2022-2023学年湖南省长沙市雅礼教育集团高二（上）期末数学试卷

2022-2023学年湖南省长沙市雅礼教育集团高二（上）期末数学试卷一、选择题：本共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）直线l过点A（1，2），且不过第四象限，则直线l的斜率的最大值为（）A．0 B．1 C．12 D．2．（5分）函数y=sin(πA．x＝0 B．x=π4 C．x=3π23．（5分）若集合A={n∈N|A4n=A．∅ B．{4} C．{0，4} D．{0，1，2，3，4}4．（5分）如图，在同一平面内以平行四边形ABCD两边AB，AD为斜边向外作等腰直角△ABE，△ADF，若AB＝2，AD＝1，∠BAD=π4，则A．32 B．-32 C．325．（5分）6名志愿者分配到3个社区参加服务工作，每名志愿者只分配到一个社区，每个社区至少分配一名志愿者且人数各不相同，不同的分配方案共有（）A．540种 B．360种 C．180种 D．120种6．（5分）双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点FA．2+1 B．3+1 C．3-1 7．（5分）函数f（x）＝x10+x9+…+x﹣1（x＞0）的零点属于区间（）A．(0，13) B．(13，8．（5分）已知x，y，θ∈R，若ex﹣2≤（x﹣y﹣1）ey，则x2+y2﹣2xcosθ﹣2ysinθ的最小值等于（）A．3-22 B．2-22 C二、选择题：本共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知复数z＝﹣2+i，则（）A．z的虚部是﹣2 B．z的共轭复数是﹣2﹣i C．z的模是5 D．z在复平面内对应的点是（﹣2，1）（多选）10．（5分）下列数列{an}中，单调递增的数列是（）A．an＝（n﹣3）2 B．an＝﹣（13）nC．an＝tann D．a（多选）11．（5分）法国数学家笛卡尔开创了解析几何思想方法的先河．他研究了许多优美的曲线，在平面直角坐标系中，方程x3+y3＝3axy所表示的曲线称为笛卡尔叶形线．当a＝1时，笛卡尔叶形线具有的性质是（）A．经过第三象限 B．关于直线y＝x对称 C．与直线x+y+1＝0有公共点 D．与直线x+y+1＝0没有公共点（多选）12．（5分）过下列哪些点恰可以作函数f（x）＝2x3﹣3x的两条切线（）A．（﹣2，﹣10） B．（﹣2，3） C．（﹣2，6） D．（﹣2，8）三、本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）(x-1x)6的展开式的常数项是14．（5分）圆x2+y2＝1与圆（x﹣4）2+（y﹣4）2＝25的公共弦长等于．15．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，动点M在线段A1C上，异面直线AD1和BM所成的角为θ，则θ的取值范围是．（用区间表示）16．（5分）曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大，工程规划中常需要计算曲率，如高铁的弯道设计．曲线y＝f（x）在点（x，f（x））曲率的计算公式是K=|y″|(1+(y')2)3，其中y″是y'的导函数．则曲线xy＝1三、本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台．该平台首次实现了“有组织，有管理，有指导，有服务”的学习，极大地满足了广大党员干部和人民群众多样化、自主化、便捷化的学习需求，日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门APP．某市宣传部门为了解市民利用“学习强国”学习国家政策的情况，从全市抽取1000人进行调查，统计市民每周利用“学习强国”的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．（1）估计该市市民每周利用“学习强国”时长在区间[6，8）内的概率和每周利用“学习强国”的平均时长；（2）若宣传部为了解市民每周利用“学习强国”的具体情况，准备采用分层抽样的方法从[4，6）和[10，12）组中抽取7人了解情况，从这7人中随机选取2人参加座谈会，求所选取的2人来自不同的组的概率．18．（12分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=1，（1）求{an}的通项公式；（2）证明：1a19．（12分）如图，△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（b+c+a）（b+c﹣a）＝3bc．