八年级(下)期中数学试卷

八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1.（2013•徐州模拟）使二次根式底方有意义的x的取值范围是（）

A.XH2B・X>2C.X<2D.X>2

2.（2014春•南宁期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（）

A.V?B.V9C.V20D.

2

3.（2015春•瑶海区期末）下列各式计算正确的是（）___

A.873-273=6B.573+572=1075C.4a+2&=2&D.4axm=8娓

4.（2015春•巴南区校级期末）不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（）

A.AB〃CD,AD=BCB.AB〃CD,ZA=ZCC.AD〃BC,AD=BCD.ZA=ZC,ZB=ZD

5.（2015秋•常州期中）下列条件中，不能判断AABC为直角三角形的是（）

A.a2=l,b~=2,c~=3B.a：b：c=3：4：5

C.ZA+ZB=ZCD.ZA：ZB：ZC=3：4：5

6.下列命题中逆命题成立的有（）

①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③全等三角形的对应边相等;

④如果两个实数相等，那么它们的平方相等.

A.1个B.2个C.3个D.4个D

7.如图，四边形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,CD=24cm,DA=26cm,且NABC=90。,

则四边形ABCD的面积是（）cn?.

A.336B.144C.102D.无法确定

8.（2012春•临沂期末）如图，ABCD的对角线AC,BD相交于O,EF过点。与AD,C

BC分别相交于E,F,若AB=4,BC=5,OE=1.5,那么四边形EFCD的周长为（）

DB

B

A.16B.14C.12D.10

9.（2014•洪山区三模）将一些半径相同的小O

。OOOOOOOOO

圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第6°oo°OOOO©。。OOOOO

OOOOOOOOOOOO

个图形有（）个小圆.。。OOOOO

oO

A.42B.44C.46D.48

第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形

10.如图，在Rtz^ABC中，ZB=90",AB=6,BC=8,点D在BC上，以AC为对角

线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（）

A.10B.8C.6D.5

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）D

11.（2015•衡阳）化简：V8-V2=.

12.在AABC中，ZC=90°,若AC=5,BC=12,贝UAB=.B

13.一只蚂蚁沿棱长为2的正方体表面从顶点A爬到顶点B,则它走过的最短路程

为一

14.一个三角形的三条中位线的长分别为3,4,5,则三角形的面积为

15.（2014春•镇贲县期末）如图，•根长18cm的筷子置于底面直径为5cm.高为12cm

圆柱形水杯中，露在水杯外面的长度hem,则h的取值范围是

16.如图，已知平行四边形ABCD中，AB=BC,BC=10,ZBCD=60",

两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动,

连接OA,则OA的长的最小值是.

三、解答题（共8小题，满分72分）

17.（8分）（1）(2)78+273-(V27-V2)

18.（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，四边形AEFD是平行四

边形吗？为什么？

19.（8分）（2010秋•渝北区期末）已知xf6+1,y=V3-h求下列各式的值:

（1）x2-y2；（2）x2+xy+y2.

20.（8分）（2015春•鞍山期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的

顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图：

（1）在图①中画一条线段MN,使MNf而；__

（2）在图②中画一个△ABC,使其三边长分别为3,V10,V13.

21.（8分）某港口位于东西方向的海岸线上."远航"号、"海天"号轮船同时离开港口，各自沿一固定

方向航行，"远航"号每小时航行16海里，"海天"号每小时航行12海里.它们离开港口1小时后相距

20海里.如果知道“远航"号沿东北方向航行，能知道“海天"号沿哪个方向航行吗？

22.（10分）（2013•兰州）如图1,在aOAB中，ZOAB=90°,ZAOB=30°,OB=8.以OB为边，在

△OAB外作等边△OBC,D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E.

（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；

(2)如图2,将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG,求OG的长.

23.(10分)(2013•常德)已知两个共一个顶点的等腰RtZ^ABC,RtACEF,ZABC=ZCEF=90°,连

接AF,M是AF的中点，连接MB、ME.

