5.3.2.5.3.3极大值与极小值 最大值与最小值

5.3.2.。3极大值与极小值最大值与最小值【考点梳理】考点一：函数极值的定义1．极小值点与极小值若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2．极大值点与极大值若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．考点二：函数极值的求法与步骤1．求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．2．求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)列表；(4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．考点三：函数最值的定义1．一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．2．对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值．考点四：求函数的最大值与最小值的步骤函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值；(2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．技巧训练总结：含参数的函数最值问题的两类情况(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．【题型归纳】题型一：求函数的极值1．（2022下·广东佛山·高二佛山市第四中学校考期末）设函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（

）A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递增C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值【答案】B【分析】根据导函数的正负性与原函数单调性的关系，结合极值的定义逐一判断即可.【详解】由图象可知，当时，，所以函数在上单调递减，A错误；当时，所以函数在上单调递增，B正确，C错误；函数在处取得极小值，D错误．故选：B2．（2022·全国·高二专题练习）求下列函数的极值：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)极小值为，无极大值(2)极小值为，无极大值(3)极小值为0，无极大值【分析】（1）（2）求导，得到，再判断出在这一点两侧的单调性，得到函数的极值情况（3）根据函数极值的定义，只要函数在某点附近的区域上是连续的，且在这一点两侧的单调性相反，这一点就是函数的极值点．【详解】（1）．令，解得．因为当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以函数在处有极小值，且极小值为，无极大值．（2）．令，解得，．当变化时，，的变化情况如下表：0（0，1）1－0+0+单调递减极小值单调递增无极值单调递增所以当时，函数取得极小值，且极小值为，无极大值．（3）．显然函数在处不可导．当时，，函数在内单调递增；当时，，函数在内单调递减．故当时，函数取得极小值，且极小值为0，无极大值．3．（2023上·高二课时练习）求下列函数的单调区间、极值点和极值：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析(4)答案见解析【分析】先利用导数与函数单调性的关系求得所求函数的单调区间，从而可求得其极值点和极值，由此得解.【详解】（1）因为，所以，令，得；令，得；所以的单调递减区间为，单调递增区间为，则的极小值点为，极小值为，没有极大值点和极大值.（2）因为，所以，令，得或；令，得或；所以的单调递减区间为，单调递增区间为，则的极小值点为，极小值为，极大值点为，极大值为.（3）因为，所以，令，得或；令，得；所以的单调递减区间为，单调递增区间为，则的极小值点为，极小值为，极大值点为，极大值为.（4）因为，所以，令，得；令，得或；所以的单调递减区间为，单调递增区间为，则的极小值点为，极小值为，极大值点为，极大值为.题型二：由极值求参数4．（2023下·江西上饶·高二统考期末）若函数在处有极值10，则（）A． B．0 C．7 D．0或7【答案】C【分析】利用导数结合已知，求出a，b并验证作答.【详解】函数，求导得，依题意，，解得或，当时，，函数在R上单调递增，无极值，不符合题意，当时，，当时，，时，，于是是函数的极值点，符合题意，所以.故选：C5．（2023下·山东烟台·高二山东省烟台第一中学校考开学考试）已知函数的两个极值点分别为和2，若的极大值为1，则的值为（

）A． B．0 C．2 D．4【答案】B【分析】对函数进行求导，通过两个极值点可得到，然后分和两种情况进行讨论即可【详解】由可知，因为函数的两个极值点分别为和2，所以和2是的零点，故和2是的实数根，，，．当，即时，当，当，函数在上单调递减，在上单调递增，此时极大值为，，；当，即时，当，当，函数在上单调递增，在上单调递减，此时极大值为，，，只要，无论a取何值，始终成立，故选：B．6．（2023上·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）已知函数在处取到极小值．(1)求的值；(2)求曲线在点处的切线方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据极小值列出方程组即可得解；（2）求出切点处导数可得切线斜率，据此写出切线方程即可.【详解】（1）因为，则，即，当时，，时，，时，，故在处取到极小值，所以满足题意.（2）由（1）知，，则，故切线方程为：，即.题型三：导数（导函数）图像与极值或极值点的关系7．（2023下·广东梅州·高二统考期末）设是的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．有两个极值点 B．C．为的极小值 D．有一个极大值【答案】D【分析】根据给定的图象，求出和的解集，再逐项判断作答.【详解】令的图象与x轴最右边交点横坐标为，观察图象知，由，得或，由，得或，函数有3个极值点，A错误；函数在上单调递增，，B错误；显然2不是函数的极值点，则不为的极小值，C错误；显然1是函数的极大值点，则有一个极大值，D正确.故选：D8．（2023下·北京东城·高二北京二中校考期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（

