八年级数学上册全等三角形培优综合练习题

全等三角形培优综合练习题

一、单选题

I.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，^BAF=^CAG=90°>AB=AF,

AC=AG.连接FG，交DA的延长线于点E,连接BG,CF.则下列结论:①BG=CF；

②BGJ.CF；③BC=2AE；®EF=EG,其中正确的有（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①

②③④

2.如图，在ZkABC中，NBAC和NABC的平分线AE,BF相交于点O,AE交BC于E,BF

交AC于F,过点。作。D_LBC于D,下列四个结论：®ZAOB=90=+1ZC;②当/C

=60°时，AF+BE=AB;③若OD=a,AB+BC+CA=2b,则SAABC=ab.其中正确的是（）

A.①②B.②③C.①②

③D.①③

3.如图，在AOAB和AOCD中，OA=OB,OC=OD,OA>OC,ZAOB=ZCOD=30°,

连接AC,BD交于点M,AC与OD相交于E,BD与OA相交于F,连接OM.则下列结论

中：①AC=BD;②NAMB=30。；③△OEM名ZxOFM;④MO平分NBMC.

正确的个数有（）

A.4个B.3个C.2

个D.1个

4.如图，点P为定角NAOB平分线上的一个定点，且NMPN与/AOB互补.若NMPN在绕

点P旋转的过程中，其两边分别与OA、0B相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN;

②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的

是（）

A.①②③B.①②④C.①③

④D.(2)@@

5.如图，ZACB=90°,AC=BC.AD±CE,BE±CE,垂足分别是点D,E,AD=3,BE=1,

则DE的长是（）

A.1B.2C.3D

.4

6.如图，AD是AABC的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F,若EF=AF,

A.2.5B.2C.1.5D

.1

7.如图四边形ABCD中，AD〃BC,ZBCD=90°,AB=BC+AD,ZDAC=45°,E为CD上一

点，且NBAE=45。.若CD=4,则AABE的面积为（）

A.-B.巴D.

77

50

~7

8.如图，点A,C,D,E在RtaMON的边上，ZMON=90°,AE_LAB且AE=AB,BC±CD

且BC=CD,BHJ_ON于点H,DF_LON于点F,OM=12,OE=6,BH=3,DF=4,FN=8,

80

9.如图，过边长为1的等边ZkABC的边AB上一点P,作PELAC于点E,Q为BC延长线

上一点，当PA=CQ时，连结PQ交AC边于D,则DE的长为（）

D..

5

10.如图，点P在/MAN的角平分线上，点B,C分别在AM,AN±,作PRLAM,PS±

AN,垂足分别是R,S.若/ABP+NACP=180。，则下面三个结论：①AS=AR;②PC〃AB;

③AERP丝4CSP.其中正确的是（）

A.①②B.②③C.①③D.①

②③

二、填空题

1.在AABC中，AC=5,中线AD=7,则AB边的取值范围是—.

2.如图，△ABC中，NABC、NEAC的角平分线BP、AP交于点P,延长BA、BC,PM

1BE,PNJ_BF,则下列结论中正确的是—.

①CP平分NACF;@ZABC+2ZAPC=180°;③NACB=2NAPB;@SAPAC=SAMAP+

SANCP.

3.如图，在直角三角形EFD中，直角边EF=4,DF=3,以它的三边分别作出了正

方形ABDE、CDFL、EFGH,把△AEH、△BDC、△GFL的面积分别记为51、

$2、$3，则$1+$2+$3=___"

4.如图，在四边形ABCD中，AC1BC于点C,且4C平分ZBAD，若△4DC的

面积为10cm2,则△ABD的面积为—cm2.

5.如图，在AABC中，/ABC=2NC，AD、BE分别为ZBAC和^ABC的角平

分线，AABE的周长为20,BD=4,则AB的长为一.

6.如图，在锐角△ABC中，AC=10,5aBe=25，/BAC的平分线交BC于点D,点

M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是一

c

7.如图，AD是△ABC的角平分线，DFJ.AB，垂足为F,DE=DG,^ADG和^AED

的面积分别为52和36,则4EDF的面积为.

8.如图，AB//CD，点E是边AD上的点，BE平分/ABC,CE平分/CD,有

下列结论：①AD=AB+CD，②E为4D的中点，®BC=AB+CD,®BEICE,

其中正确的有.(填序号)

三、解答题

I.如图，在AABC中，AB=BC,ZB=90°,AD是NBAC的平分线，CELAD于点E.求

证：AD=2CE.

