山东建筑大学+高等数学+笔记

汇报人：郑老师2023-12-31山东建筑大学高等数学笔记目录笔记函数极限连续综合应用01笔记函数定义与性质定义函数是数学中表示变量之间关系的工具，通常用符号y=f(x)表示。函数定义域和值域的集合分别是函数的输入和输出。性质函数具有一些基本性质，如奇偶性、单调性、周期性等。这些性质描述了函数在不同输入值下的变化规律。对数函数以幂运算为基础，表示输入与输出之间的对数关系。一次函数形如y=kx+b的函数，其中k和b是常数，k≠0。它是一条直线，斜率为k，截距为b。二次函数形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b和c是常数，a≠0。它的图像是一个抛物线，开口方向由a的正负决定。三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，主要用于描述周期性变化的现象。常见函数类型工程设计在工程领域，函数被广泛应用于各种设计问题，如机械运动、电路分析等。数据分析在数据处理和分析中，函数用于描述数据之间的关系，如回归分析、趋势预测等。经济预测在经济研究中，函数用于预测各种经济指标的变化趋势，如GDP增长率、消费物价指数等。物理建模在物理学中，许多现象可以用函数来描述，如速度与时间的关系、位移与力的关系等。函数的应用场景02极限极限的定义极限是描述函数在某一点的变化趋势的一种数学概念，它反映了函数在某一点附近的变化规律。函数极限的表示方法用“lim”表示函数在某点的极限，记作lim(x→x0)f(x)=A，其中x0是自变量的某一点，A是函数的极限值。单侧极限函数在某一点的左侧或右侧的极限称为单侧极限。极限的定义一个函数的极限值是唯一的。唯一性有界性局部保号性函数的极限值所在的区间称为函数的收敛区间，函数在收敛区间内是有限的，即有界。如果lim(x→x0)f(x)=A，且A>0，则在x0的某个邻域内，f(x)的符号与A的符号相同。030201极限的性质在自变量趋于某一点或无穷大的过程中，函数值趋于零的量称为无穷小量。在自变量趋于某一点或无穷大的过程中，函数值趋于无穷大的量称为无穷大量。无穷小量与无穷大量无穷大量无穷小量03连续连续的定义如果函数在某点的左右极限相等，则函数在该点连续。左极限函数在某点的左侧趋于该点的极限值。右极限函数在某点的右侧趋于该点的极限值。连续的定义030201连续函数的性质如果函数在某区间内连续，则该函数在该区间内可导、可积。可导性连续函数在某点可导，意味着该点附近函数值的增量与自变量的增量成正比。可积性连续函数在某区间内可积，意味着该区间内函数的积分值存在且有限。连续的性质处理方法通过分析函数在无穷远处的行为或使用特殊方法（如洛必达法则）处理。第二类不连续点无穷间断点或震荡间断点，函数在第二类不连续点处的左右极限至少有一个不存在。处理方法通过求极限或使用定义法证明不连续点处函数的性质。不连续点的类型第一类不连续点、第二类不连续点。第一类不连续点跳跃不连续点，函数在第一类不连续点处的左右极限存在但不相等。不连续点的类型与处理方法04综合应用极限与连续是高等数学中的重要概念，它们之间存在密切的关系。极限是研究函数在某一点的行为，而连续性则研究函数在某一点的极限值与其左右极限值之间的关系。了解极限与连续的关系对于解决实际问题非常重要，因为许多实际问题可以通过数学模型转化为函数问题，而函数的连续性是解决这些问题的关键。在实际应用中，函数的连续性可以通过其极限的性质来判断。例如，如果一个函数在某一点的极限存在且等于该点的函数值，则该函数在该点连续。极限与连续的关系笔记函数在极限中的应用笔记函数是高等数学中常用的工具之一，它在极限的计算中有着广泛的应用。02在计算极限时，我们经常需要用到一些基本的极限公式和性质，例如等价无穷小、洛必达法则等。这些公式和性质都可以通过笔记函数来推导和证明。03笔记函数在解决一些复杂函数的极限问题时非常有用，它可以简化计算过程，提高解题效率。01极限与连续在解决实际问题中的应用010203极限与连续作为高等数学中的基本概念，在解决许多实际问题中有着广泛的应用。在物理、工程、经济等领域中，许多问题都可以通过建立数学模型转化为函数问题，而函数的连续性和极限行为是解决这些问题的关键。例如，在物理学中，物体的运动轨迹可以