2023年河南省洛阳高考压轴卷数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若某几何体的三视图（单位:cm）如图所示，则此几何体的体积是（）

臼各圈

正视图便视图

2

2.若复数z==，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）

1+1

A.z的虚部为-iB.同=2C.z的共辅复数为-ITD.z?为纯虚数

则五=(

3.已知复数Z1=6-8i,z2=-i,)

A.8-6iB.8+6iC.—8+6iD.—8—6i

4.已知双曲线C:三一4=l（a>01>0）的左、右顶点分别为A、A，点P是双曲线c上与4、4不重合的动点,

ab~

若则双曲线的离心率为（）

A.72B.V3C.4D.2

5.在AABC中，AD为边上的中线，E为AD的中点，且|福卜1,|亚|=2,ZBAC=120°,则||丽|=（）

A晒VTT6nV7

A・---------1R5■-------lx•LJ・

4424

6,将函数/（x）=cosx的图象先向右平移?乃个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的，（0>0）倍，纵

6co

34

坐标不变，得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在（上n，二）上没有零点，则①的取值范围是（）

22

2282

A.(0々10匕,予B.(0々1

9Q

c.(O,-1U[-,HD.(0,1]

7.《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天的几何学和其它学

科仍有深刻的影响.下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，

八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.已知正八边形的边长为10根，阴阳太极图的半径为4加，则每块八卦田的面积

约为()

A.47.79〃/B.54.07m2

C.57.21/D.114.43加2

8.已知/(x)=Acos®x+e)[A>0,(y>0,陷的部分图象如图所示，则/(x)的表达式是()

9.已知函数/(x)=J-x(a>0),若函数y=/(x)的图象恒在x轴的上方，则实数。的取值范围为()

a

A.B.(0,e)C.(e,+oo)D.1一,11

10.已知f(x)是定义在［—2,2］上的奇函数，当xe(O,2］时，/(x)=2*-1,则/(—2)+〃0)=()

A.-3B.2C.3D.-2

11.已知向量比=(2COS2%G),力=(l,sin2x),设函数/(力=沅•方，则下列关于函数y=/(x)的性质的描述正

确的是()

n

A.关于直线1='对称B.关于点五,()对称

12

在-。上是增函数

C.周期为2%D.y=,0

12.三棱锥S-ABC中，侧棱SAL底面4BC,AB=5,BC=8,ZB=60°,SA=2下,则该三棱锥的外接球

的表面积为()

642564362048国

A.—71B.------7tC.-------71D.------y137r

33327

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2c

13.口一尸)的展开式中x的系数为.

%3

14.已知函数/(x)=f-4x—4.若在区间(租—1,—2㈤上恒成立.则实数机的取值范围是.

15.已知各棱长都相等的直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)所有顶点都在球。的表面上.若球。的表面积为

28肛则该三棱柱的侧面积为.

16.(2x-')6的展开式中常数项是.

X

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22

17.(12分)已知椭圆C:5+}=l(a>b>0),左、右焦点为片、F2,点尸为C上任意一点，若|尸制的最大值为

3,最小值为1.

(1)求椭圆。的方程；

(2)动直线/过点尸2与C交于P、。两点，在％轴上是否存在定点A,使/24入=/。4后成立，说明理由.

18.(12分)已知函数〃x)=ln(x+l)+《p其中。为实常数.

(1)若存在〃〉加2-1,使得“X)在区间(〃?,〃)内单调递减，求。的取值范围；

(2)当。=0时，设直线y=履一1与函数y=/(x)的图象相交于不同的两点A(XQJ,证明：

.2

%1+4+2>%.

19.(12分)已知圆。：Y+y2=i和抛物线£：y=f_2,。为坐标原点.

(1)已知直线/和圆。相切，与抛物线E交于〃,N两点，且满足QWLQV,求直线/的方程；

(2)过抛物线E上一点P(x°,y°)作两直线PQ,尸A和圆。相切，且分别交抛物线E于。,R两点，若直线QR的斜率

为-6,求点P的坐标.