（1）求A的大小；（2）若△ABC内点P满足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝∠PAC，求∠BPC的大小．20．（12分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2BB1＝2，E为BB1的中点．（1）直线BC与平面AEC1的交点记为M，直线A1B1与平面AEC的交点记为N．证明：直线MN∥平面ACC1A1．（2）求二面角E﹣AC1﹣C的大小；21．（12分）设F，E分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b（1）求b的值；（2）设点P的坐标为（1，1），直线过点P，与椭圆交于点A，B，线段AB的中点记为M．若|FM|是|FA|与|FB|的等比中项，求a的最小值，并求出此时直线l的方程．22．（12分）设函数f（x）＝ln（x+1）﹣ax，a∈R，曲线y＝f（x）在原点处的切线为x轴．（1）求a的值；（2）求方程f(x)=-（3）证明：(2023

2022-2023学年湖南省长沙市雅礼教育集团高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）直线l过点A（1，2），且不过第四象限，则直线l的斜率的最大值为（）A．0 B．1 C．12 D．【解答】解：直线l过点A（1，2），且不过第四象限，则直线l的斜率的最大值=2-01-0故选：D．2．（5分）函数y=sin(πA．x＝0 B．x=π4 C．x=3π2【解答】解：函数y=sin(π2+x)tanx=cosx•tanx＝sinx（x≠kπ+π2对称轴方程是x=kπ+π取k＝0，知x=π故选：C．3．（5分）若集合A={n∈N|A4n=A．∅ B．{4} C．{0，4} D．{0，1，2，3，4}【解答】解：A＝{4}，B＝{0，1，2，3，4}，∴A∩B＝{4}．故选：B．4．（5分）如图，在同一平面内以平行四边形ABCD两边AB，AD为斜边向外作等腰直角△ABE，△ADF，若AB＝2，AD＝1，∠BAD=π4，则A．32 B．-32 C．32【解答】解：由已知可得AC=AB=AD=AF=1=-故选：B．5．（5分）6名志愿者分配到3个社区参加服务工作，每名志愿者只分配到一个社区，每个社区至少分配一名志愿者且人数各不相同，不同的分配方案共有（）A．540种 B．360种 C．180种 D．120种【解答】解：由题意6名志愿者被分成1，2，3三组，然后再分配到3个社区全排，所以共有C6故选：B．6．（5分）双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点FA．2+1 B．3+1 C．3-1 【解答】解：不妨设点P在第一象限，由抛物线方程为y2＝8x可得F（2，0），因为|PF|＝4＝xP+2，即xP＝2，则yP＝4，所以P的坐标为（2，4）．因为双曲线的焦点是F（2，0），F1（﹣2，0），根据双曲线的定义2a=|P则e=c故选：A．7．（5分）函数f（x）＝x10+x9+…+x﹣1（x＞0）的零点属于区间（）A．(0，13) B．(13，【解答】解：∵f（x）＝x10+x9+…+x﹣1（x＞0），∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，又f(12)=∴f（x）有唯一的零点x0故选：C．8．（5分）已知x，y，θ∈R，若ex﹣2≤（x﹣y﹣1）ey，则x2+y2﹣2xcosθ﹣2ysinθ的最小值等于（）A．3-22 B．2-22 C【解答】解：由题设ex﹣y﹣2﹣（x﹣y﹣2）﹣1≤0，设f（x）＝ex﹣x﹣1，则f′（x）＝ex﹣1，当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）≥f（0）＝0，即ex﹣y﹣2﹣（x﹣y﹣2）﹣1≥0，综上，ex﹣y﹣2﹣（x﹣y﹣2）﹣1＝0，即f（x﹣y﹣2）＝0，所以x﹣y﹣2＝0，设P是直线x﹣y﹣2＝0上的点，Q（cosθ，sinθ）是圆x2+y2＝1上的点，而目标式为x2+y2﹣2xcosθ﹣2ysinθ＝（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2﹣1＝|PQ|2﹣1，由|PQ|min=|0-0-2|2-1故（|PQ|2﹣1）min＝（2-1）2﹣1＝2﹣22故选：B．二、选择题：本共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知复数z＝﹣2+i，则（）A．z的虚部是﹣2 B．z的共轭复数是﹣2﹣i C．z的模是5 D．z在复平面内对应的点是（﹣2，1）【解答】解：复数z＝﹣2+i，则z的虚部为1，故A错误；z的共轭复数是﹣2﹣i，故B正确；|z|=(-2)2z在复平面内对应的点是（﹣2，1），故D正确．