矩阵分析-第三章-第6节

第5节对称与

反对称变换那么称是V的一个对称变换。定义5.1：设是欧氏空间V

的一线性变换，如果对任意的定理5.2：是欧氏空间V

的一对称变换的充要条件是在V的任意标准正交基下的矩阵表示是对称矩阵。定理5.3：欧氏空间对称变换的是可对角化的线性变换。因为实对称矩阵正交相似于对角矩阵，即合同。那么称是V的一个反对称变换。定义5.2：设是欧氏空间V

的一线性变换，如果对任意的定理5.5：是欧氏空间V

的反对称变换的充要条件是在V的任意标准正交基下的矩阵表示是反对称矩阵。总的来说，如果对内积中的某个元素作线性变换之后得到内积，与对另外一个元素作同样变换之后得到的内积相等，那么称这样的变换为对称变换。这种变换在标准正交基下的矩阵表示为对称矩阵。反对称变换与此类似。例3.5.1~例习题第6节正规矩阵、

Schur引理定义6.1：酉相似〔正交相似〕酉相似〔正交相似〕定理6.1〔Schur引理〕：任意的一个n阶复矩阵A酉相似于一个上〔下〕三角矩阵。证明：P115略定理6.1〔Schur引理〕：任意的一个n阶复矩阵A酉相似于一个上〔下〕三角矩阵。定理6.1〔Schur不等式〕：等号成立的条件是A酉相似于对角矩阵。例题6.1：P1483-3定义6.2：正规矩阵则称A为正规矩阵。例：对角矩阵，Hermite矩阵，反Hermite矩阵，对称矩阵，反对称矩阵等都是正规矩阵。引理6.1：A是正规矩阵，那么与A酉相似的矩阵都是正规矩阵。引理6.2：A是正规矩阵，且A是三角矩阵，那么A是对角矩阵。对称变换定理6.3：，则A是正规矩阵的充要条件是：证明：根据Schur引理，存在酉矩阵U，使得：由于A是正规矩阵，所以B也是正规矩阵，又因为B是上三角矩阵，所以B是对角矩阵〔引理6.2〕。

是对角矩阵，所以也是正规矩阵，从而A是正规矩阵。推论6.1：设A是正规矩阵，是A的特征值，对应的特征向量是x，那么是的特征值，其对应的特征向量是x推论6.2：n阶正规矩阵A有n个线性无关的特征向量。推论6.3：正规矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的。例题：习题3-5：定理6.2：设A是正规矩阵，那么〔1〕A是Hermite矩阵的充要条件是A的特征值是实数。〔2〕A是反Hermite矩阵的充要条件是A的特征值的实部为零。〔3〕A是酉矩阵的充要条件是A的特征值的模等于1。P122例题6.4：例题6.5：P149习题3-13：第7节Hermite变换、正规变换定义7.1（Hermite变换）：设V是一酉空间，T是V上的线性变换，若那么称T是V上的一个Hermite变换，或者自伴变换。对称变换定义7.2（反Hermite变换）：设V是一酉空间，T是V上的线性变换，若那么称T是V上的一个反Hermite变换。反对称变换定理7.1

酉空间V上的线性变换T是Hermite变换的充要条件是T在V的任一标准正交基下的矩阵是Hermite矩阵定理7.3

酉空间V上的线性变换T是反Hermite变换的充要条件是T在V的任一标准正交基下的矩阵是反Hermite矩阵定理7.2

酉空间V上的Hermite变换T的特征值为实数。

酉空间V上的反Hermite变换T的特征值的实部为零。定义7.3（伴随变换）：设V是一酉（欧氏）空间，T是V上的线性变换，若存在V上的线性变换使得，那么称T有一个伴随变换。酉（欧氏）空间上的每一个线性变换T都有唯一的一个伴随变换。定理7.4

