专题14.1 整式的乘法（压轴题专项讲练）（人教版）（解析版）

专题14.1整式的乘法【典例1】【知识回顾】有这样一类题：代数式ax-y+6+3x-5y-1的值与x的取值无关，求a的值；通常的解题方法；把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式=a+3x-6y+5，所以a+3=0，即【理解应用】（1）若关于x的多项式(2m-3)x+2m2-3m的值与x（2）已知3(2x+1)(x-1)-x(1-3y)+6(-x2+xy-1)【能力提升】（3）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1-S【思路点拨】（1）根据含x项的系数为0建立方程，解方程即可得；（2）先根据整式的加减求出3A+6B的值，再根据含x项的系数为0建立方程，解方程即可得；（3）设AB=x，先求出S1,S2，从而可得S1-S2，再根据“当AB的长变化时，【解题过程】解：（1）(2x-3)m+2=(2m-3)x-3m+2m∵关于x的多项式(2x-3)m+2m2-3x∴2m-3=0，解得m=3（2）令A=(2x+B=-x原式=3A+6B=3(2=6=15xy-6x-9=(15y-6)x-9，∵3A+6B的值与x无关，∴15y-6=0，解得y=2（3）解：设AB=x，由图可知，S1=a(x-3b)=ax-3ab，则S=ax-3ab-2bx+4ab=(a-2b)x+ab，∵当AB的长变化时，S1∴S1-∴a-2b=0，∴a=2b．1．（2022春·贵州六盘水·七年级统考期中）已知a1，a2，a3，…，a2022均为负数，则M=a1+a2A．M=N B．M>N C．M<N D．无法确定【思路点拨】令a2+a3+⋅⋅⋅+a2021=x，则M=【解题过程】解：令a2+a3+⋅⋅⋅+a2021∴M-N=a1x+a1a2022+∵a1，a2，a3，…∴a1即M>N．故选：B．2．（2022秋·全国·七年级专题练习）设x，y为任意有理数，定义运算：x*y=(x+1)(y+1)-1，得到下列五个结论：①x*y=y*x；②x*y+z=x*y+x*z；③(x+1)*(x-1)=x*x-1；④x*0=0；⑤(x+1)*(x+1)=x*x+2*x+1．其中正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】根据题中定义的运算，对各结论中新定义的运算进行计算，判断即可解答．【解题过程】解：∵x*y=(x+1)(y+1)-1，y*x=(y+1)(x+1)-1，∴x*y=y*x，故①正确；∵x*y+z=(x+1)(y+1)-1+z=xy+x+y+z，x*y+x*z=(x+1)(y+1)-1+(x+1)(z+1)-1=xy+x+y+xz+x+z=xy+xz+2x+y+z，∴x*y+z≠x*y+x*z，故②错误；∵(x+1)*(x-1)=(x+1+1)(x-1+1)-1=(x+2)x-1=xx*x-1=(x+1)(x+1)-1-1=x∴(x+1)*(x-1)=x*x-1，故③正确；∵x*0=(x+1)(0+1)-1=x+1-1=x，∴x*0≠0，故④错误；∵(x+1)*(x+1)=(x+1+1)(x+1+1)-1=(x+2)x*x+2*x+1=(x+1)(x+1)-1+(2+1)(x+1)-1+1=(x+1)∴(x+1)*(x+1)≠x*x+2*x+1故⑤错误．综上所述，正确的个数为2．故选：B．3．（2022春·江苏·七年级专题练习）设x+y+z=2020，且x2019=y2020=A．673 B．20203 C．20213 D【思路点拨】令x2019=y2020=z2021=a，可将x、z的值用y与a表示，利用x+y+z=2020【解题过程】解：设x则x=2019a,y=2020a,z=2021a将x，y，z的值代入x+y+z=2020可得：2019a+2020a+2021a=2020解得：a=∵z3xyz=3y(y-a)(y+a)=3y(∴=(=9=9=9×2020×=故选：B.4．（2022春·江苏南京·七年级南京市人民中学校联考期中）如图，长为y(cm)，宽为x(cm)的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为①小长方形的较长边为y-15；②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x-y+5；③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；④当x=15时，阴影A和阴影B的面积和为定值．