）A．在区间上有个极值点B．在处取得极小值C．在区间上单调递减D．在处取得极大值【答案】C【分析】由导函数图象可得的取值情况，即可判断.【详解】根据的图象可得，在上，，且仅有，∴在上单调递减，∴在区间上没有极值点，故A、B、D错误，C正确；故选：C.9．（2023下·北京丰台·高二统考期中）已知函数，其导函数的部分图象如图，则对于函数的描述错误的是（

）A．在上单调递减B．在上单调递增C．为极值点D．为极值点【答案】D【分析】由导数图象正负性，零点情况可判断选项正误.【详解】A，因时，，则在上单调递减，故A正确；B，因时，，则在上单调递增，故B正确；C，由图可得在上单调递减，在上单调递增，故为极小值点，故C正确；D，由图可得在上单调递增，则不为极值点，故D错误.故选：D题型四：函数的最值与极值的关系10．（2023·高二课时练习）下列有关函数的极值与最值的命题中，为真命题的是（

）．A．函数的最大值一定不是这个函数的极大值B．函数的极大值可以小于这个函数的极小值C．函数在某一闭区间上的极小值就是函数的最小值D．函数在开区间上不存在极大值和最大值【答案】B【分析】设，，求出其最大值和极大值可判断A和D；若函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减时，在上单调递增时，可以出现极大值小于这个函数的极小值，说明B正确；根据极小值一定不是端点值，最小值可能是端点值，可判断C.【详解】对于A，设，，，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数在时取得极大值，也是最大值，故A不正确；对于B，若函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减时，在上单调递增，此时函数在时取得极大值，在时取得极小值，这里可以小于，故B正确；对于C，函数在某一闭区间上的最小值可能是端点值，而极小值一定不是端点值，故C不正确；对于D，由A可知，函数在开区间上存在极大值和最大值.故D不正确；故选：B11．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（

）A．B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值D．函数的最小值为【答案】C【分析】根据导函数的图象确定的单调性，从而比较函数值的大小及极值情况，对四个选项作出判断.【详解】由题图可知，当时，，所以函数在上单调递增，又a<b<c，所以，故A不正确．因为，，且当时，；当c<x<e时，；当x>e时，．所以函数在x＝c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确．由题图可知，当时，，所以函数在[d，e]上单调递减，从而，所以D不正确．故选：C．12．（2019上·福建莆田·高二莆田一中校考期末）设，在上，以下结论正确的是（

）A．的极值点一定是最值点 B．的最值点一定是极值点C．在上可能没有极值点 D．在上可能没有最值点【答案】C【分析】结合极值点、最值点的概念对所给选项进行分析即可.【详解】由已知，，由，得或时；由，得时，所以在上单调递增，在，上单调递减.对于选项A，取，易知的极值点为，且，而，所以不是最小值点，故A错误；对于选项B，取，则在上单调递减，故是最值点，但不是极值点，故B错误，C正确；对于选项D，由连续函数在闭区间上一定存在最值，知选项D错误.故选：C题型五：不含参函数的最值问题13．（2023下·吉林长春·高二长春外国语学校校考阶段练习）函数的最小值为（

