福建省漳平市一中2024届高三二模数学试题（三）

福建省漳平市一中2024届高三二模数学试题（三）注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．正项等比数列中的、是函数的极值点，则（）A． B．1 C． D．22．复数（为虚数单位），则等于（）A．3 B．C．2 D．3．正三棱柱中，，是的中点，则异面直线与所成的角为（）A． B． C． D．4．已知，，若，则向量在向量方向的投影为（）A． B． C． D．5．已知双曲线（）的渐近线方程为，则（）A． B． C． D．6．已知各项都为正的等差数列中，，若，，成等比数列，则（）A． B． C． D．7．已知抛物线的焦点为，对称轴与准线的交点为，为上任意一点，若，则（）A．30° B．45° C．60° D．75°8．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为A． B．C．2 D．9．已知函数的值域为，函数，则的图象的对称中心为（）A． B．C． D．10．若θ是第二象限角且sinθ=，则=A． B． C． D．11．若集合，则（）A． B．C． D．12．函数满足对任意都有成立，且函数的图象关于点对称，，则的值为（）A．0 B．2 C．4 D．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若函数，其中且，则______________．14．成都市某次高三统考，成绩X经统计分析，近似服从正态分布，且，若该市有人参考，则估计成都市该次统考中成绩大于分的人数为_____．15．已知数列中，为其前项和，，，则_________，_________.16．已知向量，，若向量与向量平行，则实数___________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知三棱锥中侧面与底面都是边长为2的等边三角形，且面面，分别为线段的中点.为线段上的点，且.（1）证明：为线段的中点；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）已知数列是各项均为正数的等比数列，数列为等差数列，且，，.（1）求数列与的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）设为数列的前项和，若对于任意，有，求实数的值.19．（12分）改革开放40年，我国经济取得飞速发展，城市汽车保有量在不断增加，人们的交通安全意识也需要不断加强.为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识，某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查.随机抽取男女驾驶员各50人，进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如图所示.规定得分在80分以上为交通安全意识强.安全意识强安全意识不强合计男性女性合计（Ⅰ）求的值，并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率；（Ⅱ）已知交通安全意识强的样本中男女比例为4:1，完成2×2列联表，并判断有多大把握认为交通安全意识与性别有关；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从交通安全意识强的驾驶员中随机抽取2人，求抽到的女性人数的分布列及期望.附：，其中0.0100.0050.0016.6357.87910.82820．（12分）设椭圆的左右焦点分别为，离心率，右准线为，是上的两个动点，．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）证明：当取最小值时，与共线．21．（12分）如图，在直三棱柱中，，，D，E分别为AB，BC的中点.（1）证明：平面平面；（2）求点到平面的距离.22．（10分）超级病菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧、痉挛、昏迷直到最后死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n（）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为次，假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（）.（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.（i）试运用概率统计的知识，若，试求p关于k的函数关系式；（ii）若，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值.参考数据：，，，，

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

根据可导函数在极值点处的导数值为，得出，再由等比数列的性质可得.【题目详解】解：依题意、是函数的极值点，也就是的两个根∴又是正项等比数列，所以∴.故选：B【题目点拨】本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题.2、D【解题分析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，从而求得，然后直接利用复数模的公式求解.【题目详解】，所以，，故选：D.【题目点拨】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共轭复数，复数的模，属于基础题目.3、C【解题分析】

取中点，连接，，根据正棱柱的结构性质，得出//，则即为异面直线与所成角，求出，即可得出结果.【题目详解】解：如图，取中点，连接，，由于正三棱柱，则底面，而底面，所以，由正三棱柱的性质可知，为等边三角形，所以，且,所以平面，而平面，则，则//，，∴即为异面直线与所成角，设，则，，，则，∴.故选：C.【题目点拨】本题考查通过几何法求异面直线的夹角，考查计算能力.4、B【解题分析】

由，，，再由向量在向量方向的投影为化简运算即可【题目详解】∵∴，∴，∴向量在向量方向的投影为.故选：B.【题目点拨】本题考查向量投影的几何意义，属于基础题5、A【解题分析】

根据双曲线方程（），确定焦点位置，再根据渐近线方程得到求解.【题目详解】因为双曲线（），所以，又因为渐近线方程为，所以，所以.故选：A.【题目点拨】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.6、A【解题分析】试题分析：设公差为或（舍），故选A.考点：等差数列及其性质.7、C【解题分析】

如图所示：作垂直于准线交准线于，则，故，得到答案.【题目详解】如图所示：作垂直于准线交准线于，则，在中，，故，即.故选：.【题目点拨】本题考查了抛物线中角度的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力.8、A【解题分析】

准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．【题目详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，为圆心．，又点在圆上，，即．，故选A．【题目点拨】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．9、B【解题分析】