(1)如图1,当CB与CE在同一直线上时，求证：MB〃CF；

⑵如图1,若CB=a,CE=2a,求BM,ME的长；

24.(12分)如图，在平面直角坐标系中，AB〃OC,A(0,12),B(a,c),C(b,0),并且a,b

满足b=F=五+叵二£+16.一动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B

运动；动点Q从点O出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P、Q分别从点A、

O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动.设运动时间为t(秒)

(1)求B、C两点的坐标；

(2)当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标；

(3)当t为何值时，APQC是以PQ为腰的等腰三角形？并求出P、Q两点的坐标.

2014-2015学年湖北省武汉市武昌区C组联盟八年级（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1.（2013•徐州模拟）使二次根式底”有意义的x的取值范围是（）

A.x#2B.x>2C.x<2D.x>2

【考点】二次根式有意义的条件.

【专题】计算题.

【分析】利用当二次根式有意义时，被开方式为非负数，得到有关x的一元一次不等式，解之即可得

到本题答案.

【解答】解：•.•二次根式«与有意义，

.*.x-2>0,

解得：x>2,

故选D.

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，此类考题相对比较简单，但从近几年的中考看，几乎是

一个必考点.

2.（2014春•南宁期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（）

A.V?B.V9C.V20D.点

【考点】最简二次根式.

【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否

同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是.

【解答】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A正确；

B、被开方数含能开得尽方的因数，故B错误；

C、被开方数含能开得尽方的因数，故C错误；

D、被开方数含分母，故D错误；

故选：A.

【点评】本题考查最简二次根式的定义.根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件:

被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式.

3.（2015春•瑶海区期末）下列各式计算正确的是（）___

A.873-2A/3=6B.573+572=1O/5C.4a+2&=2&D.4盛x2a=8&

【考点】二次根式的加减法；二次根式的乘除法.

【分析】根据同类二次根式的合并，及二次根式的乘除法则，分别进行各选项的判断即可.

【解答】解：A、8G2后心,原式计算错误，故A选项错误；

B、道与如不是同类二次根式，不能直接合并，故B选项错误；

C、4亚+2&=2,原式计算错误，故C选项错误；

D、4Mxm=8瓜,原式计算正确，故D选项正确；

故选：D.

【点评】本题考查了二次根式的加减及乘除运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握各部分的运算

法则.

4.（2015春•巴南区校级期末）不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（）

A.AB〃CD,AD=BCB.AB〃CD,ZA=ZCC.AD〃BC,AD=BCD.NA=NC,ZB=ZD

【考点】平行四边形的判定.

【分析】根据平行四边形的判定定理进行判断.

【解答】解：A、"AB〃CD,AD=BC"是四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，该四边形

可以是等腰梯形，不可以判定四边形ABCD是平行四边形.故本选项符合题意；

B、根据"AB〃CD,NA=NC”可以判定AD〃BC,由“两组对边相互平行的四边形为平行四边形”可以

判定四边形ABCD为平行四边形.故本选项不符合题意；

C、“AD〃BC,AD=BC"是四边形ABCD的一组对边平行且相等，可以判定四边形ABCD是平行四边

形.故本选项不符合题意；

D、"NA=NC,NB=ND"是四边形ABCD的两组对角相等，可以判定四边形ABCD是平行四边形；

故本选项不合题意；

【点评】本题考查平行四边形的判定，需注意一组对边相等，另一组对边相互平行的四边形不一定是

平行四边形，等腰梯形也满足该条件.

5.（2015秋•常州期中）下列条件中，不能判断AABC为直角三角形的是（）

A.a2=l,b"=2,C2=3B.a：b：c=3：4：5

C.ZA+ZB=ZCD.ZA：ZB：NC=3：4：5

【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理.

【分析】根据三角形内角和定理，以及勾股定理逆定理分别进行分析可得答案.

【解答】解：A、可利用勾股定理逆定理判定aABC为直角三角形，故此选项不合题意；

B、根据勾股定理的逆定理可判断aABC是直角三角形，故此选项不合题意；

C、根据三角形内角和定理可以计算出NA=90。，AABC为直角三角形，故此选项不合题意；

D、根据三角形内角和定理可以计算出NA=45。，ZB=60°,ZC=75°,可判定aABC不是直角三角形,

故此选项符合题意；

故选：D.

【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，判断三角形是否为直角三角形可利用勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a,b,c满足a?+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形.

