新教材适用2023-2024学年高中数学第7章概率2古典概型2.2古典概型的应用课后训练北师大版必修第一册

2.2古典概型的应用课后训练巩固提升一、A组1.若从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数记为a,从{1,2,3}中随机选取一个数记为b,则b>a的概率是().A.45 B.35 C.25解析:样本点总数n=15,我们用(a,b)表示随机选取的结果,事件“b>a”包含(1,2),(1,3),(2,3),共3个样本点,故所求概率为315答案:D2.袋中装有大小、质地相同的黄球、红球、白球各一个,每次任取一个,有放回地取3次,则89是下列哪个事件发生的概率()A.颜色相同 B.颜色不全相同C.颜色全不同 D.无红球解析:有放回地取球3次,共有27种等可能结果,其中颜色相同的结果有3种,其概率为327=19;设事件A表示“颜色不全相同”,则事件A是事件“颜色相同”的对立事件,故事件A的概率为1-19=89;颜色全不同,即黄、红、白各一个,则其概率为3×2×答案:B3.在军训汇报表演中,A,B,C三个方阵按一定次序通过主席台,若先后顺序是随机定的,则B先于A,C通过的概率为().A.16 B.13 C.12答案:B4.(多选题)在一次随机试验中,事件A1,A2,A3发生的概率分别为0.2,0.3,0.5,则下列说法不正确的有().A.A1∪A2与A3是互斥事件,也是对立事件B.A1∪A2∪A3是必然事件C.P(A2∪A3)=0.8D.事件A1,A2,A3的关系不确定解析:比如在一个箱子中有白球、黄球和红球若干,从中任取一球,取到红球(记为事件A1)的概率为0.2,取到黄球(记为事件A2)的概率为0.3,取到黄球或红球(记为事件A3)的概率为0.5,显然A1∪A2与A3既不是互斥事件,也不是对立事件,故A错误;A1∪A2∪A3是“取到黄球或红球”,不是必然事件,故B错误;P(A2∪A3)=P(A3)=0.5,故C错误.答案:ABC5.若从集合A={1,2}中随机选取一个数记为a,从集合B={1,2,3}中随机选取一个数记为b,确定平面上的一个点P(a,b),记“点P(a,b)满足a+b=n”为事件Cn(2≤n≤5,n∈N).若事件Cn发生的概率最大,则n的所有可能值为.

解析:分别从集合A和B中随机选取一个数确定平面上的点P为(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),共6个.满足a+b=2的点有1个,满足a+b=3的点有2个,满足a+b=4的点有2个,满足a+b=5的点有1个,所以若事件Cn发生的概率最大,则n的所有可能值为3和4.答案:3和46.从正方形4个顶点及其中心这5个点中任取2个点,则这2个点距离不小于该正方形边长的概率为.