2.如图，在4ABC中，AD、CE分别是NBAC、NBCA的平分线，AD、CE相交于点F.

(1)求证：ZEFA=90°--ZB;

2

(2)若NB=60。，求证：EF=DF.

将三角板放在正方形ABCD±,使三角板的直角顶点P在对角线AC

上，一条直角边经过点B,另一条直角边交边DC与点E,求证：PB=PE

分析问题：学生甲：如图1,过点P作PM_LBC,PN_LCD,垂足分别为M,N通过证明两

三角形全等，进而证明两条线段相等.

学生乙：连接DP,如图2,很容易证明PD=PB,然后再通过”等角对等边“证明PE=PD,就

可以证明PB=PET.

解决问题：请你选择上述一种方法给予证明.

问题延伸：如图3,移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，•条直角边经过

点B,另一条直角边交DC的延长线于点E,PB=PE还成立吗？若成立，请证明；若不成立,

请说明理由.

4.如图，已知AOMN为等腰直角三角形，ZMON=90°,点B为NM延长线上一点，OCL

OB,且OC=OB,连接CN.

(1).如图1,求证：CN=BM;

(2).如图2,作NBOC的平分线交MN于点A,求证：AN2+BM2=AB2;

(3).如图3,在⑵的条件下，过点A作AELON于点E,过点B作BF_LOM于点F,

EA,BF的延长线交于点P,请探究：以线段AE,BF,AP为长度的三边长的三角形是何种

三角形？并说明理由.

5.在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且ZEAF=/CEF=45°.

(1).将AADF绕点A顺时针旋转90°,得到AABG(如图1),求证：

BE+DF=EF；

(2)若直线EF与AB、AD的延长线分别交于点M、N(如图2),求证：

EF2=ME2+NF2；

(3).将正方形改为长与宽不相等的矩形，其余条件不变(如图3),直接写出线段EF、

BE、DF之间的数量关系.

6.如图，在4ABC/ACB=90°>AC=BC,E是AB上一点，BD_LCE于D,

F是BC上一点，AF1CD于H•

(1).如图1,求证：CH=BD；

(2).如图2,在射线AF上有一点G,连接CG,/DBE=^CGA,求ZACG的

度数；

(3).在(2)的条件下，如图3,连接BG,若BG=CG=3,求BE的长.

7.课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题:

如图1,在AABC中，若48=12,47=8,求8c边上的中线AD的取值范围.

小颖在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法:如图2,延长AD到点E,使DE=AD,

连接BE,可证得AADC/EDB,即AC=BE,请根据小颖的方法思考下列问题.

(1).由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是—.

(2)•解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分

散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.

完成上题之后，小颖善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答.

如图3,在AABC中，若4D是AABC的中线，E是力。上一点，连接BE并延长交

边AC于点F,且4F=EF,求证：AC=BE-

(3).如图4,在△A8C中，D是AC的中点，分别以AB,BC为直角边向△A8C外

作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN,其中ZABM=/NBC=Z90°，

连接MN,试探索BD与MN之间的数量与位置关系，并说明理由.

图4

8.在等边三角形ABC中，点E为线段AB上一动点，点E与A,B不重合，点D在CB的

延长线上，且ED=EC.

(1)当E为边AB的中点时，如图1所示，确定线段AE与BD的大小关系，并证明你的

结论；

(2)如图2,当E不是边AB的中点时，(1)中的结论是否成立？若不成立，请直接写出

BD与AE的数量关系；若成立，请给予证明；(提示：过E作EF//BC交AC于点F)

(3)在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC,△ABC

的边长为1,AE=2,请直接写出CD的长.

9.如图

(1)［发现］：

如图1.在AABC中，AB=AC,ZBAC=9Q°,过点A作A"_L8c于点“，求证：AH=

-BC.

2

(2)［拓展］:

如图2.在△ABC和△A3E中，AB=AC,AD=AE,且/8AC=NZME=90。，点。、B、

C在同一条直线上，AH为4ABe中BC边上的高，连接CE.则/OCE的度数为,

同时猜想线段A"、CD.CE之间的数量关系，并说明理由.

⑶应用］:

在图3、图4中.在"BC中，A8=AC,且/8AC=90。，在同一平面内有一点尸,满

足PC=1,28=6,且N8PC=90。，请求出点4到BP的距离.