6.下列命题中逆命题成立的有（）

①同旁内角互补，两直线平行；

②如果两个角是直角，那么它们相等；

③全等三角形的对应边相等；

④如果两个实数相等，那么它们的平方相等.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】命题与定理.

【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再把逆命题进行判断即可.

【解答】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，成立；

②如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，不成立；

③全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的三角形全等，成立；

④如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相

等，不成立；

逆命题成立的有2个；

故选B.

【点评】此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一

个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题称为另一个命题

的逆命题.

7.如图，四边形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,CD=24cm,DA=26cm,且NABC=90。，则四边形

ABCD的面积是（）cn?.

D

B

A.336B.144C.102D.无法确定

【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理.

【分析】利用勾股定理求出AC?的值，再由勾股定理的逆定理判定三角形ACD也为直角三角形，则S

四边彩ABCD=SAABC+SAACD-

D

【解答】解：如图，连接AC.B

在RtAABC中，AC2=AB2+BC2=100,

VAC2+CD2=AD2=676

.•.△CDA也为直角三角形，

•*.S四边彩ABCD=S/\ABC+SAACD」ABXBC+』ACXCD」X6X8+2X10X24=144（cm2）,

2222

故选B.

【点评】本题考查了三角形面积和勾股定理逆定理的应用，注意：在一个三角形中，如果有两边的平

方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.

8.（2012春•临沂期末）如图，ABCD的对角线AC,BD相交于O,EF过点O与AD,BC分别相交

于E,F,若AB=4,BC=5,OE=1.5,那么四边形EFCD的周长为（）

A.16B.14C.12D.10

【考点】平行四边形的性质.

【分析】根据平行四边形的对边相等得：CD=AB=4,AD=BC=5.再根据平行四边形的性质和对顶角

相等可以证明：△AOE^^COF.根据全等三角形的性质，得：OF=OE=1.5,CF=AE,故四边形EFCD

的周长为CD+EF+AD=12.

【解答】解：•.•四边形ABCD是平行四边形，

，CD=AB=4,AD=BC=5,OA=OC,AD〃BC,

:.ZEAO=ZFCO,ZAEO=ZCFO,

在AAOE和aCOF中，

，ZEA0=ZFC0

<ZAE0=ZCF0,

,OE=OF

/.△AOE^ACOF(AAS),

/.OF=OE=1.5,CF=AE,

故四边形EFCD的周长为CD+EF+ED+FC=CD+EF+AE+ED=CD+AD+EF=4+5+1.5x2=12.

故选C.

【点评】能够根据平行四边形的性质证明三角形全等，再根据全等三角形的性质将所求的线段转化为

已知的线段是解题的关键.

9.(2014•洪山区三模)将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第6个图形有()

个小圆.

。Ooo

OO

OOOOOOOOOOO

OOOOOOOO

OOOOOO

OOOOOOOOOOOO

OOoooOOOO

。OoO

第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形

A.42B.44C.46D.48

【考点】规律型：图形的变化类.

【分析】分析数据可得：第1个图形中小圆的个数为6；第2个图形中小圆的个数为10；第3个图形

中小圆的个数为16；第4个图形中小圆的个数为24；则知第n个图形中小圆的个数为n(n+1)+4.据

此可以再求得第6个图形小圆的个数即可.

【解答】解：根据第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4

个图形有24个小圆，

V6=4+1x2,10=4+2x3,16=4+3x4,24=4+4x5…，

.,.第n个图形有：4+n(n+1)个小圆，

.•.第6个图形有：4+6x(6+1)=46个小圆.

故选：C.

【点评】此题主要考查了图形的规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是

解决问题的关键.

10.如图，在RtZ\ABC中，ZB=90°,AB=6,BC=8,点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四

边形ADCE中，DE的最小值是()

E

0

\

5-----------

A.10B.8C.6D.5

【考点】三角形中位线定理；垂线段最短；平行四边形的性质.

【分析】平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O,当ODJ_BC时，OD最小，即DE最小,

根据三角形中位线定理即可求解.

【解答】解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O,当ODJ_BC时，OD最小，即DE

最小.

VOD1BC,BC1AB,

，OD〃AB,

XVOC=OA,

，OD是4ABC的中位线，

.•.0D,AB=3,

2

.,.DE=2OD=6.