A．①③ B．②④ C．①③④ D．①④【思路点拨】①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为（y-15）cm，说法①正确；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为（2x+5-y）cm，说法②错误；③由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为2（2x+5），结合x为定值可得出说法③正确；④由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为（xy-25y+375）cm2，代入x=15可得出说法④错误．【解题过程】解：①∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为5cm，∴小长方形的长为y-3×5=（y-15）cm，说法①正确；②∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为（y-15）cm，小长方形的宽为5cm，∴阴影A的较短边为x-2×5=（x-10）cm，阴影B的较短边为x-（y-15）=（x-y+15）cm，∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x-10+x-y+15=（2x+5-y）cm，说法②错误；③∵阴影A的较长边为（y-15）cm，较短边为（x-10）cm，阴影B的较长边为3×5=15cm，较短边为（x-y+15）cm，∴阴影A的周长为2（y-15+x-10）=2（x+y-25），阴影B的周长为2（15+x-y+15）=2（x-y+30），∴阴影A和阴影B的周长之和为2（x+y-25）+2（x-y+30）=2（2x+5），∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③正确；④∵阴影A的较长边为（y-15）cm，较短边为（x-10）cm，阴影B的较长边为3×5=15cm，较短边为（x-y+15）cm，∴阴影A的面积为（y-15）（x-10）=（xy-15x-10y+150）cm2，阴影B的面积为15（x-y+15）=（15x-15y+225）cm2，∴阴影A和阴影B的面积之和为xy-15x-10y+150+15x-15y+225=（xy-25y+375）cm2，当x=15时，xy-25y+375=（375-10y）cm2，说法④错误．综上所述，正确的说法有①③．故选：A．5．（2022春·浙江杭州·七年级统考期中）若a=255，b=344，c=433，d=522，则a，b，c，d【思路点拨】把a，b，c，d各数的指数转为相等，再比较底数即可．【解题过程】解：∵a=2b=3c=4d=525<32<64<81，∴25即d<a<c<b．故答案为：d<a<c<b．6．（2022秋·七年级单元测试）计算1-12【思路点拨】设x＝12【解题过程】解：设x＝则原式＝＝＝故答案为：167．（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）如果x-1x-2x-3x-4【思路点拨】先根据多项式乘多项式法则展开得出原式=x2-5x＋4x【解题过程】解：（x−1）（x−2）（x−3）（x−4）＋m=（x−1）（x−4）（x−2）（x−3）＋m===∵（x−1）（x−2）（x−3）（x−4）＋m是一个完全平方式，∴m=1故答案为：1．8．（2022秋·湖南长沙·七年级校联考阶段练习）若a+b+c=0，a3+b3【思路点拨】由题意得a+b+c3=0，a+b=-c，a+c=-b，b+c=-a，再根据a3+b3+c3=0可得出abc=0，从而可判断出a、【解题过程】解：∵a+b+c=0，∴a+b+c3=0，a+b=-c，a+c=-b即a3整理得：a3即-a又∵a∴abc=0，∴a、b、c中有一个等于零，假设a=0，则b+c=0，即b=-c，则a23故答案为：0．9．