10.如图

(1)问题背景：如图①，在四边形ABCD中，

4B=4D,/B4D=120°,NB=4DC=90°.E,尸分别是BC,CD上的点，且

44广=60。，请探究图中线段BEEEDF之间的数量关系.小明同学探究此问题的方法

是：延长FD到点G,使DG=BE.连接AG，先证明△ABEADG,得

AE=AG;再由条件可得^EAF=^GAF,证明△4EF三△AGF,进而可得线段

BE.EF.DF之间的数量关系是.

(2)探索延伸：如图②，在四边形ABCD中，AB=4D,+4)=180。.E,F

分别是BC,CD上的点，且^EAF=-^BAD.问⑴中的线段BE.EF.DF之间的

2

数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

(3)实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西20。的月

处，舰艇乙在指挥中心南偏东80°的8处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动

指令后，舰艇甲向正东方向以50海里〃卜时的速度前进，舰艇乙沿北偏东30°的方向以60

海里〃卜时的速度前进.2小时后，甲、乙两舰艇分别到达E,F处，此时在指挥中心观测

到两舰艇之间的夹角为60°,试求此时两舰艇之间的距离.

11.在AABC中，=,点D是直线BC上一点(不与B,C重合)，以4D为

一边在AD的右侧作AADE，使AD=HE,^DAE=^BAC，连接CE.

(1)如图1,当点D在线段BC上，如果^BAC=90°,则^BCE=________度；

(2)如图2,如果^BAC=60°,求/BCE的度数是多少?

(3)设ZBAC=a,4CE=§.

①如图3,当点D在线段BC上移动，则a,§之间有怎样的数量关系？请说明理由;

②当点D在直线BC上移动，请直接写出a,6之样的数量关系，不用证明.

12.⑴.猜想：如图1,已知：在△4BC中，/BAC=90°AB=AC,直线m经

过点A,BDJ.直线m,CEJ,直线m,垂足分别为点D、E试猜想DE、BD、CE有

怎样的数量关系，请直接写出；

(2).探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2,将(1)中的条件改为：

在AABC中，AB=AC,D,A、E三点都在直线m上，并且有

/BDA=ZAEC=^BAC=a(其中a为任意锐角或钝角)如果成立，请你给出证明；

若不成立，请说明理由.

(3).解决问题：如图3,F是角平分线上的一点，且△A8F和△4CF均为等边三角形,

D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点D、E、A互不重合，在运动过程中线段DE的

长度始终为n,连接8D、CE,若ZBDA=/AEC=ZBAC，试判断△DEF的形

状，并说明理由.

13.据图回答问题:

(1)感知：如图①.AB=AD,AB1AD,BFJ_AF于点F,DGJ_AF于点G.求证：AADG

^△BAF;

(2)拓展：如图②，点B,C在/MAN的边AM,AN上，点E,F在NMAN在内部的射

线AD上，Zl,N2分别是AABE,ACAF的外角，已知AB=AC,ZI=Z2=ZBAC.求证:

△ABE^ACAF;

(3)应用：如图③，在AABC中，AB=AC,AB>BC,点在D边BC上，CD=2BD,点E,

F在线段AD上，Z1=Z2=ZBAC.若^ABC的面积为12,则4ABE与^CDF的面积之和

为.

图①图②图③

答案解析部分

一、单选题

1.D2,C3.B4.B5.B6.C7,D8.B9.A

10.C

二、填空题

1.9<AB<192.①②③④3.1814.20

5.86.57.8②③④

三、解答题

1.【答案】证明：延长AB、CE交于点F,

VZABC=90°,CE1AD,ZADB=ZCDE,

.\ZBAD=ZECD,

在AABD和4CBF中,

^BAD=^BCF

{AB=CB，

^ABD=4BF

/.△ABD^ACBF(SAS),

；.AD=CF,

「AD是/BAC的平分线，

.\ZCAE=ZFAE,

在ACAE和AFAE中，

^CAE=4AE

{AE=AE，

^AEC=^AEF

/.△CAE^AFAE(ASA),

.,.CE=EF,

；.AD=CF=2CE.

2【答案】(1)UE^:VZBAC+ZBCA=180°-ZB,

XVAD,CE分别是/BAC、NBCA的平分线，

ZFAC=-ZBAC,ZFCA=-ZBCA,

22

.'.ZFAC+ZFCA=1x(180°-ZB)=90°-iZB,

22

ZEFA=ZFAC+ZFCA,

ZEFA=90°-iZB.

2

(2)证明：如图，过点F作FGJ_BC于G,作FH_LAB于H,作FM_LAC于M.