）A．1 B． C．0 D．【答案】C【分析】利用导数得函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．【详解】，，令，解得，令，解得或，故在单调递减，在单调递增，在单调递减，而，故在上的最小值是0.故选：C．14．（2024·四川成都·成都七中校考一模）设函数，(1)求、的值；(2)求在上的最值．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）求出函数的导函数，令求出，再令求出；（2）由（1）可得，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的极值，再由区间端点的函数值，即可得解.【详解】（1）因为，所以，取，则有，即；所以，取，则有，即．故，．（2）由（1）知，，则，所以、与，的关系如下表：0120单调递增极大值单调递减故，．15．（2023上·辽宁鞍山·高三校联考阶段练习）设函数．(1)求的单调区间；(2)求在上的最大值与最小值．【答案】(1)在，单调递增，在单调递减(2)最小值为，最大值为．【分析】（1）求出函数的导数，分析导数的符号即可得解；（2）利用函数单调性，确定函数的极大值可得最大值，比较端点即可得最小值.【详解】（1）定义域为．当时，；当时，．所以的单调递增区间为，，单调递减区间．（2）令，得或．因为，由（1）知在上单调递增，在上单调递减，故的最大值为．又，因为，所以在上的最小值为．题型六：由函数的最值求参数问题16．（2023下·重庆江北·高二重庆十八中校考阶段练习）若函数在区间上的最小值为2e，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出的单调性，结合即可求解.【详解】，令，得，时，，单调递减，时，，单调递增，而，所以函数在区间上的最小值为2e，必有，即.故选：B17．（2023上·河南许昌·高二统考期末）已知函数.(1)若，求在处的切线方程；(2)当时，函数在上的最小值为3，求实数的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.（2）根据给定条件，求出函数的导数，分类讨论求解最小值即可作答.【详解】（1）当时，，求导得，则，而，所以函数在点处切线方程为，即.（2）函数，求导得，，当时，，函数在上单调递增，，解得，矛盾，当时，由，得，函数递减，由，得，函数递增，因此，解得，从而，当时，，函数在上单调递减，，解得，矛盾，所以.18．（2023下·浙江嘉兴·高二校联考期中）已知函数.(1)若，求在定义域内的极值；(2)当时，若在上的最小值为，求实数的值．【答案】(1)极小值，无极大值(2)【分析】（1）当时，可得出，利用导数分析函数在定义域上的单调性，即可求得函数的极值；（2）对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，结合已知条件可求得实数的值.【详解】（1）解：当时，，的定义域是，且，

当时，，单调递增，当时，，单调递减，

所以在有极小值，无极大值.（2）解：因为，则，因为，

①当时，即当，则在上恒成立，此时在上单调递减，所以，所以（舍去）；

②当时，即当时，由可得，由可得，所以，函数在区间上单调递减，在上单调递增，所以，所以.

综上，.题型七：含参函数的最值问题19．（2023下·陕西榆林·高二统考期末）若函数存在最小值，且其最小值记为，则的最大值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】先利用导数确定函数的单调性，从而确定，然后再利用导数确定的最大值.【详解】因为，所以的定义域为，，当时，恒成立，所以在定义域上单调递增，不满足题意；当时，令得，此时单调递减，令得，此时单调递增，所以当时，取得最小值，即，，令得，此时单调递增，令得，此时单调递减，所以当时，取得最大值，即.故选：A.20．（2023下·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考阶段练习）已知函数(1)当时，求极值：(2)当时，求函数在上的最大值．【答案】(1)的极大值为，极小值为(2)【分析】（1）求导，得到函数单调性，进而得到极值情况；（2）求导，得到导函数的两个零点，分和两种情况，求出函数的最大值.【详解】（1）当时，，，当或时，，单调递增，当时，，单调递减，故在处取得极大值，在处取得极小值，综上，的极大值为，极小值为；（2），，故，，令得或，因为，当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，，所以，所以；当，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，，所以；综上：21．（2023下·安徽亳州·高二涡阳县第二中学校联考期末）已知函数．(1)若，，求函数斜率为的切线方程；(2)若，讨论在的最大值．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）依题意可得，对函数进行求导，设切点为，切线斜率为1，得到切线坐标，再代入切线方程中即可求解；（2）若，则，对函数进行求导，分别讨论当、、、这四种情况，求出函数在区间上的最大值．【详解】（1）已知，函数定义域为，当，时，函数，可得，不妨设切点为，此时，因为切线斜率为1，所以，解得，所以，此时切点坐标为，则曲线在点处的切线方程为，即；（2）若，即，此时，函数定义域为，可得，令，解得，当，即时，，此时函数在定义域上单调递增，则；当，即时，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，又，，当，即时，可得，所以当时，；当，即时，可得，所以当时，；当，即时，，此时函数在定义域上单调递减，则，综上，当时，函数的最大值为0；当时，函数的最大值为．题型八：函数的单调性、极值和最值的综合问题22．（2023下·山东菏泽·高二统考期末）已知函数（），则下列结论正确的是（