20.(12分)等差数列｛叫的公差为2,4，/，氏分别等于等比数列也｝的第2项，第3项，第4项.

(1)求数列｛4｝和也｝的通项公式；

(2)若数列｛%｝满足S+与+…+&=〃用，求数列｛%｝的前2020项的和.

a\a2an

21.(12分)已知函数/(x)=lnx.

(1)求函数g(x)=〃x)-x+l的零点；

(2)设函数/(x)的图象与函数y=x+：-l的图象交于A(玉，X),B(X、，y)a<xj两点，求证：a<xix2-x｝；

(3)若攵>0,且不等式(7-1)““》耳》-1『对一切正实数上恒成立，求A的取值范围.

22.(10分)如图1,在等腰MA43C中，NC=90°,D,E分别为AC,AB的中点，尸为8的中点，G在线

段BC上，且3G=3CG。将AM应沿OE折起，使点A到4的位置(如图2所示)，且4尸，。。。

(D证明：BE//平面4尸G；

(2)求平面AFG与平面ABE所成锐二面角的余弦值

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

试题分析：该几何体上面是长方体，下面是四棱柱；长方体的体积6=2-2-4=16,四棱柱的底面是梯形，体积为

=-(2+6)24=32,因此总的体积V=16+32=48.

2

考点：三视图和几何体的体积.

2.D

【解析】

将复数-整理为1T•的形式，分别判断四个选项即可得到结果.

【详解】

22(1-/),.

l+z(l+z)(l-z)

Z的虚部为一1，A错误；回=jm=0,8错误；z=l+i,C错误；

z2=(l-i)2=-2i,为纯虚数，。正确

本题正确选项：D

【点睛】

本题考查复数的模长、实部与虚部、共朝复数、复数的分类的知识，属于基础题.

3.B

【解析】

分析：利用/=-1的恒等式，将分子、分母同时乘以i,化简整理得主=8+6i

Z2

详解：­=^—r-=6<=8+6/,故选B

z?-i-i

点睛：复数问题是高考数学中的常考问题，属于得分题，主要考查的方面有：复数的分类、复数的几何意义、复数的

模、共朝复数以及复数的乘除运算，在运算时注意『=7符号的正、负问题.

4.D

【解析】

22

设P（y,%）,A（—a,O）,A（«,0）,根据G/叽=3可得需=3焉一3/①，再根据又雪一咚=1②，由①②可

ab

得仅2-3/）/=/仅2-3/）,化简可得c=2a,即可求出离心率.

【详解】

解：设尸[，先），4（一。,0），&（。,0）,

卜「入kpA]=3,

A————=3,即尤=3年-3a2,①

又因_q=1,（2）,

a2b2

由①②可得仅2—3/）x：=a2（/??—3a,,

Vx0^±a9

b1-3a2=0，

b2=3a2=c2—a29

:.c=2a9

即e=2,

故选：D.

【点睛】

本题考查双曲线的方程和性质，考查了斜率的计算，离心率的求法，属于基础题和易错题.

5.A

【解析】

根据向量的线性运算可得而=74月一1,利用I丽『=丽2及|丽|=1,|*|=2,ZBAC=120°计算即可.

【详解】

22244

所以|而『二巫2=—AB2-2x-xi/lBAC+—AC2

164416

9,23,/1、1-2

=——xl—-—xlx2x(——)+—x2-

168216

19

—,

16

故选：A

【点睛】

本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题.

6.A

【解析】

5万

根据产Acos(sx+5)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，根据定义域求出0%一丁的范围，再利用余弦函数的

图象和性质，求得。的取值范围.