设是酉（欧氏）空间V上的一组标准正交基，T是V上的线性变换，其自变换是epsilon例题7.1,7.2,7.3定理7.4：设V是一酉〔欧氏〕空间，S,T是V上的线性变换，假设存在V上的线性变换，k为一个复〔实〕数，那么：伴随变换的性质：定义7.4：设V是一酉空间，T是V上的线性变换，如果T满足那么称T是正规变换。定理7.5：

酉空间V上的线性变换T是正规变换的充要条件是T在V的任一标准正交基下的正规矩阵。定理7.9：

酉空间V上的线性变换T是正规变换的充要条件是：在V中存在一标准正交基，使得T在这个基下的矩阵表示为对角矩阵。定理6.3：，则A是正规矩阵的充要条件是：对称矩阵，二次型第8节Hermite变矩阵、Hermite二次齐式对称矩阵Hemite矩阵定理8.1：假设A是n阶复矩阵，那么，（1）A是Hermite矩阵的充要条件是对任意，是实数。（2）A是Hermite矩阵的充要条件是对任意，是Hermite矩阵。定理8.3：假设A是n阶复矩阵，那么A是n阶Hermite矩阵的充要条件是存在酉矩阵U，使得，定理8.2：假设A是n阶实矩阵，那么A是n阶实对称矩阵的充要条件是存在正交矩阵Q，使得，Hermite二次齐式，实二次齐式〔二次型〕Hermite二次齐式的标准型：定理8.5,8.6hermite矩阵BHermite二次齐式的标准型：定理8.5,8.63.1欧氏空间和酉空间1、欧氏空间和酉空间引入内积在线性空间根底上再定义多四个条件2、为了将向量的模概念引入线性空间中，所以需要关注向量的模的根本性质：非负性齐次性三角不等式柯西许瓦兹三角不等式不等式3.2标准正交基、Schmidt方法

1、正交向量、正交向量组。2、标准正交向量组。3、正交向量组是无关向量组。4、标准正交基：由标准正交向量组线性空间的一组基。5、线性空间的任何一组基出发，可以采用Schmidt方法构造出一个标准正交基。3.3正交变换与酉变换1、酉变换〔或正交变换〕将酉空间〔线性空间〕的标准正交基变到标准正交基。〔空间中向量的模不变的线性变换〕2、酉变换〔或正交变换〕在标准正交基下的矩阵表示是酉矩阵〔或正交矩阵〕3、酉矩阵的逆等于它的复共轭转置正交矩阵酉矩阵3.4幂等矩阵、正交投影1、幂等矩阵：平方等于本身的矩阵。〔特征值非零即1〕2、投影：将一个空间中的向量唯一的表示为其两个互补子空间中的向量之和，这时称其中属于某个子空间的子向量为原向量沿其补子空间到本子空间的投影。3、正交投影：投影到的两个互补子空间是正交的4、正交投影在标准正交基下的矩阵表示可以分解成一个次酉矩阵乘以它的复共轭转置。3.5对称变换与反对称变换

〔欧氏空间)1、如果对内积中的某个元素作线性变换之后得到内积，与对另外一个元素作同样变换之后得到的内积相等，那么称这样的变换为对称变换。2、这种变换在标准正交基下的矩阵表示为对称矩阵。3、反对称变换、反对称矩阵3.6schur引理、正规矩阵1、正规矩阵比酉矩阵少了一项约束：不要求等于单位矩阵。2、正规矩阵的很多性质与酉相似相关。 酉相似：3、Schur引理：任意的一个n阶复矩阵A酉相似于一个上〔下〕三角矩阵。〔三角矩阵主对角线的值是A的特征值〕4、正规矩阵分别为Hermite矩阵，反Hermite矩阵，酉矩阵时，它的特征值分别为均是实数，均是纯虚数，模长均为1。3.7Hermite变换、正规变换1、Hermite矩阵对应的线性变换就是Hermite变换2、正规矩阵对应的变换为正规变换。3、正规矩阵的很多性质就可以直接套到