・・・AD、CE分别是/BAC、NBCA的平分线,

AFG=FH=FM,

VZEFH+ZDFH=120°,

ZDFG+ZDFH=360°-90°x2-60°=120°,

.".ZEFH=ZDFG,

在△EFH和4DFG中，

/HF=GF=90°

(^EFH=^DFG，

FG=FH

.".△EFH^ADFG(AAS),

AEF=DF.

3.【答案】证明：如图1,

.四边形ABCD为正方形，

.".ZBCD=90°,AC平分NBCD,

VPM1BC,PN1CD,

・•・四边PMCN为矩形，PM=PN,

VZBPE=90°,ZBCD=90°,

.".ZPBC+ZCEP=180°,

而NCEP+NPEN=180。，

.\ZPBM=ZPEN,

在ZkPBM和ZkPEN中

^PMB=^PNE

1/BM=NPEN

PM=PN

.,.△PBM^APEN(AAS),

.\PB=PE;

如图2,连结PD,

・・•四边形ABCD为正方形，

.\CB=CD,CA平分/BCD,

.,.ZBCP=ZDCP,

在ZkCBP和ACDP中

CB=CD

SCP=^DCP,

CP=CP

AACBP^ACDP(SAS),

.\PB=PD,NCBP二NCDP,

VZBPE=90°,ZBCD=90°,

.,.ZPBC+ZCEP=180°,

而NCEP+NPEN=180。，

.\ZPBC=ZPED,

.\ZPED=ZPDE,

.\PD=PE,

；・PB=PD;

如图3,PB=PE还成立.

理由如下：过点P作PMLBC,PN1CD,垂足分别为M,N,

・・,四边形ABCD为正方形，

.\ZBCD=90o,AC平分NBCD,

VPM1BC,PN1CD,

・・・四边PMCN为矩形，PM=PN,

.".ZMPN=90°,

VZBPE=90°,ZBCD=90°,

/.ZBPM+ZMPE=90°,

而NMEP+NEPN=90。，

・・・NBPM=NEPN,

在△PBM和APEN中

^PMB=2NE

{/PM=NEPN、

PM=PN

/.△PBM^APEN(AAS),

.".ZBOC=90°,

VZMON=90°,

・・・ZBOC一ZCOM=ZMON-ZCOM,

.\ZBOM=ZCON,

OC=OB

在^CON和ABOM中，{4:ON=ZBOM，

ON=OM

.♦.△CON之△BOM(SAS),

ACN=BM;

(2)证明：连接AC,

Af

VOA平分NBOC,

.,.ZBOA=ZCOA,

OB=OC

在ABOA和ACOA中，｛々BOA=/COA,

OA=OA

.二△BOA丝△COA(SAS),

AAB=AC,

VAOMN是等腰直角三角形，

，ZONM=ZOMN=45°,

：△CON丝△BOM,

ZONC=ZOMB=135°,

ZANC=ZONC-ZONM=135°—45°=90°,

/.AN2+CN2=AC2,

.*.AN2+BM2=AB2.

(3)解：以线段AE,BF,AP为长度的三边长的三角形是直角三角形，理由如下:

；AE1ON,^ONM=45°，

由勾股定理得：AN=>/2AE>

；BF1OM,^OMN=4S°，

々MB=^FBM=45°，

由勾股定理得：BM=V2FB，

/PAB=/NAE=ZPBA=45°，

4=90°,

由勾股定理得：AB=42AP>

VAN2+BM2=AB2,

(VZ4E)2+(V2FB)2=(V2AP)2,

AE2+FB2=AP2,

以线段AE,BF,AP为长度的三边长的三角形是直角三角形.

vAADF绕着点A顺时针旋转90°,得到AABG,

AF=AG,^FAG=90°，

vZEAF=45°，

^GAE=45°,

在AAGE与AAFE中，

AG=AF

{^GAE=^FAE=45°,

AE=AE

：.AAGEAAFE(SAS},

；・EG—EF，

vEG—EB+BG=BE4-DF»

・•・EF=EB+DF-

⑵证明：如图2中，设正方形ABCD的边长为Q.将AADF绕着点A顺时针旋转

90°,得至UAABG,连接GM.则AADF邕AABG,DF=BG.

