,连接AF.

因为PB=3BE，所以E是心的三等分点，可得8歹=空.

3

因为AB=AD=2,BC=CD=26,AC^AC,所以AAB&AADC,

因为8CLAB，所以NABC=90°,

ADon

因为tan/AC6=—=—==—所以N4a5=ZAC£>=30。，所以NBCD=60。，

BC27339

AB2/r

因为on=而=a=",所以NAEB=60°,所以AE〃CD,

丁

因为公尸①平面PC。，CDu平面尸CD,所以Ab||平面尸CD.

又EF〃PC,Mz平面PC。，PCu平面PCD,所以EE||平面PCD.

因为ARnEF=F，AF＞律u平面AEE，所以平面AEF〃平面PCD,所以AE〃平面PCD.

(2)因为是等边三角形，45=2,所以尸8=2.

又因为PC=4,BC=2日所以PC?=依2+5。2,所以BCLP3.

又8CLA8,A8,P8u平面Q4B,ABcPB=B,所以BC_L平面B48.

因为BCu平面ABCD,所以平面Q4BL平面A8CD.在平面PAB内作&_L平面ABCD.

以8点为坐标原点，分别以8C,3A,3z所在直线为x,yz轴，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz,

则C(2百,(),0),A(0,2,0),P(0』,6),

所以及=(26,0,0),BP=(0,l,x/3),AC=(2>/3,-2,0),AP=(0,-l,x/3).

[m-BC=02\/3x=0

设"?=(x"y,Z1)为平面BPC的法向量，则*}一，即〈广

[m-BP=Q[y+百4=0

令Z|=7,可得,〃=(0,也