盐城中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题（解析版）

江苏省盐城中学2022—2023学年度第一学期期末考试高二年级数学试卷（2023.01）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知椭圆:，则椭圆的焦点坐标为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先确定焦点位置是在轴还是在轴，再由标准方程求得即可求得焦点坐标.【详解】因为椭圆方程是，所以，所以，即，又因为椭圆焦点在轴上，所以焦点坐标为.故选：B.2.已知，则（）A.0 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】利用导数的定义与运算法则即可得出【详解】已知，得，由导数的定义可得.故选：D3.已知、，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）A. B. C. D.或【答案】A【解析】【分析】设直线与线段交于点，其中，利用斜率公式可求得的取值范围.【详解】设直线与线段交于点，其中，所以，.故选：A.4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求导直接求解即可.【详解】解：求导得，所以，解得故选:B5.已知直线过点，且斜率为，若圆上有4个点到的距离为1，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先由点斜式求出直线方程，再确定圆心，由题意知圆心到直线的距离小于1，即可求出的取值范围.【详解】因为圆上有4个点到的距离为1，所以圆心到直线的距离小于1，设圆的圆心到直线的距离为，又因为过点，且斜率为的直线方程为，即，所以，解得，即.故选：C.6.已知圆，为圆内一点，将圆折起使得圆周过点(如图)，然后将纸片展开，得到一条折痕，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由图形可知结果为定值，进而根据椭图的定义推断出点的轨迹方程.【详解】，，点关于折痕对称点在圆周上，折痕为线段的垂直平分线，折痕与相交于点，如图所示：则有，可知，所以点的轨迹是以为左、右焦点的椭圆，其中长轴，焦距，所以点的轨迹方程为，即折痕围成轮廓的圆锥曲线的方程为.故选：A7.若数列满足，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据题干中的递推公式进行逐项代入，即可判别出数列为周期数列，再根据周期数列的性质即可计算出的值．【详解】数列满足，且，，，，，则数列是以4为最小正周期的周期数列，即，∴.故选：B8.“中国剩余定理”一般指“孙子定理”，是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，若将被3除余2且被5除余2的正整数从小到大排列，组成数列，则为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由条件确定数列的通项公式，由此确定.【详解】被3除余数为2的正整数从小到大排列可得，，被5除余数为2的正整数从小到大排列可得，，两个数列的公共项按从小到大排列可得，，所以为首项为2，公差为15的等差数列，所以．故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分．部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若曲线，且分别是1与9的等差中项与等比中项，则下列描述正确的是（）A.曲线可以表示焦点在轴的椭圆B.曲线可以表示焦距是的双曲线C.曲线可以表示离心率是的椭圆D.曲线可以表示渐近线方程是的双曲线【答案】AB【解析】【分析】先求出，的值，分类讨论即可求解.【详解】由题知，分别是1与9的等差中项与等比中项，，，解得：，；当，时，此时曲线的方程为：，因此曲线为椭圆，焦点在轴上，离心率，故选项A正确，C错误；当，时，此时曲线的方程为：，因此曲线为双曲线，由得，解得：，焦距为：，渐近线方程为：即故选项B正确，D错误；故选：AB.10.若数列为等比数列，为数列的前项和，则下列数列一定成等比的有（）A数列 B.数列C. D.数列【答案】AD【解析】【分析】设出等比数列的公比，利用定义及通项并结合公比的取值情况逐项判断作答.【详解】令等比数列的公比为，则，对于A，，，数列是等比数列，A是；对于B，当时，，此时数列不是等比数列，B不是；对于C，当，且为正偶数时，，此时不成等比数列，C不是；对于D，，则数列是等比数列，D是.故选：AD11.下列求导运算错误的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用导数运算法则，逐项计算、判断作答.【详解】对于A，，A不正确；对于B，，B不正确；对于C，，C不正确；对于D，，D正确.故选：ABC12.“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（将线段一分为二，较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值称为“黄金分割比”），若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，左右焦点分别为，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点.设双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（）A.B.C.直线与双曲线的一条渐近线垂直D.【答案】ACD【解析】【分析】对选项逐个分析判断：对于A由黄金双曲线的定义即可求得离心率，对于B由点差法即可得出的值，对于C分别求出直线及渐近线的斜率，求得斜率之积是否为，对于D将所给线段长度由代入，再由之间的关系化简即可判断.【详解】对于A：若是黄金双曲线，则，故A正确；对于B：设，，其中，又在双曲线上，即两式相减得，即则得，故B错误；对于C：，渐近线得斜率，则，即，则直线与双曲线的一条渐近线垂直，故C正确；对于D：因为，，所以所以，即，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在平面直角坐标系中，若是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，则________．【答案】【解析】【分析】将点的坐标代入抛物线方程，求出的值，可得出点的坐标，再利用抛物线的定义可求得.【详解】将点的坐标代入抛物线方程可得，即点，易知点，由抛物线的定义可得.故答案为：.14.若是直线上的一点，点是曲线上的一点，则的最小值为________．【答案】【解析】【分析】设，利用点到直线的距离可得，令，利用导数求出，即可得到答案【详解】因为点是曲线上的一点，故设，所以到直线的距离为，令，则当单调递增；当单调递减；所以，所以所以的最小值为故答案为：15.