D

G<;•S

由⑴知AAEGAAEF,

EG=EF

v^CEF=45°,

:"BME、ADNF、4CEF均为等腰直角三角形,

CE=CF,BE=BM,NF=>/2DF,

a—BE=a—DF，

BE=DF，

BE=BM=DF=BG,

ZBMG=45°>

:.Zt；ME=45o+45o=90o，

EG2=ME2+MG2,

EG=EF,MG=y/2BM=V2DF=NF,

:.EF2=ME2+NF2.

⑶解：EF2=2BE2+2DF2

6.【答案】（1）证明：：AFICD,

ZAHC=4cB=90。，

•'­/ACH+/CAH=NACH+ZBCD=90°,

•••^CAH=ZBCD，

,/BDICE,

•••^AHC=/CDB=90°,

•/AC=BC,

&ACHgACBD(AAS),

CH=BD•

(2)解：由(1)可知：^AHE=Z7DB=90。，

/AEH+々AH=/DEB+ZDBE=90°>

•••^AEH=/DEB，

々AH=ABE，

/DBE=^CGA，

/DBE=^CGA=ZBAG,

•••BA//CG,

•••^BAC+^ACG=180°，

'/^ACB=90°，AC=BC,

ZBAC=^ABC=4S°，

•'­/4CG=135°-

(3)解：延长GB、CD交于K,过点C作C/_LAB于/,如图所示:

由(1)(2)可证BA//CG,ZBAC=^ABC=45°，4cB=^GAC，

ZBCG=^ABC=45°，BI=AI,

BG=CG=3,

ZBCG=/CBG=45°，

•••〃BC=180。-4跖=135。=/GCA，

,/AC=BC,

/.ABKC丝XGCA(ASA),

BK=CG=BG=3,

V△8/CZX8GC都为等腰直角三角形，且BC为它们的公共斜边，

/.CI=BI=BG=CG=3,

：■BK=CI=B1=AI=3,

；^KBC=13S°,^ABC=4S°,

•'­/KBE=/KBC-^ABC=90°=/CIE，

；/CE1=/KEB,

△BKEg△ICE(AAS),

•*-BE=El=^B1=1.5-

7.【答案】(l)2<AD<10

(2)证明：如图，延长AD到点G,使DG=4D,连接BG,

AD=DG,^ADC=/GDB,CD=DB,

•••△ADCGDB(SAS),

AC=BG,4AC=ZG，

AF=EF,

•'­^FAE=^AEF，

•'­"BEG=ZG，

•**BE=BG,

・•・AC=BE；

(3)解：2BD=MN,BD1MN,理由如下：

如图，延长BD至点E,使DE=BD,连接CE,

E

AD=DC

由题意得；{^ADB=/CDE,

BD=ED

h△ABD/CED(SAS)

•*./ABD=4，AB=CE,

^ABM=ZJV5C=90°>

•••ZABC+^MBN=180°，

即ZABD+^CBD+ZMBN=180°

々+4BD+ZBCE=180°,

•'­/BCE=^MBN，

AABM和ABCN是等腰直角三角形,

AB=MB,BC=BN,

CE=MB,

在ABCE和△N8M中，

CE=BM,

{ZBCE=ZMBN,

BC=NB.

△BCE=△NBM(SAS),

BE=MN,ZEBC=^MNB，

，2BD=MN,

延长DB交MN于点G,

/NBC=90。>

ZEBC+ZNFG=90°>

^MNB+ZNBG=90°,

・•・ZBGN=90°，

・•・BD1MN.

8.【答案】(1)解：AE=BD;

证明：:△ABC为等边三角形，AE=BE,

.'.CE平分NACB,

.\ZECB=30°.

・.,DE=CE,

・・・ND=NECB=30。.

ZABC=ZD+ZDEB=60°,

.\ZDEB=30°,

・・・ND=NDEB,

・・.BD=BE.

・.,AE=BE,

・・・AE=BD;

(2)解：当E为边AB上任意一点时，AE=BD仍成立;

证明：如图1,过E作EF〃BC交AC于点F.

VAABC是等边三角形，

AZABC=ZACB=ZA=60°,AB=AC=BC,

.,.ZAEF=ZABC=60°,ZAFE=ZACB=60°,即NAEF=NAFE=NA=60。,

•••△AEF是等边三角形，

・・・AE=EF=AF.

VZABC=ZACB=60°,

・•・ZDBE=ZEFC=120°,ND+NBED=ZFCE4-ZECD=60°.