故选C.

【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，

正确理解DE最小的条件是关键.

二、填空题（共6小题，每小题3分，第分18分）

11.（2015・衡阳）化简：晒

【考点】二次根式的加减法.

【分析】先把各根式化为最简二次根式，再根据二次根式的减法进行计算即可.

【解答】解：原式=2a-&

=^2-_

故答案为：血.

【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根

式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键.

12.在^ABC中，ZC=90°,若AC=5,BC=12,则AB=13.

【考点】勾股定理.

【分析】直接根据勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的

平方进行计算即可.

【解答】解：根据勾股定理可得AB=JAC2+BC2海国'=13,

故答案为：13.

【点评】此题主要考查了勾股定理，关键是掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长

为c,那么a2+b2=c2.

13.-只蚂蚁沿棱长为2的正方体表面从顶点A爬到顶点B,则它走过的最短路程为，代

【考点】平面展开-最短路径问题.

【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短可得出结论.

【解答】解：将正方体展开，连接A、B,根据两点之间线段最短，AB力庐不=2娓.

故答案为：2V5.

【点评】本题考查的是平面展开.最短路径问题，熟知"两点之间，线段最短"是解答此题的关键.

14.一个三角形的三条中位线的长分别为3,4,5,则三角形的面积为24.

【考点】三角形中位线定理；勾股定理的逆定理.

【分析】根据三角形的中位线定理即可求得^ABC的各个边长，利用勾股定理的逆定理可以判断AABC

是直角三角形，则面积即可求解.

【解答】解：设中位线DE=3，DF=4,EF=5.

•••DE是△ABC的中位线，

，BC=2DE=2x3=6.

同理：AC=2DF=8,AB=2EF=10.

V62+82=100=102,

.•.AC2+BC2=AB2,

.,.△ABC是直角三角形，且NACB=90。，

•'•SAABC=,5AC*BC=AX6X8=24.

V22

故答案是：24.

【点评】本题主要考查了勾股定理，以及三角形的中位线定理，正确求得^ABC的边长，判断4ABC

是直角三角形是解题关键.

15.（2014春•镇费县期末）如图，一根长18cm的筷子置于底面直径为5cm.高为12cm圆柱形水杯中，

露在水杯外面的长度hem,则h的取值范围是5cm4h46cm.

【考点】勾股定理的应用.

【分析】根据杯子内筷子的长度的取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案.

【解答】解：•••将一根长为18cm的筷子，置于底面直径为5cm,高为12cm的圆柱形水杯中，

...在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度，

...当杯子中筷子最短是等于杯子的高时，x=12,

最长时等于杯子斜边长度是：

X=7122+52=13,

Ah的取值范围是：(18-13)cm<h<(18-12)cm,

即5cm<h<6cm.

故答案为：5cm<h<6cm.

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的取值范围是解决问题的关键.

16.如图，已知平行四边形ABCD中，AB=BC,BC=10,ZBCD=60°,两顶点B、D分别在平面直角

坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接0A,则0A的长的最小值是573-5.

k外i一

【考点】菱形的判定与性质；坐标与图形性质；垂线段最短；等边三角形的判定与性质.

【分析】利用菱形的性质以及等边三角形的性质得出A点位置，进而求出A0的长.

【解答】解：如图所示：过点A作AELBD于点E,

当点A,O,E在一条直线上，此时A0最短，

•.•平行四边形ABCD中，AB=BC,BC=10,ZBCD=60",

:.AB=AD=CD=BC=10,ZBAD=ZBCD=60°,

/.△ABD是等边三角形，

，AE过点O,E为BD中点，则此时EO=5,

故AO的最小值为：AO=AE-EO=ABsin60°-1xBD=5遮-5.

2

【点评】此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，得出当点A,O,E在一条直线上,

此时AO最短是解题关键.

三、解答题（共8小题二满分72分）

17.（8分）（1）岳x噌/

（2）78+273-（V27-V2）

【考点】二次根式的混合运算.

【分析】（1）按照二次根式的乘除法的计算方法计算即可；

（2）先化简，再进一步合并同类二次根式即可.

【解答】解：（1）原式小班

=\[3i

（2）原式=2a+2«-昭啦

=3\反-yfs.