）A．函数一定有极值B．当时，函数在上为增函数C．当时，函数的极小值为D．当时，函数的极小值的最大值大于0【答案】C【分析】求出函数的导数，举反例可判断A；根据导数与函数单调性的关系可判断B；求得函数极值判断C；根据函数极小值的表达式构造函数，利用导数求得其最小值判断D.【详解】由得，当时，，在上单调递减，无极值，A错误；当时，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，B错误；由B的分析可知，时，函数取极小值，极小值为，C正确；令，则，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递增减，故，即当时，函数的极小值的最大值小于等于0，D错误；故选：C23．（2023下·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）已知曲线在点处切线的斜率为2e，且.(1)求a，b的值；(2)令，当时，恒成立，求m的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由导数几何意义，联立已知，解方程组可得；（2）由恒成立取特值先探求必要条件，再证明其也是充分条件，通过放缩，将问题转化为证明，再分别证明与指、对两个不等式恒成立即可.【详解】（1）由曲线在点处切线的斜率为2e，则，且，解得，代入，解得.故.（2）由（1）知，得，由恒成立，，解得.即是恒成立的必要条件，下面证明也是恒成立的充分条件.由，得，则，令，则，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以，即①.令，则，令得，当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以，即②.由①②可得，恒成立.故也是恒成立的充分条件.综上所述，当时，恒成立，m的取值范围为.【点睛】方法点睛：不等式恒成立求参数取值范围问题，除一般的分类讨论思路外，有时可适当考虑区间端点值或区间内的特殊函数值的范围限定，先找到一个不等式成立的必要条件，从而缩小范围，然后再证明必要条件也是充分条件，这是一种必要条件探路，再证充分性的方法.若在端点处进行的范围限定，此方法也叫端点效应.24．（2023下·陕西渭南·高二合阳县合阳中学校考期末）已知函数(1)若，讨论的单调性.(2)当时，都有成立，求整数的最大值.【答案】(1)答案见解析(2)1【分析】（1）求定义域，求导，分与两种情况，得到的单调性；（2）变形得到，令，，只需，求导，结合隐零点得到的单调性和极值，最值情况，得到，从而求出整数的最大值.【详解】（1），定义域为R，且，当时，恒成立，故在R上单调递增，当时，令得，，此时单调递增，令得，，此时单调递减，综上：当时，在R上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）由题意得，在上恒成立，因为，所以，故，令，，只需，，令，，则在上恒成立，故在上单调递增，又，故存在，使得，即，当时，，，单调递减，当时，，，单调递增，故在处取得极小值，也是最小值，，所以，故整数的最大值为1.【双基达标】一、单选题25．（2023下·山东菏泽·高二校考阶段练习）如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：①是函数的极值点；②是函数的最小值；③在处切线的斜率小于零；④在区间上单调递增．则正确命题的序号是（

）A．①② B．①④ C．②③ D．③④【答案】B【分析】根据导数的几何意义与函数的单调性，极值点的关系结合图象即可判断.【详解】由题知，根据，可以确定函数的增区间，减区间以及切线斜率的正负，由导函数的图象可得，当时，，，3的左边负右边正，两边互为异号，所以在上为减函数，上为增函数，由此可得：①是函数的极值点；④在区间上单调递增，这两个结论正确.②是函数的最小值；③在处切线的斜率小于零，这两个结论错误.故选：B.26．（2023下·四川眉山·高二校考阶段练习）若是函数的极值点，则的极小值点为（）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】求导，由求出，得到，令求出求出或1，结合函数单调性，得到的极小值点.【详解】，由题意得，解得，故，令，解得或1，令，解得或，令，解得，故在上单调递增，在上单调递减，故1为的极小值点.故选：B27．（2023下·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）函数在内存在极值点，则实数的取值范围是（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【分析】根据题意结合导数分析可得原题意等价于与在内有交点，结合对勾函数单调性分析求解.【详解】由题意可得：，若函数在内存在极值点，则在有零点，即在上有解，整理得在有解，原题意等价于与在内有交点，因为在上单调递增，则，所以.故选：A.28．（2023下·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（