（2022秋·上海·七年级专题练习）若a,b,c满足a+b+c=1, a2【思路点拨】关键整式的乘法法则运算，并整体代入变形即可.【解题过程】解：因为a+b+c=1,所以a+b+c2=1，即因为a所以ab+ac+bc=-1因为a+b+c所以a3因为a+b+c=1,所以3+ab1-c即3+ab+ba+ac3-1abc=1因为a+b+c即a4a4a4aa故答案为：410．（2022春·江苏·七年级专题练习）建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为a的正方形EFGH四周分别放置四个边长为b的小正方形，构造了一个大正方形ABCD，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作S1，每一个边长为b的小正方形面积记作S2，若S1=6S【思路点拨】根据图形中阴影部分均为三角形，利用三角形面积公式，找到底和高可求出ΔDGI与ΔMNC面积，求ΔKMD面积使用正方形面积减去三个三角形面积，可求得S1，S【解题过程】解：如图所示，对需要的交点标注字母：SΔDGIS==ab+3SΔMNC∴S1S2∵S1∴2ab+5化简得：2a=7∴ab故答案为：7411．（2022秋·七年级课时练习）若x2+3mx-13x（1）直接写出m、n的值，即m=___________，n=（2）求代数式-m【思路点拨】（1）根据多项式乘多项式法则计算，然后根据积中不含有x与x3项可以求解m（2）将m、【解题过程】（1）解：x2=x=x4∵积中不含有x与x3∴3m-3=0，3mn+1=0，解得m=1，n=-1故答案为：1，-1（2）解：当m=1，n=-1-====9412．（2020春·浙江杭州·七年级校考期中）回答下列问题：（1）填空：a-ba+b=a-ba2a-ba3（2）猜想：a-ban-1+an-2b+⋯+a（3）利用（2）猜想的结论计算：①210②210【思路点拨】（1）利用多项式乘多项式运算法则对每个式子进行计算即可；（2）根据（1）中的各个式子的规律，可以写出相应的猜想；（3）利用（2）中的猜想，对算式进行变形即可解答本题．【解题过程】解：a-ba+ba-b==aa-b==a故答案为：a2-b2；（2）根据（1）中的规律，可得猜想：a-ban-1+an-2故答案为：an（3）①2==(2-1)(==2048-1-1=2046；②2==13==683-1=682．13．（2022春·江苏·七年级专题练习）阅读下列材料：小明为了计算1+2+2设S=1+2+2则2S=2+2②-①得，2S-S=S=2请仿照小明的方法解决以下问题：（1）2+22（2）求1+12（3）求-2+（4）求a+2a2+3a3【思路点拨】（1）根据阅读材料可得：设s＝2+22+⋅⋅⋅+220①，则2s＝22＋23＋…＋220＋2（2）设s＝1+12+122+⋅⋅⋅+1250（3）设s＝-2+-22+⋅⋅⋅+-2100①，-2s（4）设s＝a+2a2+3a3+⋅⋅⋅+nan①，as＝a2+2a3+3a4【解题过程】解：根据阅读材料可知：（1）设s＝2+222s＝22＋23＋…＋220＋221②，②−①得，2s−s＝s＝221−2；故答案为：221−2；（2）设s＝1+1212s＝12②−①得，12s−s＝-12s＝1∴s＝2-12故答案为：2-12（3）设s＝-2+-2s＝-22②−①得，-2s−s＝-3s＝-2101∴s＝2101（4）设s＝a+2a2as＝a2+2②-①得：as-s=-a-a2设m=-a-a2-am=-a2-④-③得：am-m=a-an+1∴m=a-a∴as-s=a-an+1a-1∴s=a-an+1a-114．（2022秋·湖南永州·七年级校考期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作a,b，如果ac=b．我们叫a,b为“雅对例如：因为23=8，所以2,8=3．我们还可以利用“雅对”设3,3=m，3,5=n，则3m=3，则3,15=m+n，即3,3（1）根据上述规定，填空：2,4=_________；5,1=_________；3,27（2）计算5,2+5,7（3）利用“雅对”定义证明：2n,3【思路点拨】（1）由于22=4，50=1，33（2）设（5，2）=m，（5，7）=n，利用新定义得到5（3）设：（2n，3n）=a，（2，3【解题过程】（1）∵22=4∴2,4=2∵50∴5,1=0∵33=27∴3,27故答案为：2；0；3；（2）（5理由如下：设（5，2∴5m∵（5∴（5故答案为：（5（3）设（2∴（2∴（2即2an∴an=bn，∴a=b，即（2n，15．