【详解】

函数/(X)=cosX的图象先向右平移-万个单位长度，

可得y=cos[x-碇J的图象，

再将图象上每个点的横坐标变为原来的--(口＞0)倍(纵坐标不变),

a)

得到函数g(x)=cos"-曾的图象,

jr37r

若函数g(x)在(-,y)上没有零点，

.C07T575万3。乃57

二①2<1,解得OvgWI,

7T,/(071571

--------K71<------------

22~6解得常泊修]_

又＜

71,、3①715冗3

一+&〃•之

12~17~6

28

当友=0时，解一W69V—

399

2

当A=・l时，0<刃工1,可得0<@W—,

9

2..28

/.60G(0,-]|J[-,-].

VJy

故答案为：A.

【点睛】

本题考查函数尸Acos(Ox+0)的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可

得，属于较难题.

7.B

【解析】

由图利用三角形的面积公式可得正八边形中每个三角形的面积，再计算出圆面积的:，两面积作差即可求解.

O

【详解】

由图，正八边形分割成8个等腰三角形，顶角为效=45,

8

设三角形的腰为“，

a10-

由正弦定理可得.135。=sin45°，解得。=10亚sin至，

sin^—2

2

所以三角形的面积为:

z\2

Sfgin寻一。万一

=25(V2+1),

所以每块八卦田的面积约为：25(V2+l)-1x^-x42«54.07.

故选：B

【点睛】

本题考查了正弦定理解三角形、三角形的面积公式，需熟记定理与面积公式，属于基础题.

8.D

【解析】

由图象求出A以及函数)，=/(x)的最小正周期T的值，利用周期公式可求得"的值，然后将点的坐标代入函

数)'=/(6的解析式，结合。的取值范围求出。的值，由此可得出函数y=/(x)的解析式・

【详解】

由图象可得A=2,函数y=/(x)的最小正周期为7=2乂仁-看卜442"3

—,/.co=—=­・

3T2

将点(£,2,入函数y=/(x)的解析式得了代卜2cos中看+夕］=2,得cos(e+?)=l,

717171冗3兀771、冗

*.*----<(P<一,---<(P~\----<----，贝!---=09/.(P=-----,

2244444

因此，/(x)=2cos?一

故选：D.

【点睛】

本题考查利用图象求三角函数解析式，考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.

9.B

【解析】

函数y=以x)的图象恒在%轴的上方，J一x>o在(o,+“)上恒成立.即—>；t,即函数y=J的图象在直线y=x

aaa

上方，先求出两者相切时”的值，然后根据“变化时，函数y=C的变化趋势,

从而得a的范围.

a

【详解】

由题4—x>0在(0,+8)上恒成立.即

aa

y=—的图象永远在y=x的上方，

a

x

设>=J与kx的切点伍,为),贝！J",解得，=e,

ae'°

-=xo

Ia

易知。越小，y=J图象越靠上，所以0<a<e.

a

故选:B.

【点睛】

本题考查函数图象与不等式恒成立的关系，考查转化与化归思想，首先函数图象转化为不等式恒成立，然后不等式恒

成立再转化为函数图象，最后由极限位置直线与函数图象相切得出参数的值，然后得出参数范围.

10.A

【解析】

由奇函数定义求出/(O)和/(一2).

【详解】

因为fM是定义在［-2,2］上的奇函数，，/(O)=0.又当xe(0,2)时，

/(%)=2^-1,/(-2)=-/(2)=-(22-1)=-3,.•./(-2)+/(0)=-3.

故选：A.

【点睛】

本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键.

11.D

【解析】

f(x)=2cos2x+>/3sin2x-cos2x+>/3sin2x+1=2sin(2x+£+l,当％=强时,sin(2x+令=siny±1

TT

不关于直线X=F对称；

12

当x=二"时,2sin(2x+二)+1=1关于点(—―,1)对称；

12612

/(x)得周期T=与=7，

当xe(-£,0)时,2x+Je(—，.\左)在(—g,0)上是增函数.

