2023-2024学年辽宁省部分高中高二下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3辽宁省部分高中2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求）1.已知，则（）A.2 B.5 C.6 D.7〖答案〗B〖解析〗由得，所以.故选：B2.已知五个数成等差数列，则（）A.15 B.20 C.30 D.35〖答案〗C〖解析〗设数列的公差为，依题意，，则，故.故选：C.3.已知数列的通项公式为，当它为递增数列时，的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为是单调递增数列，所以对于任意的，都有，即，化简得，所以对于任意的都成立，因为，所以.故选：A4.已知数列，则由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为，则数列的通项公式为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因数列是首项为1，公差为2的等差数列，而数列是首项为1，公差为3的等差数列，则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列是首项为1，公差为6的等差数列，故.故选：D.5.函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意，在上恒成立，即在上恒成立，不妨设，，因在上恒成立，故在上单调递减，则，故.故选：D.6.已知数列满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由①知，当时，；当时，②，由①②：，即得，当时，符合题意，故故选：A.7.函数的图象大致是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，令，解得或；令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以的两个极值点为，故排除选项A和选项D，当时，，所以恒为正，排除选项C，即只有选项B符合要求.故选：B．8.已知定义在上的函数的导函数为，若，，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗函数在定义域上为增函数，因为，则，即，其中，所以，令，则，所以在上递增，所以，即，又，所以，，，.故选：D二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）9.已知等比数列的公比为，前项和为，若，则（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗依题，，解得故A错误，B正确；则，，故C错误，D正确.故选：BD.10.下列不等式正确的是（）A.当时， B.当时，C.当时， D.当时，〖答案〗ACD〖解析〗对选项A，设，，，当时，，减函数，当时，，为增函数，所以，即，故A正确.对选项B，当时，，不满足，故B错误.对选项C，设，，，当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以，即，故C正确.对选项D，设，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；则在时求得最小值，即，故D正确.故选：ACD11.已知数列满足为数列的前项和，则（）A. B.数列是等比数列C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由题意，，，则，，故A正确；由题意，所以，不是常数，故数列不是等比数列，故选项B错误；因为，即，首项，故是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，故C正确；因为，即，首项，故是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，所以，故D正确.故选：ACD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.曲线在处的切线方程为______.〖答案〗〖解析〗由得，，所以，又，所以曲线在处的切线方程为，即.故〖答案〗为：13.数列的通项公式为是其前项和，则__________.〖答案〗〖解析〗由则.故〖答案〗为：14.已知函数有三个不同的零点，则的取值范围是__________.〖答案〗〖解析〗根据有三个不同的零点，则具有三个不同的解，可得与的共有三个解，构造函数，则，故，则，当，，当，，所以，当时，，当时，，所以或，解得或，故的取值范围为.故〖答案〗为：.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.己知数列的前项和为.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.解：（1），有，当时，有，两式相减得，当时，由，得，检验：当时也满足，所以（2）由（1）知，，所以，所以.16.已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于轴.（1）求的值；（2）求函数的单调减区间和极值.解：（1）函数的定义域为，在点处的切线平行于轴，，.（2）由（1）可得，令得或，列表如下：2+0-0+极大值极小值由表格知单调减区间为，极大值为，极小值为.17.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，求取值范围.解：（1）函数的定义域是，因，①若，则在上单调递增；②若，则当时，单调递减；当时，单调递增；综上，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增（2）法（一）：恒成立，即对（*）①若则，由（1）知，在上单调递增，而，故（*）式不成立；②若由（1）知，在上单调递减，上单调递增，则由，可得设，因在上恒成立，则在为增函数，又，故需使，即的取值范围是.法（二）：因为函数的定义域是即为，可化为.设，依题意需使.因，令，因在上恒成立，则在上是减函数，又因为，所以当时，，则在上是增函数；当时，，，则在上是减函数.所以在处取得极大值，也是最大值，即，所以.故的取值范围是.18.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详析九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个球，第五层有15个球..依照这个规律，设各层球数构成一个数列.（1）写出与的递推关系，并求数列的通项公式；（2）设的前项和为；①求；②对，不等式恒成立，求实数的取值范围.解：（1）从图中可以发现每一层球的数量比上一层多的个数等于层数，所以，所以，所以，当时，也符合上式，故.（2）①因为，则，，，两式相减得，，所以，；②对任意的恒成立，，则对任意的恒成立，令，，为递减数列，则当时，，.所以实数的取值范围为.19.已知函数.