对于数列，若集合为有限集，则称数列为“好数列”.若“好数列”满足，则____________．【答案】1【解析】【分析】由题意可得，分，和三种情况进行分类讨论，检验是否满足“好数列”即可【详解】由可得，当即时，所以，，，此时，满足，故此时数列为“好数列”；当即，则，，，由可得，当时，，所以是以为首项，公比为2的等比数列，所以，所以此时每项并不相同，由于在定义域内是递增函数，故每项并不相同，则集合为无限集，故数列不为“好数列”；当时，则，所以是从第二项起公比为2的等比数列，所以，所以从第二项起，每项并不相同，由于在定义域内递增函数，故从第二项起，每项并不相同，则集合为无限集，故数列不为“好数列”；综上所述，故答案为：116.已知是椭圆上三个点，为坐标原点，两点关于原点对称，经过右焦点，若且，则该椭圆的离心率是_____．【答案】##【解析】【分析】方法一：设椭圆的左焦点为，由条件证明四边形为矩形，设，结合椭圆的定义求，，利用勾股定理列方程可得关系由此可求离心率.方法二：设，，由可得，由可得，结合点的坐标满足椭圆方程列方程，消元可得关系由此可求离心率.【详解】方法一：设椭圆的半焦距为，左焦点为，则因为两点关于原点对称，所以，又，所以，所以四边形为矩形，设，因为，所以，由椭圆的定义可得，，在，，，，所以，所以，故，，在中，，所以，所以，所以离心率.方法二：设椭圆的半焦距为，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，且①，②，②×4－①可得，，因为经过右焦点，，所以，所以，故，所以，又，所以，因为，所以，又，所以，所以，所以，即，又，所以，所以离心率.故答案为：.【点睛】方法点睛：椭圆离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．四、解答题：本题共6小题，17题10分，其余每小题12分共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知等差数列和等比数列满足，．（1）求数列，的通项公式；（2）设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列，记数列的前n项和为，求．【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）由题知，进而得等差数列的公差为，进而根据等差数列通项公式和指对互化即可得答案；（2）由题知数列的前50项是由数列的前55项去掉数列的前5项后构成的，进而根据等差数列，等比数列的求和公式求解即可.【小问1详解】解：因为等差数列和等比数列满足，，所以，所以等差数列的公差为，所以，，所以，，，【小问2详解】解：由（1），即是数列中的第项．设数列的前n项和为，数列的前n项和为，因为所以数列的前50项是由数列的前55项去掉数列的前5项后构成的，所以．18.已知圆．（1）若一直线被圆C所截得的弦的中点为，求该直线的方程；（2）设不过圆心的直线与圆C交于A，B两点，把的面积S表示为m的函数，并求S的最大值．【答案】（1）；（2），；.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出圆心坐标，再利用圆的性质求解作答.（2）利用点到直线的距离公式，求出边AB上的高，再求出弦AB长即可求解作答.【小问1详解】圆圆心，半径，显然点在圆C内，由圆的性质知，当为圆C弦的中点时，该弦所在直线垂直于直线，直线的斜率，则有所求直线斜率为1，方程为：，即，所以该直线的方程为.【小问2详解】直线与圆相交时，圆心C到直线l的距离，解得，又直线l不过圆心，即，因此且，，的面积，因为且，则，当，即或时，，所以，，当或时，.19.设函数（a为非零常数）（1）若曲线在点处的切线经过点，求实数的值；（2）讨论函数的单调性.【答案】（1）1；（2）分类讨论，答案见解析.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义，求出曲线在点处的切线方程，再代入计算作答.（2）求出函数定义域，利用导数结合分类讨论求解单调区间作答.【小问1详解】函数，求导得：，则有，而，因此曲线在点处的切线方程为，则有，即，而，则，所以实数的值为1.【小问2详解】函数的定义域为，，当时，恒有，当且仅当且取等号，则函数在上单调递增，当时，由解得，，当，即时，当或时，，当时，，因此函数在，上单调递增，在上单调递减，当，即时，当时，，当时，，因此函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，递减区间是，递增区间是；当时，递增区间是，，递减区间是；当时，递增区间是.20.已知数列各项均不为，且，为数列的前项的积，为数列的前项的和，若.（1）求证：数列是等差数列；（2）求的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2），.【解析】【分析】（1）根据给定的递推公式，结合前n项和与第n项的关系，列式推理作答.（2）利用（1）的结论求出，再利用前n项积的意义求出通项作答.【小问1详解】为数列的前项的和，当时，，又，则有，依题意，，因此，所以数列是以为首项，3为公差的等差数列.【小问2详解】由（1）知，，即，当时，，而不满足上式，因为为数列的前项的积，则当时，，而，均不满足上式，所以的通项公式是，.21.在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知椭圆：的离心率为，椭圆上的点与点的最大距离为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的上、下顶点分别为，过点的直线与椭圆交于点（异于点），与轴交于点，直线与直线交于点，试探究：是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由.【答案】（1）椭圆的标准方程为；（2），理由见解析.【解析】【分析】(1)表示椭圆上的点到点的距离，求其最大值，解方程求，根据离心率及关系可求，由此可得椭圆方程；(2)由条件知可设直线的方程为，联立直线的方程和椭圆方程可得的坐标关系，求点的纵坐标并化简，由此证明为定值.【小问1详解】设椭圆的半焦距为，设点为椭圆上一点，则，，因为，所以，所以当时，取最大值，最大值为，由已知，所以，又椭圆的离心率为，所以，所以，故，所以椭圆的标准方程为；【小问2详解】若直线的斜率不存在，则，与已知矛盾，故设直线的方程为，令可得，故点的坐标为，联立，消可得，，方程的判别式，设，则，因为为椭圆的上、下顶点，所以，所以直线的方程为，直线的方程为，设，联立直线和直线的方程可得，点的纵坐标为，又，即，所以，所以，【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．22.我们知道，如果，那么，反之，如果，那么.后者常称为求数列前项和的“差分法”（或裂项法）.（1）请你用差