36263

本题选择D选项.

12.B

【解析】

由题，侧棱底面ABC,AB=5,8C=8,/8=60°,则根据余弦定理可得8C=J52+82—2X5X8X；=7,

2rBC7,r_J_

△ABC的外接圆圆心’一嬴万一返.”一耳

2

三棱锥的外接球的球心到面ABC的距离d=LsA=®则外接球的半径R=

,则该三棱

2

锥的外接球的表面积为S=4兀R?=言兀

点睛：本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径R公式是解答的关键.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.80.

【解析】

只需找到(2-%2)5展开式中的x4项的系数即可.

【详解】

(2-£)5展开式的通项为&|=625-'(-/),=(_1)，《25-'/,令丫=2,

则T、=(-1)2C^2\4=80x4,故(2-：)的展开式中x的系数为80.

故答案为：80.

【点睛】

本题考查二项式定理的应用，涉及到展开式中的特殊项系数，考查学生的计算能力，是一道容易题.

i4-H)

【解析】

首先解不等式再由/(x)<l在区间(加一1,一2m)上恒成立，即(加—1,一2加)4—1,5)得到不等组，解得即

可.

【详解】

解：一4%—4且/(x)<l,即X2—4X—4<1解得-l<x<5,即xe(—l,5)

因为/(x)<1在区间(加一1，-2m)上恒成立,，(加T,一2加)o(-l,5)

-1<m-1

加一1<一2，"解得OVx<L即xe0,-I

33；

-2m<5

故答案为：0,—

【点睛】

本题考查一元二次不等式及函数的综合问题，属于基础题.

15.36

【解析】

只要算出直三棱柱的棱长即可，在△OQA中，利用。质2+0102=042即可得到关于*的方程，解方程即可解决.

【详解】

由已知，4万六=28%，解得R=J7,如图所示，设底面等边三角形中心为。一

直三棱柱的棱长为x,则0人=孝》，。。=；*，故0状2+。］。2=。42=/?2=7,

22

即,+?=7,解得X=26,故三棱柱的侧面积为3/=36.

故答案为：36.

【点睛】

本题考查特殊柱体的外接球问题，考查学生的空间想象能力，是一道中档题.

16.-160

【解析】

试题分析：常数项为4=C；（2X）3（—-）3=-160.

X

考点：二项展开式系数问题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)—+^-=1(2)存在；详见解析

43

【解析】

（1）由椭圆的性质得a+c=3,a—c=l,解得a,c后可得b,从而得椭圆方程;

（2）设P（芭，x）,Q（%,%），A（〃，O），当直线/斜率存在时，设为y=Z（尤一1）,代入椭圆方程，整理后应用韦达定

理得X+Z，%%，代入心/>+心。=（）由恒成立问题可求得验证/斜率不存在时也适合即得.

【详解】

a+c=3a=2

解：（1）由题易知=解得

［附L=a-c=\

22

所以椭圆。方程为三+匕=1

43

⑵设尸

当直线/斜率存在时，设为y=k（x-l）与椭圆方程联立得

（4左2+3）%2一8左2%+4%2-12=0,显然/〉0

8k24攵2—12

所以玉+尤2—；——,X.-X.=——-------

4k2+31-4公+3

因为NP&K=ZQAF2,:.kAP+kAQ=0

f%=:(石一1)(々一〃)+攵(4-1)(%-〃)=0

xt-nx2-n(王一〃)(％2-〃)

c/,、/、c，、8公一248(〃—1)公6〃+8〃公

化简—(〃+1)(西+%)+2〃=0,------------.——H----z----=0

1-v八"4^+34k2+3

।4/C2+3

解得6〃-24=0即〃=4

所以此时存在定点A(4,0)满足题意

当直线/斜率不存在时，A（4,0）显然也满足

综上所述，存在定点A（4,0）,使NPA^=NQA玛成立

【点睛】

本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题中的定点问题，解题方法是设而不求的思想方法.设而不求思

想方法是直线与圆锥曲线相交问题中常用方法，只要涉及交点坐标，一般就用此法.