（1）求函数的最小值；（2）若，且，求证：.解：（1）由且定义域为，得，令且定义域为，则，所以在单调递增，又，当时，单调递减；当时，单调递增.所以函数在时，有最小值，；（2）因为，即，所以，因为，设，则由得，，且.不妨设，要证，即证，即证，由及的单调性知，.令，则，因为，所以，所以在为减函数所以，所以，取，则，又，则，又，且在单调递增，所以.所以原命题得证.辽宁省部分高中2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求）1.已知，则（）A.2 B.5 C.6 D.7〖答案〗B〖解析〗由得，所以.故选：B2.已知五个数成等差数列，则（）A.15 B.20 C.30 D.35〖答案〗C〖解析〗设数列的公差为，依题意，，则，故.故选：C.3.已知数列的通项公式为，当它为递增数列时，的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为是单调递增数列，所以对于任意的，都有，即，化简得，所以对于任意的都成立，因为，所以.故选：A4.已知数列，则由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为，则数列的通项公式为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因数列是首项为1，公差为2的等差数列，而数列是首项为1，公差为3的等差数列，则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列是首项为1，公差为6的等差数列，故.故选：D.5.函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意，在上恒成立，即在上恒成立，不妨设，，因在上恒成立，故在上单调递减，则，故.故选：D.6.已知数列满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由①知，当时，；当时，②，由①②：，即得，当时，符合题意，故故选：A.7.函数的图象大致是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，令，解得或；令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以的两个极值点为，故排除选项A和选项D，当时，，所以恒为正，排除选项C，即只有选项B符合要求.故选：B．8.已知定义在上的函数的导函数为，若，，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗函数在定义域上为增函数，因为，则，即，其中，所以，令，则，所以在上递增，所以，即，又，所以，，，.故选：D二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）9.已知等比数列的公比为，前项和为，若，则（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗依题，，解得故A错误，B正确；则，，故C错误，D正确.故选：BD.10.下列不等式正确的是（）A.当时， B.当时，C.当时， D.当时，〖答案〗ACD〖解析〗对选项A，设，，，当时，，减函数，当时，，为增函数，所以，即，故A正确.对选项B，当时，，不满足，故B错误.对选项C，设，，，当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以，即，故C正确.对选项D，设，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；则在时求得最小值，即，故D正确.故选：ACD11.已知数列满足为数列的前项和，则（）A. B.数列是等比数列C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由题意，，，则，，故A正确；由题意，所以，不是常数，故数列不是等比数列，故选项B错误；因为，即，首项，故是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，故C正确；因为，即，首项，故是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，所以，故D正确.故选：ACD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.曲线在处的切线方程为______.〖答案〗〖解析〗由得，，所以，又，所以曲线在处的切线方程为，即.故〖答案〗为：13.数列的通项公式为是其前项和，则__________.〖答案〗〖解析〗由则.故〖答案〗为：14.已知函数有三个不同的零点，则的取值范围是__________.〖答案〗〖解析〗根据有三个不同的零点，则具有三个不同的解，可得与的共有三个解，构造函数，则，故，则，当，，当，，所以，当时，，当时，，所以或，解得或，故的取值范围为.故〖答案〗为：.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.己知数列的前项和为.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.解：（1），有，当时，有，两式相减得，当时，由，得，检验：当时也满足，所以（2）由（1）知，，所以，所以.16.已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于轴.（1）求的值；（2）求函数的单调减区间和极值.解：（1）函数的定义域为，在点处的切线平行于轴，，.（2）由（1）可得，令得或，列表如下：2+0-0+极大值极小值由表格知单调减区间为，极大值为，极小值为.17.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，求取值范围.解：（1）函数的定义域是，因，①若，则在上单调递增；②若，则当时，单调递减；当时，单调递增；综上，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增（2）法（一）：恒成立，即对（*）①若则，由（1）知，在上单调递增，而，故（*）式不成立；②若由（1）知，在上单调递减，上单调递增，则由，可得设，因在上恒成立，则在为增函数，又，故需使，即的取值范围是.法（二）：因为函数的定义域是即为，可化为.设，依题意需使.因，令，因在上恒成立，则在上是减函数，又因为，所以当时，，则在上是增函数；当时，，，则在上是减函数.所以在处取得极大值，也是最大值，即，所以.故的取值范围是.18.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详析九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个球，第五层有15个球..依照这个规律，设各层球数构成一个数列.（1）写出与的递推关系，并求数列的通项公式；（2）设的前项和为；①求；②对，不等式恒成立，求实数的取值范围.解：（1）从图中可以发现每一层球的数量比上一层多的个数等于层数，所