解析:从5个点中取2个点的所有情况有10种,其中距离不小于正方形边长的情况有6种,故概率为610答案:37.在一个不透明的盒子中装有10个大小、质地相同的球,分别标有号码1,2,3,…,10,从中任取一球,求此球的号码为偶数的概率.解法1:样本空间Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},故共有10个等可能出现的样本点.令A={所取球的号码为偶数},显然A中含有5个样本点,从而P(A)=510解法2:若把一次试验的所有可能结果取为:所取球的号码为奇数,所取球的号码为偶数,则它们是等可能出现的样本点,样本点总数为2,令A={所取球的号码为偶数},则A所含样本点个数为1,故P(A)=128.袋中装有大小、质地相同的6个球,其中4个白球、2个红球,从袋中任意取出2个球,求下列事件的概率:(1)事件A表示“取出的2个球都是白球”;(2)事件B表示“取出的2个球中1个白球,1个红球”;(3)事件C表示“取出的2个球中至少有1个白球”.解:设4个白球的编号分别为1,2,3,4,2个红球的编号分别为5,6.从袋中的6个小球中任取2个球,则样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},共有15个样本点.(1)事件A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共有6个样本点.所以取出的2个球都是白球的概率为P(A)=615(2)事件B={(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)},共有8个样本点.所以取出的2个球中1个白球,1个红球的概率为P(B)=815(3)方法1因为C=A∪B,且A,B为互斥事件,所以P(C)=P(A)+P(B)=1415方法2设C的对立事件为C,则C=“取出的2个球中没有白球(全为红球)”,则C={(5,6)}.P(C)=1-P(C)=1-115二、B组1.从集合A={2,4}中随机抽取一个数记为a,从集合B={1,3}中随机抽取一个数记为b,则f(x)=ax2+2bx+1在区间(-∞,-1]上单调递减的概率为().A.12 B.34 C.16解析:(a,b)的所有取值情况如下:(2,1),(2,3),(4,1),(4,3),共4种,记“f(x)在区间(-∞,-1]上单调递减”为事件A,由条件可知f(x)的图象开口向上,对称轴为直线x=-ba,则-ba≥-1,即0<ba≤1,则事件A包含情况有(2,1),(4,1),(4,3),共3种,则P(A)答案:B2.从分别写有A,B,C,D,E的5张卡片中,任取2张,这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为().A.15 B.25 C.310解析:从5张卡片中任取2张,则样本空间Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)}共10个样本点.事件“两个字母恰好是按字母顺序相邻”包含的样本点有(A,B),(B,C),(C,D),(D,E),共4个,因此,所求概率P=410答案:B3.某小组共有5名学生,其中女生3名,现选举2名代表,至少有1名女生当选的概率为().A.520 B.910 C.110解析:由题意知男生人数为5-3=2,设2名男生分别为m1,m2,3名女生分别为w1,w2,w3,则选举2名代表的所有可能结果为(m1,m2),(m1,w1),(m1,w2),(m1,w3),(m2,w1),(m2,w2),(m2,w3),(w1,w2),(w1,w3),(w2,w3),共10种.设事件A表示“至少有1名女生当选”,则事件A包含的样本点为(m1,m2).故所求概率P(A)=1-P(A)=1-110答案:B4.某射手射击一次,未中靶的概率为0.05,中靶环数大于6的概率为0.7,则事件A表示“中靶环数大于0且小于或等于6”的概率为.

解析:“未中靶”与“中靶环数大于6”是互斥事件,“未中靶或中靶环数大于6”的对立事件是“中靶环数大于0且小于或等于6”,设为事件A,所以P(A)=1-(0.05+0.7)=0.25.答案:0.255.用红、黄、蓝三种不同颜色给下图中3个排列在一起的小矩形随机涂色,每个小矩形只涂一种颜色,求:(1)3个小矩形颜色都相同的概率;(2)3个小矩形颜色都不同的概率.解:样本空间的样本点共有27个,且每个样本点出现的可能性相等.所有样本点用树状图表示,如图所示.(第6题答图)(1)记“3个小矩形都涂同一颜色”为事件A,由图知,事件A包含的样本点有3个,故P(A)=327(2)记“3个小矩形颜色都不同”为事件B,由图可知,事件B包含的样本点有2×3=6(个),故P(B)=6276.某产品的三个质量指标分别为x,y,z,用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级.若S≤4,则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质量指标列表如下:产品编号A1A2A3A4A5质量指标(x,y,z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)产品编号A6A7A8A9A10质量指标(x,y,z)(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;(2)在该样本的一等品中,随机抽取2件产品.①用产品编号列出所有可能的结果;②设事件B为“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S都等于4”,求事件B发生的概率.解:(1)计算10件产品的综合指标S,如下表:产品编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10S4463454535其中“S≤4”的有A1,A2,A4,A5,A7,A9,共6件,故该样本的一等品率为610=0.6,从而可估计该批产品的一等品率为0.6(2)①在该样本的一等品中,随机抽取2件产品的所有可能结果为(A1,A2),(A1,A4),(A1,A5),(A1,A7),(A1,A9),(A2,A4)