18.（1）（4,+8）；（2）见解析.

【解析】

（1）将所求问题转化为r（x）<o在（-1,物）上有解，进一步转化为函数最值问题；

2

+/+.2。20羽+11

2

(2)将所证不等式转化为」~=—>———T-—-，进一步转化为-Tl—>ln%+l,然后再通过构

%!-x2In。]+l)-ln(尤2+1).+1[

x2+1

x2+1

造=Inf一改二»加以证明即可.

f+1

【详解】

(1)/(%)=（X>—1）,根据题意，/（x）在（一1,内）内存在单调减区间,

x+1(x+2)-

则不等式f(x)<0在(-L”)上有解，由」7一,“c、2<0得“〉('+2-，设gQ)=(x+2)一,

x+\(x+2)2x+1x+\

则g（x）=（叶1）一+2（四）上1=*+］）+_1_+224,当且仅当尤=0时，等号成立,

X+lX+1

所以当x>-1时，g（X）inin=4,所以存在x>-1,使得4>g。）成立，

所以。的取值范围为（4,+8）。

./(%.)-/(x)ln(x+1)—ln(x+1)

(2)当。=0时，/(x)=ln(x+l),则人八“2Z__L2_2从而

xx-x2xx-x2

c2(x-x)

所证不等式转化为国+W+2—77—2-不妨设玉>%>-1，则不等式转化

ln(x1+l)-ln(x2+1)

、%1+x+22%+1+々+1〉2

2>-------------------,即

InUj+P-ln^+l)H

王一々(X1+1)—(%2+1)ln(Xj+1)—ln(x2+1)

X.+1.c

-----F+12+]

三_>否+1,令上==乙则不等式转化为£±1〉_L,因为

丁+1]mx2+it-1Int

%+1>%+1>0,贝「>1,从而不等式化为Int>任二D,设〃?«)=In/-次二则〃2")=1一厂工

/+1t+\t(f+1)

=-一勺＞0,所以/〃⑺在（1,+8）上单调递增，所以，"⑺＞皿1）=0

«r+l）-

即不等式Inf＞@二2成立，故原不等式成立.

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数单调性、利用导数证明不等式，这里要强调一点，在证明不等式时，通常是构造函数,

将问题转化为函数的极值或最值来处理，本题是一道有高度的压轴解答题.

19.(1)y=-l；(2)或p(6i).

【解析】

试题分析：直线与圆相切只需圆心到直线的距离等于圆的半径，直线与曲线相交于M,N两点，且满足QW_LQV,

只需数量积为0,要联立方程组设而不求，利用坐标关系及根与系数关系解题，这是解析几何常用解题方法，第二步

利用直线QR的斜率找出坐标满足的要求，再利用两直线与圆相切，求出点的坐标.

/、/、烟

试题解析：（1）解：设/：y=Ax+bM（X，y）,N（X2,J2）,由/和圆。相切，得「—=1.

皿z+1

“2=公+1.

y=kx+b

由｛'.。消去y,并整理得f—履一〃—2=0,

y=厂—2

:.%+/=女，%/=一0-2.

由。得O而./=0,即百工2+%%=0・

:,王9+(Axj+〃)(仇+/?)=().

:.(1+r)西工2+奶(工1+%2)+〃=0，

.\(1+^2)(-/?-2)+)12/7+/72=0,

；.h2（-b-2）+（b2-l）b+b2=0.

b2+b=0•

=或Z?=0（舍）.

当b=-l时，k=0,故直线/的方程为y=-L

⑵设P（x。,%）,。（4yj,/?（/，%），则kQR==在二2H.二2）/+马・

二七+/=-73.

|y()-^xd

设/QR：y-%=勺(x-%)，由直线和圆相切,得，J,二］-=1，

即（X；T*—2%%匕+jVo-1=0.