【点评】此题考查二次根式的混合运算，掌握运算的方法和化简的方法是解决问题的关键.

18.（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，四边形AEFD是平行四

边形吗？为什么？

【考点】平行四边形的判定与性质.

【分析】根据平行四边形ABCD的性质推知AE〃DF；又E、F分别是边AB、CD的中点，则AD〃EF,

所以由"有两组对边相互平行的四边形是平行四边形”证得四边形AEFD是平行四边形.

【解答】解：四边形AEFD是平行四边形.理由如下：

如图，•••四边形ABCD是平行四边形，

.,.AB〃DC,贝ljAE〃DF.

又〈E、F分别是边AB、CD的中点，

:.AD〃EF,

四边形AEFD是平行四边形.

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质.解题时，利用了"有两组对边相互平行的四边形是平行

四边形”证得四边形AEFD是平行四边形.

19.（8分）（2010秋•渝北区期末）已知xS+l，y=V3-b求下列各式的值：

（1）x2-y2；

（2）x2+xy+y2.

【考点】二次根式的化简求值.

【分析】（1）先代入分别求出x+y,x-y的值，根据平方差公式分解因式，代入求出即可；

（2）先代入分别求出x+y,xy的值，根据完全平方公式代入求出即可；

【解答】解：,：x=V^+l,y=,石-1,

x+y=2V3>x-y=2,xy=（A/3+1）x（V3-1）=2,

（]）x2-y2；

=（x+y）（x-y）

=2V3X2

=4后.

(2)x2+xy+y2.

=(x+y)2-xy

=(2点)2-2

=10.

【点评】本题考查了对平方差公式，完全平方公式，二次根式的混合运算的应用，主要考查学生能否

选择恰当的方法进行计算.

20.（8分）（2015春•鞍山期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的

顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图：

（1）在图①中画一条线段MN,使MN=J^；__

（2）在图②中画一个△ABC,使其三边长分别为3,国,V13.

【考点】勾股定理.

【专题】作图题._

【分析】（1）如图①，在直角三角形MQN中，利用勾股定理求出MN的长为遥，故MN为所求线段;

（2）如图②，分别利用勾股定理求出AB,AC,以及BC的长，即可确定出所求aABC.

【解答】解：（1）如图①所示，在RtZXMQN中，MQ=2,NQ=1,

根据勾股定理得：MN=*7］屋娓，

则线段MN为所求的线段；

（2）如图②所示，AB=3,AC=^32+12=710,BC=^22+32=713,

则4ABC为所求三角形.

【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键.

21.（8分）某港口位于东西方向的海岸线上."远航"号、"海天"号轮船同时离开港口，各自沿一固定

方向航行，"远航"号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口1小时后相距

20海里.如果知道"远航"号沿东北方向航行，能知道嗨天"号沿哪个方向航行吗？

【考点】勾股定理的逆定理；方向角.

【专题】应用题.

【分析】根据路程=速度x时间分别求得OB、OA的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角

形OAB是直角三角形，从而求解.

【解答】解：1小时"远航"号的航行距离：OB=16xl=16海里；

1小时"海天”号的航行距离：OA=12xl=12海里，

因为AB=20海里，

所以AB2=OB2+OA2,即202=162+122,

所以40AB是直角三角形，

又因为Nl=45。，

所以N2=45°,

故"海天"号沿西北方向航行或东南方向航行.

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关

系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断.

22.(10分)(2013•兰州)如图1,在AOAB中，ZOAB=90°,ZAOB=30°,OB=8.以OB为边，在

△OAB外作等边△OBC,D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E.

(1)求证：四边形ABCE是平行四边形；

(2)如图2,将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG,求OG的长.

【考点】平行四边形的判定与性质；等边三角形的性质；翻折变换(折叠问题).

【分析】(1)首先根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得DO=DA,再根据等边对等角可

得NDAO=NDOA=30。，进而算出NAEO=60。，再证明BC〃AE,CO〃AB,进而证出四边形ABCE是

平行四边形；

(2)设OG=x,由折叠可得：AG=GC=8-x,再利用三角函数可计算出AO,再利用勾股定理计算出

OG的长即可.