）A． B．的图象在处的切线斜率大于C．在上单调递增 D．的最大值为【答案】D【分析】求导可判断A，根据导数的几何意义可判断B，根据导数的正负与函数单调性的关系可判断C，利用函数的单调性可判断D.【详解】对于A，求导得，故A错误；对于B，的图象在处的切线斜率，故B错误；对于C，当时，，故在上单调递增，故C错误；对于D，可知在上单调递增，在上单调递减，故在处取得最大值为，故D正确；故选：D29．（2023下·福建福州·高二校联考期中）函数在点处的切线斜率为．(1)求实数的值；(2)求的单调区间和极值．【答案】(1)2(2)增区间为，减区间为，极小值，无极大值．【分析】（1）求出导函数，根据导数的几何意义，可得的值；（2）求出，令，求得增区间，令，求得减区间，再根据极值的定义可得答案.【详解】（1）函数的导数为在点处的切线斜率为，，即，；（2）由（1）得，函数，，令，得，令，得，即的增区间为，减区间为．故在处取得极小值，无极大值．30．（2023下·四川雅安·高二校考阶段练习）设曲线在点处的切线方程为（其中，a，，是自然对数的底数）.(1)求a，b的值；(2)求在区间上的最大值和最小值.【答案】(1)，(2)最大值为，最小值为0【分析】（1）根据切线斜率和切点在切线上列式计算即可；（2）利用导数求出函数的单调区间，然后比较端点值和极值即可求解最值.【详解】（1）由得，依题可得：，所以.又，所以，所以，.（2）由（1）知，则，令，解得或2，令，解得，令，解得或.所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.又，，，，故在区间上的最大值为，最小值为.31．（2023下·吉林长春·高二长春外国语学校校考期中）已知函数，其中(1)当时，求函数的单调区间；(2)若恒成立，求的最小值.【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为(2)1【分析】（1）由确定增区间，确定减区间；（2）不等式变形为恒成立，令，由导数求得的最大值得参数的范围，从而得的最小值．【详解】（1）由已知条件得，其中的定义域为，则，当时，，当时，，可知：的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）①由恒成立，即恒成立，令，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，上单调递减，，所以a的最小值为【高分突破】一：单选题32．（2023下·河南许昌·高二校考期中）已知对任意的，不等式恒成立，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】对已知不等式进行变形，通过构造函数法，利用导数的性质、常变量分离法进行求解即可.【详解】因为，所以①，令，则，设，所以，当时，，当x>1时，，所以在单调递减，在单调递增，所以，所以在单调递增，因为①式可化为，所以，所以，令，则，当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减，所以，所以，故选：C.33．（2023下·上海浦东新·高二校考期中）关于函数，下列判断正确的是（

）①是的极大值点；②函数有且只有1个零点；③存在正实数k，使得成立；④对任意两个正实数，且，若，则．A．①④ B．②④ C．②③ D．③④【答案】B【分析】对于①：求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可得极值点；对于②：构建，利用导数判断其单调性，结合零点存在性定理分析判断；对于③：整理得，构建，利用导数分析其单调性，进而可得结果；对于④：分析可得原题意等价于即证，令，利用导数判断其单调性，进而分析判断.【详解】对于①：由题意可得：函数的定义域为，且，当时，0；当时，；则在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值点，故①错误；对于②：令，则函数的定义域为，且恒成立，可知在上单调递减，且，函数有且只有1个零点，故②正确；对于③：若，整理得，令，则，令，则，令，解得；令，解得；则在上单调递增，在上单调递减，可得，即，所以在上单调递减，且当趋近于时，趋近于，所以不存在正实数，使得恒成立，故③错误；对于④：由①可知：若，则，要证，即证，且在上单调递增，即证，又因为，所以证，即证.令，则，所以在上单调递减，所以，所以，④正确；故选：B.【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．34．（2023下·陕西西安·高二期中）已知函数在区间内有最值，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函数的导数，就，分类讨论后可得参数的取值范围.【详解】，其中，当时，，故在上单调递减，此时在内无最值，当时，若，则，若，则，故在上为增函数，在上为减函数，故在处取最大值，综上所述，实数a的取值范围是.故选：A.35．（2023下·福建三明·高二统考期末）设函数，则（

