第01讲 整式（原卷版）

第01讲整式课程标准学习目标①代数式及其书写要求②整式的概念③单项式④多项式⑤升幂与降幂排列掌握代数式的概念及其书写要求，能够列简单的代数式。掌握整式的概念并判断整式。掌握单项式及其单项式的系数与次数。掌握多项式、多项式的项、多项式的次数。能够对多项式进行升幂或降幂排列。知识点01代数式及其书写要求代数式的概念：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子。单独的一个数或一个字母也是代数式。列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有、和的式子表示出来，就是列代数式。同一个问题中同一个字母表示同一个量。代数式的书写要求：①数与数相乘必须写“×”，数与字母相乘，字母与字母相乘时把“×”用代替或。②在数与字母相乘中，写在前，写在后，单项式写在的前面。③带分数写成。④写含有字母的除法时，要把除法写成的形式。⑤代数式后面有单位时一定要用把代数式括起来。题型考点：①判断代数式。②代数式的书写要求。③列代数式。④代数式的求值。【即学即练1】1．下列各式中，不是代数式的是（）A．﹣3 B． C．5x﹣1＝9 D．x2﹣4x【即学即练2】2．下列各式：（1）1；（2）3（a+b）；（3）20%x；（4）﹣b÷c；（5）；（6）m﹣3℃；其中符合代数式书写要求的有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【即学即练3】3．“m与n差的3倍”用代数式可以表示成（）A．3m﹣n B．m﹣3n C．3（n﹣m） D．3（m﹣n）【即学即练4】4．某服装店新开张，第一天销售服装a件，第二天比第一天多销售12件，第三天的销售量是第二天的2倍少10件，则第三天销售了（）A．（2a+2）件 B．（2a+24）件 C．（2a+10）件 D．（2a+14）件【即学即练5】5．如果a﹣3b＝4，那么2a﹣6b﹣1的值是（）A．﹣7 B．5 C．7 D．﹣5【即学即练6】6．当x＝1时，代数式ax3+bx+7的值为4，则当x＝﹣1时，代数式ax3+bx+7的值为（）A．4 B．﹣4 C．10 D．11知识点02整式整式的概念：和统称为整式。简单理解：即分母中不含的式子叫做整式。题型考点：整式的判断。【即学即练1】7．下列各式：﹣mn，m，8，，x2+2x+6，，，y2﹣5y+中，整式有（）A．3个 B．4个 C．6个 D．7个知识点03单项式单项式的概念：表示数或字母，字母与字母的的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是。里面只有运算。单项式的系数：单项式中的叫做单项式的系数。包含单项式前面的。特别的，单个的字母的系数为。单项式的次数：一个单项式中所有字母的的和叫做单项式的次数。单项式的次数是几次则就叫做。没有字母的单项式次数是。题型考点：①单项式的判断。②单项式的系数与次数。【即学即练1】8．代数式，2x3y，，，﹣2，a，7x2+6x﹣2中，单项式有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【即学即练2】9．单项式﹣2x2y的系数和次数分别是（）A．3，4 B．﹣2，2 C．3，﹣2 D．﹣2，3【即学即练3】10．下列关于单项式的说法正确的是（）A．次数是2，系数是﹣2π B．次数是5，系数是 C．次数是4，系数是 D．次数是4，系数是【即学即练4】11．如果五次单项式，则n的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4知识点04多项式多项式的概念：几个叫做多项式。多项式的项：组成多项式的每一个叫做多项式的项。包含单项式前面的。多项式的次数：组成多项式的项中，次数的项的次数即为多项式的次数。多项式的名词：根据多项式的把多项式命名为几次几项式。题型考点：①多项式的判断。②多项式各项的判断。③多项式的次数以及命名。【即学即练1】12．在下列式子ab，，ab2+b+1，，x2+x3﹣6中，多项式有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【即学即练2】13．多项式3x2﹣2x﹣1的各项分别是（）A．3x2，2x，1 B．3x2，﹣2x，1 C．﹣3x2，2x，﹣1 D．3x2，﹣2x，﹣1【即学即练3】14．多项式2x5+4xy3﹣5x2﹣1的次数和常数项分别是（）A．5，﹣1 B．5，1 C．10，﹣1 D．4，﹣1【即学即练4】15．多项式6x4+2x2y3﹣3xy2﹣1的次数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【即学即练5】16．多项式2x3﹣x2y2﹣3xy+x﹣1是次项式．知识点05多项式的升幂或降幂排列升幂排列（降幂排列）的概念：把多项式按照各项的次数由高到低（由低到高）的顺序排列的方式叫做升幂（降幂）排列。有时也按照某个字母进行升幂排列或者降幂排列。题型考点：对多项式进行升幂或降幂排列。【即学即练1】17．将代数式4a2b+3ab2﹣2b3+a3按a的升幂排列的是（）A．﹣2b3+3ab2+4a2b+a3 B．a3+4a2b+3ab2﹣2b3 C．4a2b+3ab2﹣2b3+a3 D．4a2b+3ab2+a3﹣2b3【即学即练2】18．把多项式a3﹣b3﹣3a2b+3ab2重新排列．（1）按a升幂排列；（2）按a降幂排列．题型01代数式的求值【典例1】已知代数式x+2y的值是3，则代数式2x+4y+1的值是．【典例2】若m2+3n﹣1的值为5，则代数式2m2+6n+5的值为．【典例3】已知当x＝1时，2ax2+bx的值为3，则当x＝2时，ax2+bx﹣8的值为．【典例4】若代数式x﹣2y＝3，则代数式2（x﹣2y）2+4y﹣2x+1的值为（）A．7 B．13 C．