【解答】(1)证明：’.•□△OAB中，D为OB的中点，

，AD」OB,OD=BD」OB

22

/.DO=DA,

/.ZDAO=ZDOA=30o,NEOA=90°,

/.ZAEO=60o,

又•••△OBC为等边三角形，

/.ZBCO=ZAEO=60o,

，BC〃AE,

VZBAO=ZCOA=90",

，CO〃AB,

四边形ABCE是平行四边形；

(2)解：设OG=x,由折叠可得：AG=GC=8-x,

在RtAABO中，

VZOAB=90°,ZAOB=30°,B0=8,

/.AO=BO«cos30o=8避=4后

2

在RtAOAG中，OG2+OA2=AG2,

x2+(4扬2=(8-x)2,

解得:x=l,

/.OG=1.

【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及勾股定理的应用，图形的翻折变换，关键是

掌握平行四边形的判定定理.

23.(10分)(2013•常德)已知两个共一个顶点的等腰Rt^ABC,RtACEF,ZABC=ZCEF=90°,连

接AF,M是AF的中点，连接MB、ME.

(1)如图1,当CB与CE在同一直线上时，求证：MB〃CF；

(2)如图1,若CB=a,CE=2a,求BM,ME的长；

【考点】三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形.

【专题】压轴题.

【分析】(1)证法一：如答图la所示，延长AB交CF于点D,证明BM为4ADF的中位线即可；

证法二：如答图1b所示，延长BM交EF于D,根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平

行可得AB〃EF,再根据两直线平行，内错角相等可得NBAM=NDFM,根据中点定义可得AM=MF,

然后利用"角边角"证明4ABM和aEDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF,然后求出

BE=DE,从而得到4BDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出NEBM=45。，从而得到

ZEBM=ZECF,再根据同位角相等，两直线平行证明MB〃CF即可，

(2)解法一：如答图2a所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线；

解法二：先求出BE的长，再根据全等三角形对应边相等可得BM=DM,根据等腰三角形三线合一的性

质可得EM_LBD,求出ABEM是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可；

(3)证法一：如答图3a所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线：BM」DF,ME」AG；然后

22

证明4ACG会ADCF,得至DF=AG,从而证明BM=ME；

证法二：如答图3b所示，延长BM交CF于D,连接BE、DE,利用同旁内角互补，两直线平行求出

AB〃CF,再根据两直线平行，内错角相等求出NBAM=NDFM,根据中点定义可得AM=MF,然后利

用“角边角"证明^ABM和△FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF,BM=DM,再根

据“边角边"证明4BCE和4DFE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DE,全等三角形对应角相

等可得NBEC=NDEF,然后求出NBED=NCEF=90。，再根据等腰直角三角形的性质证明即可.

【解答】(1)证法一：

如答图la,延长AB交CF于点D,

则易知aABC与ABCD均为等腰直角三角形，

，AB=BC=BD,

...点B为线段AD的中点，

又•点M为线段AF的中点，

ABM为aADF的中位线，

，BM〃CF.

证法二：

如答图1b,延长BM交EF于D,

VZABC=ZCEF=90°,

/.AB±CE,EF±CE,

，AB〃EF,

/.ZBAM=ZDFM,

•.•M是AF的中点，

，AM=MF,

在aABM和△FDM中，

，ZBAM=ZDFM

<AM=FM,

NAMB=NFMD

.,.△ABM^AFDM(ASA),

.*.AB=DF,

VBE=CE-BC,DE=EF-DF,

，BE=DE,

.,.△BDE是等腰直角三角形，

/.ZEBM=45O,

在等腰直角4CEF中，ZECF=45°,

:.NEBM=NECF,

，MB〃CF；

(2)解法一：

如答图2a所示，延长AB交CF于点D,则易知aBCD与AABC为等腰直角三角形,

AB=BC=BD=a»AC=CD=V^a,

.•.点B为AD中点，又点M为AF中点，

2

分别延长FE与CA交于点G,则易知4CEF与4CEG均为等腰直角三角形，

，CE=EF=GE=2a,CG=CF=2&a,

.•.点E为FG中点，又点M为AF中点，

.•.ME」AG.

2_

,:CG=CF=2扬，CA=CD=&a,

/.AG=DF=V2a,_

BM=ME」x&a=^a.