（2022春·江西抚州·七年级统考阶段练习）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数.例：计算8x2+6x+1÷2x+1，可依照672÷21（1）x3+4x2（2）利用上述方法解决：若多项式2x4+4x3+a（3）已知一个长为x+2，宽为x-2的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图）.另有长方形C的一边长为x+10，若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长.【思路点拨】（1）根据多项式除以多项式的法则计算．（2）根据多项式除以多项式的法则计算．（2）通过面积关系求长方形的边长．【解题过程】（1）解：用竖式计算如下，的商是，余式是．∴答案为：，．（2）多项式能被整除，则∴a+4-（-2）=0，-b-（-2）=0．∴a=-6，b=2．∴ab=（-6）2=36．（3）长方形A的周长为：2（x+2+x-2）=4x．长方形B的周长为：2（x-2+a+x+2+6）=4x+2a+12．∵长方形B的周长是A周长的2倍．∴4x+2a+12=8x．∴a=2x-6．∴长方形B的面积为：（x+2+6）（x-2+2x-6）=（x+8）（3x-8）=3x2+16x-64．∴长方形C的面积为：3x2+16x-140．∴长方形C的另一边长为：（3x2+16x-140）÷（x+10）=3x-14．∴长方形C的另一边长为：3x-14．16．（2022春·浙江金华·七年级校联考阶段练习）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到(a+b)2（1）写出图2中所表示的数学等式______；（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c=15,ab+ac+bc=35，则a2+（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为(2a+b)(a+2b)长方形图形，则x+y+z=（4）如图4所示，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接AG和【思路点拨】（1）由大正方形等于9个长方形面积的和；（2）将所求式子转化为a2（3）将式子化简为(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2，即可确定x（4）阴影部分的面积等于两个正方形面积减去两个直角三角形面积．【解题过程】解：（1）由图可知大正方形面积为(a+b+c)2，大正方形由9个长方形组成，则有(a+b+c)故答案为(a+b+c)2（2）由（1）可得a2∵a+b+c=15，ab+ac+bc=35，∴a故答案为155；（3）∵(2a+b)(a+2b)=2a∴x=2，y=2，z=5，∴x+y+z=9；故答案为9；（4）由已知，阴影部分的面积等于两个正方形面积减去两个直角三角形面积，即a2∵a+b=12，ab=20，∴1217．（2022秋·江苏常州·七年级校考期中）已知7张如图1所示的长为a，宽为b(a>b)的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S．设BC=t．（1）用a、b、t的代数式表示S=

___________

．（2）当BC的长度变化时，如果S始终保持不变，则a、b应满足的数量关系是什么？（3）在（2）的条件下，用这7张长为a，宽为b的矩形纸片，再加上x张边长为a的正方形纸片，y张边长为b的正方形纸片（x，y都是正整数），拼成一个大的正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则当x+y的值最小时，求拼成的大的正方形的边长为多少（用含b的代数式表示）？