故选：BCD．（多选）10．（5分）下列数列{an}中，单调递增的数列是（）A．an＝（n﹣3）2 B．an＝﹣（13）nC．an＝tann D．a【解答】解：A：因为a1＝4，a2＝1，显然不是递增数列；B：an﹣an﹣1＝（13）n﹣1-(故an＞an﹣1，即数列为递增数列；C：由正切函数的周期性可知，y＝tann不是单调递增数列；D：令bn=nn+1=1-1n+1，则bn﹣bn所以bn＞bn+1，所以lnbn＞lnbn+1，即an+1＞an，即数列为递增数列．故选：BD．（多选）11．（5分）法国数学家笛卡尔开创了解析几何思想方法的先河．他研究了许多优美的曲线，在平面直角坐标系中，方程x3+y3＝3axy所表示的曲线称为笛卡尔叶形线．当a＝1时，笛卡尔叶形线具有的性质是（）A．经过第三象限 B．关于直线y＝x对称 C．与直线x+y+1＝0有公共点 D．与直线x+y+1＝0没有公共点【解答】解：当a＝1时，笛卡尔叶形线为x3+y3＝3xy，A：若x＜0，y＜0，则x3+y3＜0，3xy＞0，x3+y3≠3xy，故不经过第三象限，故A错误；B：若点（x，y）在曲线上，则点（y，x）也在曲线上，故笛卡尔叶形线关于直线y＝x对称，故B正确；C，D：由方程组x3+y3=3xyx+y=-1，得(x+y)(x2-xy+y2)=3xyx+y=-1，得故选：BD．（多选）12．（5分）过下列哪些点恰可以作函数f（x）＝2x3﹣3x的两条切线（）A．（﹣2，﹣10） B．（﹣2，3） C．（﹣2，6） D．（﹣2，8）【解答】解：函数f（x）＝2x3﹣3x的导数f′（x）＝6x2﹣3，设切点坐标为（a，2a3﹣3a），由题意当切线经过（﹣2，﹣10）时，可得6a2-3=2a3-3a+10a+2，解得a＝1，此时切线方程：因为（﹣2，﹣10）在曲线上，所以切线方程有：y+10＝21（x+2）．所以A正确；由题意当切线经过（﹣2，3）时，可得6a2﹣3=2得4a3+12a2﹣3＝0，方程有三个解，此时经过（﹣2，3）可以作函数f（x）＝2x3﹣3x的三条切线，所以B不正确；由题意当切线经过（﹣2，6）时，可得6a2﹣3=2解得a＝0或a＝﹣3，此时经过（﹣2，6）可以作函数f（x）＝2x3﹣3x的两条切线，所以C正确；由题意当切线经过（﹣2，8）时，可得6a2﹣3=2解得a＝0，此时经过（﹣2，8）可以作函数f（x）＝2x3﹣3x的一条切线，所以D不正确；故选：AC．三、本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）(x-1x)6的展开式的常数项是【解答】解：(x-1x)6=（x﹣x﹣1）6令6﹣2r＝0，解得r＝3，故(x-1x故答案为：﹣20．14．（5分）圆x2+y2＝1与圆（x﹣4）2+（y﹣4）2＝25的公共弦长等于2．【解答】解：圆x2+y2＝1与圆（x﹣4）2+（y﹣4）2＝25的方程相减得：x+y﹣1＝0，由圆x2+y2＝1的圆心（0，0），半径r为1，且圆心（0，0）到直线x+y﹣1＝0的距离d=1则公共弦长为21-故答案为：2．15．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，动点M在线段A1C上，异面直线AD1和BM所成的角为θ，则θ的取值范围是[π6【解答】解：连结BC1，则BC1∥AD1，所以异面直线AD1和BM所成的角即为直线BC1与BM所成的角，所以θ的最小值为BC1与平面A1BC所成的角，设CD1，C1D的交点为O，则∠OBC1为BC1与平面A1BC所成的角，所以sin∠OBC1=O因为∠OBC1为锐角，所以∠OBC1=π6，即θ的最小值为当点M与点A1重合时，直线BC1与BM所成的角为∠A1BC=π3，此时θ取得最大值，为所以θ的取值范围是[π故答案为：[π16．（5分）曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大，工程规划中常需要计算曲率，如高铁的弯道设计．曲线y＝f（x）在点（x，f（x））曲率的计算公式是K=|y″|(1+(y')2)3，其中y″是y'的导函数．则曲线xy＝1【解答】解：由xy＝1，得y=1x，y′=-1x∴K=|y″|当且仅当|x|＝1时等号成立．故答案为：22三、本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台．该平台首次实现了“有组织，有管理，有指导，有服务”的学习，极大地满足了广大党员干部和人民群众多样化、自主化、便捷化的学习需求，日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门APP．某市宣传部门为了解市民利用“学习强国”学习国家政策的情况，从全市抽取1000人进行调查，统计市民每周利用“学习强国”的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．