22

解法二：如答图1b.

VCB=a,CE=2a,

BE=CE-CB=2a-a=a,

VAABM^AFDM,

/.BM=DM,

又「△BED是等腰直角三角形，

/.△BEM是等腰直角三角形，

/.BM=ME=^BE=^a；

22

(3)证法一：

如答图3a,延长AB交CE于点D,连接DF,则易知aABC与4BCD均为等腰直角三角形,

，AB=BC=BD,AC=CD,

...点B为AD中点，又点M为AF中点，，BM二DF.

2

延长FE与CB交于点G,连接AG,则易知4CEF与4CEG均为等腰直角三角形，

，CE=EF=EG,CF=CG,

.••点E为FG中点，又点M为AF中点，，ME」AG.

2

在4ACG与4DCF中，

'AC=CD

<NACG=NDCF=45°，

,CG=CF

/.△ACG^ADCF(SAS),

，DF=AG,

/.BM=ME.

证法二：

如答图3b,延长BM交CF于D,连接BE、DE,

VZBCE=45°,

二ZACD=45°x2+45°=135°

I.ZBAC+ZACF=45°+135o=180°,

:.AB〃CF,

/.ZBAM=ZDFM,

•••M是AF的中点，

，AM=FM,

在AABM和△FDM中，

'NBAM=/DFM

"AM=FM，

NAMB=NFMD

.,.△ABM^AFDM(ASA),

，AB=DF,BM=DM,

.*.AB=BC=DF,

在ABCE和ADFE中，

'BC=DF

<ZBCE=ZDFE=45°，

CE=FE

.'.△BCE^ADFE(SAS),

/.BE=DE,ZBEC=ZDEF,

:.ZBED=ZBEC+ZCED=ZDEF+ZCED=ZCEF=90°,

.,.△BDE是等腰直角三角形，

又•.•BM=DM,

，BM=ME」BD,

2

故BM=ME.

答图3a

C答图lb

【点评】本题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助

线构造出中位线、全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点.

24.(12分)如图，在平面直角坐标系中，AB〃OC,A(0,12),B(a,c),C(b,0),并且a,b

满足bu7T7五+后G+16.一动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B

运动；动点Q从点O出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P、Q分别从点A、

O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动.设运动时间为t(秒)

(1)求B、C两点的坐标；

(2)当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标；

(3)当t为何值时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形？并求出P、Q两点的坐标.

【考点】平行四边形的判定；坐标与图形性质；等腰三角形的判定；勾股定理.

【分析】(1)根据二次根式的性质得出a,b的值进而得出答案；

(2)由题意得：QP=2t,QO=t,PB=21-2t,QC=16-t,根据平行四边形的判定可得21-2t=16-t,

再解方程即可；

(3)①当PQ=CQ时，12?+t2=(16-t)2,解方程得到t的值，再求P点坐标；②当PQ=PC时，由题

意得：QM=t,CM=16-2t,进而得到方程t=16-2t,再解方程即可.

+16

【解答】解：(1)b=^a-21+721-a,

a=21,b=16,

故B(21,12)C(16,0)；

(2)由题意得：QP=2t,QO=t,

则：PB=21-2t,QC=16-t,

当PB=QC时，四边形PQCB是平行四边形,

.*.21-2t=16-t,

解得：t=5,

：.P(10,12)Q(5,0)；

(3)当PQ=CQ时，过Q作QNLAB,

由题意得：122+t2=(16-t)2,

解得：tJ,

2

故P(7,12),Q(I,0),

当PQ=PC时，过P作PM_Lx轴,

由题意得：QM=t,CM=16-2tf

则t=16-2t,

解得：t3,2t乌，

33

【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，等腰三角形的判定，关键是注意分类讨论，不要漏解.

参与本试卷答题和审题的老师有：sjzx；2300680618；caicl；dbzl018；zcl5287；lantin；zjxlll；haoyujun；

心若在；73zzx；zhjh；CJX；sd2011；nhx600；sks；HJJ；星期八（排名不分先后）

菁优网

2016年4月27日

考点卡片

1.规律型：图形的变化类

图形的变化类的规律题

首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直

接利用规律求解.探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题.