）A．函数的单调递减区间为．B．曲线在点处的切线方程为．C．函数既有极大值又有极小值，且极大值大于极小值．D．若方程有两个不等实根，则实数的取值范围为．【答案】D【分析】根据导数的运算法则及初等函数的导数公式，利用导数值的定义及求过点处的切线方程的步骤，结合导数法求函数的极值的步骤及将方程有两个不等实根转化为与有两个交点，再利用数形结合即可求解.【详解】由题意可知的定义域为，，令，即，解得或当时，当时，所以在和上单调递增，在和上单调递减.故A错误；当时，取得极大值为，当时，取得极小值为，因为，所以极大值小于极小值，故C错误；对于B，切线斜率，曲线在点处的切线方程为，即，故B错误；对于D，由上分析可作出的图象如图所示要使方程有两个不等实根，只需要与有两个交点，由图可知，，所以实数的取值范围为.故D正确.故选：D.【点睛】关键点睛：解决此题的关键是利用求过点处的切线方程的方法及零点的存在性定理判断方程的根，再利用导数法求函数的极值及作出函数的大致图象，将方程有两个不等实根转化为与有两个交点即可.二、多选题36．（2023下·福建龙岩·高二校联考期中）已知函数，则（

）A．在上是减函数B．在定义域内无零点C．的单调递增区间为和D．的极小值小于极大值【答案】BC【分析】判断出函数定义域为，即可知A错误；再由函数奇偶性可知在定义域内无零点，即B正确；求导可知函数的单调递增区间为和，单调减区间为和，可知C正确；即可求出极小值大于极大值为，可得D错误.【详解】由可得函数的定义域为；，令，可得或；易知当或时，，此时在，上分别单调递减，所以A错误；易知函数满足，即为奇函数，显然在上恒大于零，由对称性可知在上恒小于零，所以在定义域内无零点，即B正确；易知当或时，，此时在，上单调递增，所以的单调递增区间为和，即C正确；所以在处取得极大值为，在处取得极小值为，即的极小值大于极大值，即D错误；故选：BC37．（2023下·重庆长寿·高二重庆市长寿中学校校考期中）已知函数，则（

）A．当时，函数的极大值为 B．若函数在上单调递增，则或C．函数必有两个极值点 D．函数必有三个零点【答案】ACD【分析】求导即可判断A，将问题转化为恒成立即可判断BC，根据零点的定义即可判断D.【详解】对于A，当时，，则，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，则函数的极大值为，故A正确；对于B，函数在上单调递增，则恒成立，由，可得必有两根，且，则在单调递减，故B错误；对于C，由B选项可知，在单调递减，在上单调递增，故函数必有两个极值点，故C正确；对于D，，而，其中，则必有两相异实根，且不为0，故必有3个零点，故D正确；故选：ACD38．（2023下·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）函数，的最大值为，最小值为，则（