（1）估计该市市民每周利用“学习强国”时长在区间[6，8）内的概率和每周利用“学习强国”的平均时长；（2）若宣传部为了解市民每周利用“学习强国”的具体情况，准备采用分层抽样的方法从[4，6）和[10，12）组中抽取7人了解情况，从这7人中随机选取2人参加座谈会，求所选取的2人来自不同的组的概率．【解答】解：（1）由题意知，该市市民每周利用“学习强国”时长在[6，8）内的频率为0.15×2＝0.3，所以估计该市市民每周利用“学习强国”时长在[6，8）内的概率为0.3；由题意知各组的频率分别为0.05，0.1，0.25，0.3，0.15，0.1，0.05，所以x=1×0.05+3×0.1+5×0.25+7×0.3+9×0.15+11×0.1+13×0.05=6.8所以估计该市市民每周利用“学习强国”的平均时长是6.8小时．（2）由（1）知，利用“学习强国”时长在[4，6）和[10，12）的频率分别为0.25，0.1，故两组人数分别为250，100，采用分层抽样的方法从[4，6）组抽取5人，从[10，12）组抽取2人，从7人中抽取2人的基本事件有C72所求事件的个数共有C51故所求概率P=1018．（12分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=1，（1）求{an}的通项公式；（2）证明：1a【解答】解：（1）因为a1＝1，所以S1又因为{Snn(n+1)}是公差为所以Sn当n≥2时，Sn﹣1=16（n﹣1）n（2n﹣两式相减得an=Sn-S所以{an}的通项公式是an（2）证明：由（1）可知，1a当n＝1时，1a当n≥2时，1a19．（12分）如图，△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（b+c+a）（b+c﹣a）＝3bc．（1）求A的大小；（2）若△ABC内点P满足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝∠PAC，求∠BPC的大小．【解答】解：（1）因为（b+c+a）（b+c﹣a）＝3bc，所以b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理，得cosA=b因为0＜A＜π，所以A=π（2）设∠PCB＝α，∠PBA＝β，因为A=π3，∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝∠所以∠PAB＝∠PBC＝30°，在△PBC和△PAB中分别应用正弦定理，得PBPC=sinα因为PA＝PC，所以sinα⋅又因为α+β=π所以sinαsin（π3-α）＝sinα（32cosα-12sinα）=12（32sin2α+12cos2α）-14=12sin所以2α+π所以α=β=π所以∠BPC=2π20．（12分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2BB1＝2，E为BB1的中点．（1）直线BC与平面AEC1的交点记为M，直线A1B1与平面AEC的交点记为N．证明：直线MN∥平面ACC1A1．（2）求二面角E﹣AC1﹣C的大小；【解答】（1）证明：以B为坐标原点，BC，BB1，BA所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为AB＝BC＝2BB1＝2，E为BB1的中点，所以A（0，0，2），B（0，0，0），C（2，0，0），E（0，12，0），C1（2，1，0所以AC1→=（2，1，﹣2），AC→=（因为直线BC与C1E的交点即为直线BC与平面AEC1的交点M，直线AE与A1B1的交点即为直线A1B1与平面AEC的交点N，所以M（﹣2，0，0），N（0，1，﹣2），所以MN→=（2，1，﹣2），即所以MN∥AC1，又AC1⊂平面ACC1A1，MN⊄平面ACC1A1，所以直线MN∥平面ACC1A1．（2）解：设G为AC的中点，则BG⊥AC，G（1，0，1），因为平面ABC⊥平面ACC1A1，且平面ABC∩平面ACC1A1＝AC，所以BG⊥平面ACC1A1，即平面ACC1A1的一个法向量为BG→由（1）知，AE→设n→=(x0，y0，令y0＝2，则x0=-12，z0=12，所以n→=所以BG→⋅n→=-1故二面角E﹣AC1﹣C的大小是90°．21．（12分）设F，E分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b（1）求b的值；（2）设点P的坐标为（1，1），直线过点P，与椭圆交于点A，B，线段AB的中点记为M．若|FM|是|FA|与|FB|的等比中项，求a的最小值，并求出此时直线l的方程．【解答】解：（1）设|NE|