2.二次根式有意义的条件

判断二次根式有意义的条件：

(1)二次根式的概念.形如a(a>0)的式子叫做二次根式.

(2)二次根式中被开方数的取值范围.二次根式中的被开方数是非负数.

(3)二次根式具有非负性.a(a>0)是一个非负数.

学习要求：

能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根

式的非负性解决相关问题.

【规律方法】二次根式有无意义的条件

1.如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须

是非负数.

2.如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零.

3.最简二次根式

最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.

最简二次根式的条件：(1)被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；(2)被开方数中不含有可化

为平方数或平方式的因数或因式.

如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a(a>0),x+y等；

含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、(x+y)2、x2+2xy+y2等.

4.二次根式的乘除法

(1)积的算术平方根性质：a*b=a*b(a>0,b>0)

(2)二次根式的乘法法则：a・b=a・b(a>0,b>0)

(3)商的算术平方根的性质：ab=ab(a>0,b>0)

(4)二次根式的除法法则：ab=ab(a>0,b>0)

规律方法总结：

在使用性质a・b=a・b(a>0,b>0)时一定要注意aNO,b20的条件限制,如果aVO,b<0,使用该性质

会使二次根式无意义，如(-4)x(-9)x-4x-9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平

方根和二次根式的除法运算也是如此.

5.二次根式的加减法

(1)法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进

行合并，合并方法为系数相加减，根式不变.

(2)步骤：

①如果有括号，根据去括号法则去掉括号.

②把不是最简二次根式的二次根式进行化简.

③合并被开方数相同的二次根式.

(3)合并被开方数相同的二次根式的方法：

二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并.合并时.，只合并根式外的因式，即

系数相加减，被开方数和根指数不变.

6.二次根式的混合运算

(1)二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用.学习二次根式的混合

运算应注意以下儿点：

①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的.

②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式"，多个不同类的二次根式的和可以看作"多项式".

(2)二次根式的运算结果要化为最简二次根式.

(3)在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径,

往往能事半功倍.

7.二次根式的化简求值

二次根式的化简求值，,定要先化简再代入求值.

二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免

互相干扰.

8.坐标与图形性质

1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，

到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上

恰当的符号.

2、有图形中•些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类

问题的基本方法和规律.

3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补"法去解决问题.

9.方向角

(1)方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向.

(2)用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方

位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西.(注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东

南，西北，西南.)

(3)画方位角

以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线.

10.垂线段最短

(1)垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段.

(2)垂线段的性质：垂线段最短.

正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短.它是相对于这点

与直线上其他各点的连线而言.

(3)实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短"和"垂线段最短”这两个

中去选择.

11.三角形内角和定理

(1)三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角，且每个内角均

大于0。且小于180°.

(2)三角形内角和定理:三角形内角和是180。.

(3)三角形内角和定理的证明

证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角.在转化中借

助平行线.

(4)三角形内角和定理的应用

主要用在求三角形中角的度数.①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数

方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角.

12.全等三角形的判定与性质

(1)全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时,

关键是选择恰当的判定条件.

(2)在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三

角形.

13.等腰三角形的判定

判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.【简称：等边对等角】

说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法.

②等腰三角形的判定和性质互逆；

③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的

中线；

④判定定理在同一个三角形中才能适用.

14.等边三角形的性质

(1)等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形.

①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；

②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况.在等边三角形中，腰和底、

顶角和底角是相对而言的.

(2)等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60。.

等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平

分线是对称轴.

15.等边三角形的判定与性质

(1)等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角

性质为证明线段、角相等提供了便利条件.同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合

一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用.

(2)等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30。角

的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等.

(3)等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从

一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取

一个60。的角判定.

16.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.

如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a?+b2=c2.

(2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.

(3)勾股定理公式a?+b2=c2的变形有：a=c2-b2,b=c2-a2及c=a2+b2.

(4)由于a2+b?=c2>a2,所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直

角边.

17.勾股定理的逆定理

（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b?=c2,那么这个三角形就是直角三角

形.

说明：

①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等.

②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形.必须满足较小两边平

方的和等于最大边的平方才能做出判断.

（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角.然后进一步结合其他已知条

件来解决问题.

注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平

方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是.

18.勾股定理的应用

（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得