VDE=EC,

・・・ND=NECD,

.".ZBED=ZECF,

.,.△DEB^AECF(AAS),

・・・BD=EF,

・・・AE=BD;

(3)解：CD的长为3或1

如图2,作EF〃BC交CA的延长线于点F,则ZkAEF为等边三角形,

・・・AF=AE=EF=2,NBEF=60。，

.\ZCEF=60°+ZBEC.

・.,NEDC=NECD=NB+NBEC=60°+ZBEC,

ZCEF=ZEDB.

又・・，EB=CF=3,ZF=ZB=60°,

AACEF^AEDB(AAS),

・・・BD=EF=2,

ACD=BD-BC=1,

如图3,同理可得CD=3,

9.【答案】(1)证明：

VAH±BC,ZBAC=90°,

/.ZAHC=90°=ZBAC.

.,.ZBAH+ZCAH=90°,ZBAH+ZB=90°.

.\ZCAH=ZB,

在ZkABH和ACAH中，

NCAH=N

{^AHC=^BHA,

AB=CA

/.△ABH^ACAH.(AAS).

；.BH=AH,AH=CH.

，AH=-BC

2

(2)解：/DCE的度数为90。，线段AH、CD、CE之间的数量关系为：CE+2AH=CD,

理由如下：VZDAB+ZBAE=90°,ZEAC+ZBAE=90°,AZDAB=ZEAC,:

AD=AE,AB=AC,.".AADB^AAEC(SAS),AZABD=ZACE,：AB=AC,Z

BAC=90°；.NABC=NACB=45°,AZABD=135°,.\ZDCE=90°；：D、B、C三点共

线，；.DB+BC=CD,VDB=CE,AH=-BC,；.CE+2AH=CD

2

(3)解：点A到BP的距离为：三或乙.

22

理由如下：

如图3,过点A作AHLBP于点H,连接AP,作NPAD=90。，交BP于点D,

A

.\ZBAC=ZDAP=90°,

・・・NBAD=/CAP,

•/ZBDA=ZAPC=90°+ZAPD,

.".△APC^AADB(AAS),

.\BD=CP=1,

.\DP=BP-BD=6-1=5,

VAH±DP,

AAH=iDP=5;

22

如图4,过点A作AHLBP于点H,

作NPAD=90。，交PB的延长线于点D,

AZBAD=ZCAP,

VZBAC=90°,ZBPC=90°,

.\ZACP+ZABP=180°,

.,.ZACP=ZABD,

VAB=AC,

.,.△APC^AADB(AAS),

.\BD=CP=1

.\DP=BP+BD=6+1=7.

VAH1DP,

，AH=iDP=-.

22

综上所述：点A到BP的距离为：号或7

22

10.【答案】(1)EF=BE+DF

(2)解：EF=BE+DF仍然成立.

证明：如图1,延长FD到G,使DG=BE,连接4G,

•・•NB+4DC=180。，4DC+/4DG=180。，

JZB=4DG•

在△ABE和△月DG中，

BE=DG

=^ADG,

AB=AD

：.^ABE^ADG(SAS),

•*-AE=AG,^BAE=^DAG,

•/^EAF=^^BAD,

•••ZBAE+^DAF=^EAF=\^BAD,

2

•/44F="4G+NTJAF,

/.^GAF=々AE+^DAF,

^EAF=^GAF,

在△AEF和△AGF中,

AE=AG

{^EAF=^GAF,

AF=AF

・・・△AEFAGF(SAS),

・・・EF=GF,

・・•GF=DG+DF=BE+DF,

・♦・EF=BE+DF

(3)解：如图2,

连接EF,延长AE、BF相交于点G.

VZAOB=20°+90°+(90°-80°)=120°,ZEOF=60°,

；•^EOF=\^AOB,

又；OA=OB,ZOhG+ZOBG=(90°-20°)+(80°+30°)=180°,

；•符合(2)中探索延伸中的条件，

结论EF=AE+BF成立，

即EF=2x(50+60)=220海里.

答：此时两舰艇之间的距离是220海里.

11.【答案】⑴90

(2)解：VZBAC=60°,AB=AC,

.•.△ABC为等边三角形，

.,.ZABD=ZACB=60°,

VZBAC=ZDAE,

・・・NBAD=NCAE,

在△ABD和△ACE中，

VZBAD=ZCAE,且AB=AC,AD=AE,

AAABD^AACE(SAS),

・・・NABD=NACE=60。，

・•・ZBCE=ZACE+ZACB=60°+60°=120°,

故答案为：120.

⑶解：①a+0=18O。，

理由：VZBAC=ZDAE,

AZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC.

即NBAD=