由值域为确定的值，得，利用对称中心列方程求解即可【题目详解】因为，又依题意知的值域为，所以得，，所以，令，得，则的图象的对称中心为.故选：B【题目点拨】本题考查三角函数的图像及性质，考查函数的对称中心，重点考查值域的求解，易错点是对称中心纵坐标错写为010、B【解题分析】由θ是第二象限角且sinθ=知：，．所以．11、A【解题分析】

先确定集合中的元素，然后由交集定义求解．【题目详解】，.故选：A．【题目点拨】本题考查求集合的交集运算，掌握交集定义是解题关键．12、C【解题分析】

根据函数的图象关于点对称可得为奇函数，结合可得是周期为4的周期函数，利用及可得所求的值.【题目详解】因为函数的图象关于点对称，所以的图象关于原点对称，所以为上的奇函数.由可得，故，故是周期为4的周期函数.因为，所以.因为，故，所以.故选：C.【题目点拨】本题考查函数的奇偶性和周期性，一般地，如果上的函数满足，那么是周期为的周期函数，本题属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

先化简函数的解析式，在求出，从而求得的值.【题目详解】由题意，函数可化简为，所以，所以.故答案为：0.【题目点拨】本题主要考查了二项式定理的应用，以及导数的运算和函数值的求解，其中解答中正确化简函数的解析式，准确求解导数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.14、.【解题分析】

根据正态分布密度曲线性质，结合求得，即可得解.【题目详解】根据正态分布，且，所以故该市有人参考，则估计成都市该次统考中成绩大于分的人数为．故答案为：．【题目点拨】此题考查正态分布密度曲线性质的理解辨析，根据曲线的对称性求解概率，根据总人数求解成绩大于114的人数.15、8（写为也得分）【解题分析】

由，得，.当时，，所以，所以的奇数项是以1为首项，以2为公比的等比数列；其偶数项是以2为首项，以2为公比的等比数列.则，.16、【解题分析】

由题可得，因为向量与向量平行，所以，解得．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）【解题分析】

（1）设为中点，连结，先证明，可证得，假设不为线段的中点，可得平面，这与矛盾，即得证；（2）以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，分别求解平面，平面的法向量的法向量，利用二面角的向量公式，即得解.【题目详解】（1）设为中点，连结.∴，，又平面，平面，∴.又分别为中点，，又，∴.假设不为线段的中点，则与是平面内内的相交直线，从而平面，这与矛盾，所以为线段的中点.（2）以为原点，由条件面面，∴，以分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，.设平面的法向量为所以取，则，.同法可求得平面的法向量为∴，由图知二面角为锐二面角，二面角的余弦值为.【题目点拨】本题考查了立体几何与空间向量综合，考查了学生逻辑推理，空间想象，数学运算的能力，属于中档题.18、（1），（2）（3）【解题分析】

（1）假设公差，公比，根据等差数列和等比数列的通项公式，化简式子，可得，，然后利用公式法，可得结果.（2）根据（1）的结论，利用错位相减法求和，可得结果.（3）计算出，代值计算并化简，可得结果.【题目详解】解：（1）依题意：，即，解得：所以，（2），，，上面两式相减，得：则即所以，（3），所以由得，，即【题目点拨】本题主要考查等差数列和等比数列的综合应用，以及利用错位相减法求和，属基础题.19、（Ⅰ）.0.2（Ⅱ）见解析，有的把握认为交通安全意识与性别有关（Ⅲ）见解析，【解题分析】

（Ⅰ）直接根据频率和为1计算得到答案.（Ⅱ）完善列联表，计算，对比临界值表得到答案.（Ⅲ）的取值为，计算概率得到分布列，计算数学期望得到答案.【题目详解】（Ⅰ），解得.所以该城市驾驶员交通安全意识强的概率.（Ⅱ）安全意识强安全意识不强合计男性163450女性44650合计2080100，所以有的把握认为交通安全意识与性别有关（Ⅲ）的取值为所以的分布列为期望.【题目点拨】本题考查了独立性检验，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.20、（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析．【解题分析】由与，得，，的方程为．设，则，由得．①（Ⅰ）由，得，②，③由①、②、③三式，消去，并求得，故．（Ⅱ），当且仅当或时，取最小值，此时，，故与共线．21、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】

（1）通过证明面，即可由线面垂直推证面面垂直；（2）根据面，将问题转化为求到面的距离，利用等体积法求点面距离即可.【题目详解】（1）因为棱柱是直三棱柱，所以又，所以面又，分别为AB，BC的中点所以//即面又面，所以平面平面（2）由（1）可知////所以//平面即点到平面的距离等于点到平面的距离设点到面的距离为由（1）可知，面且在中，，易知由等体积公式可知即由得所以到平面的距离等于【题目点拨】本题考查由线面垂直推证面面垂直，涉及利用等体积法求点面距离，属综合中档题.22、（1）（2）（i）（，且）.（ii）最大值为4.【解题分析】

（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A,利用古典概型、排列组合求解即可；（2）（i）由已知得,的所有可能取值