）A．或 B．若，则C．若，可得 D．或【答案】AB【分析】对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，结合函数的最值可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出合适的选项.【详解】因为，，则，当时，则为常值函数，不合乎题意；当时，由可得，由可得，所以，函数在上单调递增，在上单调递减，此时，，则，又因为，，因为，则，解得；当时，由可得，由可得，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，此时，，解得，又因为，，因为，则，解得.综上所述，或，AB都对，CD都错.故选：AB.39．（2023下·吉林长春·高二长春外国语学校校考期中）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．函数有极小值B．函数在处切线的斜率为4C．当时，恰有三个实根D．若时，，则的最小值为2【答案】AD【分析】求导，利用导数判断的单调性和极值，结合图象判断ACD，利用导数的几何意义判断B.【详解】由题意可得：，令，解得；令，解得或；则在上单调递减，在上单调递增，可知的极大值为，极小值为，且当x趋近于，趋近于，当x趋近于，趋近于，可得的图象如下：对于选项A：可知的极小值为，故A正确；对于选项B：因为，所以函数在处切线的斜率为，故B错误；对于选项C：对于方程根的个数，等价于函数与的交点个数，由图象可知：时，恰有三个实根，故C错误；对于选项D：若时，，则，所以的最小值为2，故D正确；故选：AD.三、填空题40．（2023下·河南郑州·高二校考阶段练习）若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是【答案】【分析】根据导函数有2个不同的零点，且两个零点均大于零可求解．【详解】函数，定义域为，若函数有两个不同的极值点，则有两个不同正根，即有两个不同正根，所以，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：41．（2023下·陕西咸阳·高二统考期中）已知函数的导数的图象如图所示，给出以下关于函数的结论：①在区间上为严格增函数；②在区间上为严格减函数；③x＝－3是极小值点；④x＝4是极大值点．其中结论正确的序号是．【答案】④【分析】①由导数的正负判断；②由导数的正负判断；③由极小值点的定义判断；④由极大值点的定义判断.【详解】当时，递增，当时，递减，由的图象知：①在区间上不单调，故错误；②在区间上为严格增函数，故错误；③由极小值点的定义知：x＝－3不是极小值点，故错误；④由极大值点的定义知：x＝4是极大值点，故正确．故答案为：④42．（2023上·江苏镇江·高二校考阶段练习）当时，恒成立，则整数的最大值为．【答案】【分析】先猜测整数的最大值为，然后利用构造函数法，结合导数证得结论成立.【详解】当时，，所以猜测整数的最大值为，下面证明满足题意：即当时，恒成立，即时，恒成立，设，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，于是，整数的最大值为.故答案为：【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题，若所求参数具有“整数”等特点，可以考虑先利用特殊值求得参数的一个“大概取值”，然后利用构造函数法，结合导数来研究所构造函数的单调性、最值等，从而确定正确答案.43．（2023下·湖北·高二校联考阶段练习）已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是.【答案】【分析】构造，得到为奇函数，且求导得到其在上单调递增，不等式变形得到，得到在恒成立，构造，求导得到单调性和最值，求出.【详解】令，，所以是奇函数，又，所以在上单调递增.因为，所以，即，即，故，所以在恒成立.令，则，令，得，令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即实数的取值范围是.故答案为：【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.44．（2023下·四川遂宁·高二四川省蓬溪中学校校考期中）已知函数，若函数恰有一个实根，则实数的取值范围是【答案】【分析】利用导数求出的单调性，即可得到的取值情况，依题意函数与恰有一个交点，即可求出参数的取值范围.【详解】因为，当时，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递增，即在处取得极大值，又，且当时，当时，当时，，当时，则，所以在上单调递减，且，当时，因为函数恰有一个实根，即恰有一个实根，即函数与恰有一个交点，所以或，即实数的取值范围是.故答案为：四、解答题45．（2023上·浙江宁波·高二余姚中学校考期中）已知函数．(1)求函数的极值；(2)证明：当时，，使得．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用导数与极值的关系求解；（2）利用导数与单调性最值得关系证明不等式能成立问题.【详解】（1）易知，,当时，，函数在上单调递减；当时，时，，单调递减，时，，单调递增，综上，当时，函数在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）由（1）可知，当时，在处取得最小值，若，使得，只需，令，由，可得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，，所以，，使得．46．（2023下·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考期中）已知函数，．(1)求函数的单调区间及极值；(2)若恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为，极大值，无极小值(2)【分析】（1）求导根据导数的正负判断单调性与极值；（2）解法一：设，，求导，再令，，求导可判断，使得，即，则，即，进而确定函数函数得单调性与最值，进而可得；解法二：令，求导可证，所以，当时等号成立，所以的最小值为，若恒成立，则，即可得.【详解】（1）由已知可得，函数的定义域为，且，当时，；当时，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，所以是的极大值点，无极小值点，所以的极大值为，无极小值；（2）解法一：设，，则，令，，则对任意恒成立，所以在上单调递减，又，，所以，使得，即，则，即．因此，当时，，即，则单调递增；当时，，即，则单调递减，故，解得，所以当时，恒成立，即实数的取值范围是．解法二：令，，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单