新教材2024版高中数学第四章数列4.3等比数列4.3.1等比数列的概念第1课时等比数列的概念与通项公式课件新人教A版选择性必修第二册

第四章

数列4.3等比数列4.3.1等比数列的概念第1课时等比数列的概念与通项公式学习目标素养要求1.理解等比数列的概念，理解等比中项的概念数学抽象2.掌握等比数列的通项公式，能运用公式解决相关问题，体会它和指数函数的关系数学运算3.掌握等比数列的判断与证明方法逻辑推理自学导引如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于____________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母________表示(显然q≠0)．同一个常数等比数列的概念公比q【预习自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)数列1，－1，1，－1，…是等比数列． (

)(2)若一个数列从第2项开始每一项与前一项的比是常数，则这个数列是等比数列． (

)(3)等比数列至少有3项． (

)【答案】(1)√

(2)×

(3)√【解析】(1)数列1，－1，1，－1，…从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于－1，由等比数列的概念知该数列是等比数列．(2)这个常数必须是同一个常数且不为零才是等比数列．(3)由等比数列的概念易知正确．【答案】①②如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成___________，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.等比数列等比中项【预习自测】1．(2022年北京期末)设m＝－8，n＝－2，则m与n的等比中项为

(

)A．4 B．－4C．±4 D．－5【答案】C【解析】设－8与－2的等比中项为x，则x2＝(－8)×(－2)＝16，解得x＝±4.故选C．2．(2022年辽源期末)若1与11的等差中项是4与m的等比中项，则m＝

(

)A．6 B．7C．8 D．9【答案】D等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为an＝________．a1qn－1等比数列的通项公式【预习自测】1．(2022年合肥期末)若{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＝1，a5＝16，则a6－a5＝

(

)A．32 B．－48C．16 D．－48或16【答案】C2．(2022年张家界期末)在正项等比数列{an}中，a1＝1，a2＋a3＝12，则a5＝

(

)A．27 B．64C．81 D．256【答案】C【解析】设正项等比数列{an}的公比为q(q＞0)，由a2＋a3＝12，得a1q＋a1q2＝12，即q2＋q－12＝0，解得q＝3或q＝－4(舍去)，所以a5＝a1q4＝1×34＝81.故选C．课堂互动题型1等比数列的定义及判定【答案】(1)01．在数列{an}中，已知an＝3an－1＋2·5n(n∈N*，n≥2)，其中a1≠25，求证：数列{an－5n+1}是等比数列．

等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列{an}的前10项之和是

(

)A．90

B．100C．145

D．190【答案】B题型2等比中项的应用【答案】D

在等比数列{an}中，已知a3＝9，a6＝243，求a5.题型3等比数列的通项公式等比数列通项公式的求法a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．关于a1和q的求法通常有两种方法：(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法；(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．3．在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，则a4＝________.【答案】27【解析】设{an}公比为q(q≠0).由2a2为3a1和a3的等差中项，可得4a2＝3a1＋a3，即4a1q＝3a1＋a1q2.因为a1≠0，所以q2－4q＋3＝0，解得q＝1或q＝3.当q＝1时，a2＝a1，这与a2－a1＝2矛盾，舍去；当q＝3时，a2＝3a1.又因为a2－a1＝2，所以a1＝1，所以an＝a1qn-1＝3n-1.所以a4＝33＝27.【分析】根据{an}的递推公式求an，可考虑由递推公式构造新数列，使新数列成等比数列，再由新数列求an.思想方法构造等比数列的技巧素养训练2．等比中项的理解(1)当a，b同号时，a，b的等比中项有两个；当a，b异号时，没有等比中项．(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．(3)“a，G，b成等比数列”等价于“G2＝ab”(a，b均不为0)，可以用它来判断或证明三个数是否成等比数列．1．(题型1)(2023年上海期末)若a，b，c，d成等比数列，则下列三个数列：①a2，b2，c2，d2；②ab，bc，cd；③a－b，b－c，c－d.其中必成等比数列的个数为(

)A．0

B．1C．2

D．3【答案】C2．(题型3)(2022年重庆模拟)若等比数列{an}满足a2a4＝a5，a4＝8，则a6＝ (

)A．16 B．32C．64

D．128【答案】B3．(题型2)等比数列{an}(an＞0)满足a1－a5＝90，a2－a4＝36，则a5，a7的等比中项为________.【答案】±34．(题型3)已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1a5＝16，a2＝