设。R：y-%=A2(X—Xo),同理可得：(无：-1)£一2%0乂)&2+尤-1=0-

故仁义是方程(片一1)公一2%为女+/一1=0的两根，故匕+%2=4智

X。一1

y=&X+yn-kFo

由得—一也一%一2=。，故.+寸匕.

同理40+々=k2，贝！|2升,+玉+々=匕+左2，即2.0一百=2,0)；.

龙0T

.a。—"又忙2),解的=_曰或G.

当天=_时，%=一大；当天)=V3时，%=1・

故尸-殍V或尸⑼).

2022

20.(1)勺=2〃，bn=2"；(2)2019x2+8.

【解析】

(1)根据题意同时利用等差、等比数列的通项公式即可求得数列｛4｝和｛〃,｝的通项公式;

(2)求出数列｛%｝的通项公式，再利用错位相减法即可求得数列｛%｝的前2020项的和.

【详解】

(1)依题意得：b；=b2b4,

所以(q+6>=(q+2)(q+14),

所以Q：+12q+36=片+16q+28,

解得4=2.:.an—2n.

设等比数列也｝的公比为心所以噜=5=2,

又%==4,.-.bn=4x2"2=2".

⑵由⑴知,勺=2〃也=2".

因为2+2+…•+—+%=2〃+i①

%%%。〃

当时,幺+义+…+邑■=2〃②

%生％

由①一②得，^=2\即c.二〃2田，

又当〃=1时，q=〃我=乎不满足上式，

「8,77=1

"C"~[n-2n+',n>2'

数歹!J｛c“｝的前2020项的和52侬=8+2x2,+3x24+…+2020x22021

=4+lx2?+2x2?+3x2,+…+2020x2的

23420202021

7；O2O=1x2+2x2+3x2+•••+2019x2+2020x2③,

贝(I2%20=1x2,+2x2"+3x+…+2019x2?⑼+2020x22022④，

由③一④得：一心。=2?+2^+24+…+22021-2020x22022

O2fl_,2020、

——--2O2OX22022=^1-2O19x22022,

1-2

所以金20=2019X22°22+4,

2022

所以$2020=^020+4=2019X2+8.

【点睛】

本题考查等差数列和等比数列的通项公式、性质，错位相减法求和，考查学生的逻辑推理能力，化归与转化能力及综合运

用数学知识解决问题的能力.考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.是中档题.

21.(l)x=l⑵证明见解析(3)0<£,2

【解析】

(1)令g(x)=/ar-x+l,根据导函数确定函数的单调区间，求出极小值，进而求解;

(2)转化思想，要证"4々一%，即证*七(1」%二"々一玉，即证加卢)>1一五，构造函数进而求证;

X2-X]x}x2

(3)不等式，—l)/"*(x—)2对一切正实数x恒成立，•.•(%2-1)祇—A(x——设

X4-1

〃(犬)=/心-处?，分类讨论进而求解.

【详解】

11—Y

解：(1)令g(x)=/nx-x+l,所以g'(x)=——1=--,

XX

当xe(0,1)时，g'(x)>0,g(x)在(0,1)上单调递增;

当XG(l,+8)时，g")<0,g(x)在(1,+8)单调递减;

所以g(x),“,“=g(l)=0,所以g(x)的零点为x=l.

,a.

LYlXy=X]+----1

%"I3-Inx.、

(2)由题意：,,二。=%X)•(1----=-----),

7a9一%

InX)=/-----11

九2

要证a<—Xx2—M,即证%x2<1-3~—)<Xtx2-X,,即证加(上)>1-—,

令”;由(1)知…,当且仅当“1时等号成立,所以土、,

则Int>1

即心1所以原不等式成立.

(3)不等式，一1)仇X./(A)2对一切正实数x恒成立,

,/