19 D．25题型02整式的判断【典例1】下列各式﹣mn，m，8，，x2+2x+6，，，中，整式有（）A．3个 B．4个 C．6个 D．7个【典例2】在以下的6个代数式：π，x，3xy，，，2a+1中，整式有（）个．A．3 B．4 C．5 D．6【典例3】在式子，a，2x+5y，0.9，﹣3，﹣2a，﹣3x2y，中，单项式的个数是（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【典例4】在整式5abc，﹣7x2+1，﹣，21，中，单项式共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【典例5】下列式子：2a2b，3xy﹣2y2，，4，﹣m，，，其中是多项式的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【典例6】明明在学习完多项式后，自己设计了如下一道题目：在，，ab2+b+1，，x2+x3﹣6中，多项式有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个题型03单项式的次数与系数【典例1】若单项式的系数、次数分别是a、b，则（）A．a＝，b＝6 B．a＝﹣，b＝6 C．a＝，b＝7 D．a＝﹣，b＝7【典例2】单项式﹣xy2z3的系数及次数分别是（）A．系数是0，次数是5 B．系数是1，次数是6 C．系数是﹣1，次数是5 D．系数是﹣1，次数是6【典例3】单项式﹣xy3的系数是，次数是．【典例4】如果单项式2anb2c是六次单项式，那么n的值取（）A．6 B．5 C．4 D．3【典例5】已知单项式3xa﹣1y的次数是3，则a的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5题型04多项式的项与次数【典例1】x2y3﹣3xy3﹣2的次数和项数分别为（）A．5，3 B．5，2 C．2，3 D．3，3【典例2】多项式2x5+4xy3﹣5x2﹣1的次数和常数项分别是（）A．5，﹣1 B．5，1 C．10，﹣1 D．4，﹣1【典例3】已知多项式x﹣3xym+1+x3y﹣3x4﹣1是五次多项式，则m＝．【典例4】多项式5amb4﹣2a2b+3与单项式6a4b3c的次数相同，则m的值为．【典例5】已知多项式﹣25x2ym+1+xy2﹣4x3﹣8是五次多项式，单项式3x2ny6﹣m与该多项式的次数相同，求m+n＝．题型05升幂或降幂排列【典例1】将多项式5x2y+y3﹣3xy2﹣x3按x的升幂排列为．【典例2】将代数式3x2y+5xy2﹣3y3﹣5x3按y的降幂排列是（）A．﹣5x3+3x2y+5xy2﹣3y3 B．﹣3y3+5xy2+3x2y﹣5x3 C．﹣5x3﹣3y3+3x2y+5xy2 D．3x2y+5xy2﹣3y3﹣5x31．代数式x2+2，，，，5，，﹣x中，整式的个数是（）A．7 B．6 C．5 D．42．下列关于单项式的说法正确的是（）A．次数是2，系数是﹣2π B．次数是5，系数是 C．次数是4，系数是 D．次数是4，系数是3．下列结论中正确的是（）A．单项式的系数是，次数是4 B．单项式m的次数是1，没有系数 C．多项式2x2+xy2+3是二次三项式 D．在，2x+y，，，，0中整式有4个4．当x＝1时，代数式ax3+bx+7的值为4，则当x＝﹣1时，代数式ax3+bx+7的值为（）A．4 B．﹣4 C．10 D．115．在下列给出的四个多项式中，为三次二项式的多项式是（）A．a2﹣3 B．a3+2ab﹣1 C．4a3﹣b D．4a2﹣3b+26．有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是5，可发现第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4．依次继续下去，第2022次输出的结果是（）A．8 B．4 C．2 D．17．探索规律：观察下面的一列单项式：x、﹣2x2、4x3、﹣8x4、16x5、…，根据其中的规律得出的第9个单项式是（）A．﹣256x9 B．256x9 C．﹣512x9 D．512x98．甲，乙两商场以相同的价格出售同样的商品，当购物金额超出一定数额后，各自推出不同的优惠方案，若在两个商场购买x（x＞100）元的商品，在甲商场需付费[100+0.9（x﹣100）]元，在乙商场需付费[50+0.95（x﹣50）]元，下列关于两个商场优惠方案的说法正确的是（）A．购买金额不超过100元时，两个商场都不优惠 B．购买金额超过50元时，两个商场都有优惠 C．购买金额超过100元时，甲商场按90%收费，乙商场按95%收费 D．购买金额超过100元时，超出100元的部分，甲商场按90%收费，乙商场按95%收费9．已知a2+3a﹣2023＝0，则2a2+6a﹣1的值为．10．若x﹣3y＝4，则（x﹣3y）2+2x﹣6y﹣10的值为．11．已知方程组，则4（x+y）﹣2（3x﹣5y）的值是．12．把7个长和宽分别为a，b的小长方形纸片（如图1），按如图2所示的方式放置在长方形ABCD中，则长方形ABCD中阴影部分的面积为．（用含有a，b的代数式表示）13．如图，正方形ABCD和正方形ECGF的边长分别为a和4，点D在边CE上，点B在边GC的延长线上，连接BD、BF．图中阴影部分的面积记为S阴影．（1）请用含a的式子表示S阴影；（2）求当a＝2时，S阴影的值．14．如图，甲，乙都是长方形，边长的数据如图所示（其中m为正整数）．（1）有一正方形的周长与甲的周长相等，用含m的代数式表示正方形的边长a；（2）在（1）的条件下，试探究：该正方形面积S1与图中乙的面积S2的差（即S1﹣S2）是否是一个常数，若是，请求出这个常数，若不是，请说明理由．15．先阅读下面材料，再解决问题：在求多项式的值时，有时可以通过“降次”的方法，把字母的次数从“高次”降为“低次”．一般有