并求出此时的x、【思路点拨】（1）先用a、b、t分别表示出阴影部分的长和宽，进而分别表示出阴影的面积，然后作差求解即可；（2）根据差与BC无关即可求出a、b的关系；（3）根据题意可得出拼得的正方形的面积为7ab+xa2+yb2=b【解题过程】（1）解：记左上角阴影部分的面积为S1，右下角阴影部分的面积为S左上角阴影部分长方形的长为t-a，宽为3b，∴S1右下角阴影部分长方形的长为t-4b，宽为a，∴S2∴S==3bt-3ab-at+4ab=ab+（（2）解：当t的长度变化时，要使得S始终保持不变，即上面代数式的值与t无关，∴3b-a=0，即a、b满足的关系是：a=3b．（3）解：拼成的大正方形的面积为：7张边长为a，宽为b的矩形的面积+x张边长为a的正方形的面积+y张边长为b的正方形的面积，∴拼成的大正方形的面积为：7ab+xa∵a=3b，∴7ab+x=b∵b2∴9x+y+21是完全平方数，而x、y都是正整数，∴9x+y+21⩾9+1+21=31，当9x+y+21=36时，x=1，y=6，此时当9x+y+21=49时，x=3，y=1，此时或者x=2，y=10，此时或者x=1，y=19当9x+y+21取更大的完全平方数时，x+y的值也变大，故x+y的最小值为4，此时拼成的大正方形的面积为49b2，则边长为7b18．（2022春·四川达州·七年级统考期末）把图1的长方形看成一个基本图形，用若干相同的基本图形进行拼图（重合处无缝隙）．（1）如图2，将四个基本图形进行拼图，得到正方形ABCD和正方形EFGH，用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示），并写出一个等式；（2）如图3，将四个基本图形进行拼图，得到四边形MNPQ，求阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示）；（3）如图4，将图3的上面两个基本图形作为整体图形向左运动x个单位，再向上运动2b个单位后得到一个长方形图形，若AB=b，BC把图中阴影部分分割成两部分，这两部分的面积分别记为S1，S2，若m=S1-【思路点拨】（1）阴影部分的面积有两种计算方法，①S阴影＝S大正方形−4S基本图形；②直接根据正方形EFGH的边长求正方形EFGH的面积；（2）先证明四边形ABCD是正方形，然后用S阴影＝S正方形−4S基本图形；（3）把S1，S2分别用含a、b、x的式子表示出来，然后计算m＝S1−S2，即可证明m与x无关．【解题过程】（1）解：①∵在图2中，四边形ABCD是正方形，∴正方形ABCD的面积为S正方形＝（a＋b）2．∵四个基本图形的面积为4ab，∴S阴影＝(a＋b)2−4ab；②∵四边形EFGH是正方形，∴EH＝EF＝a−b，∴S阴影＝EH2＝(a−b)2；∴（a＋b）2−4ab＝（a−b）2．（2）解：∵NP＝a＋b，MN＝a＋b，∴四边形EFGH是正方形，∴S阴影＝MN2−4ab＝(a＋b)2−4ab，即S阴影＝(a＋b)2−4ab＝a2−2ab＋b2．（3）证明：根据图形可知，AF＝a＋x−2b，m＝S1−S2＝2b•2b＋bx−（a−2b＋x）b−3b•b＝4b2＋bx−（ab−2b2＋bx）−3b2＝4b2＋bx−ab＋2b2−bx−3b2＝3b2−ab∴S与x无关．19．（2022春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如图，4张长为x，宽为y（x＞y）的长方形纸片拼成一个边长为（x＋y）的正方形ABCD．（1）当正方形ABCD的周长是正方形EFGH周长的三倍时，求xy（2）当空白部分面积是阴影部分面积的二倍时，求xy（3）在（2）的条件下，用题目条件中的4张长方形纸片，m张正方形ABCD纸片和n张正方形EFHG纸片（m，n为正整数），拼成一个大的正方形（拼接时无空隙、无重叠），当m，n为何值时，拼成的大正方形的边长最小？【思路点拨】（1）根据正方形ABCD的周长是正方形EFGH周长的3倍列等式可得：x=2y，从而得结论；（2）先求得空白部分的面积，再利用面积差可得阴影部分的面积和，根据题意列方程求解，从而得结论；（3）根据题意可得出大的正方形面积为4xy+m(x+y)2+n(x-y)2，根据（2）中的结论x=2y，即大的正方形面积可化为(8+9m+n)y2，由题意可知因为大正方形的边长一定是b的整数倍，则8+9m+n是平方数，因为m、n都是正整数，即【解题过程】（1）解：由题意得：4(x+y)=3×4(x-y)，解得：x=2y，∴xy=2（2）解：如图，空白部分的面积=S==x阴影部分的面积和=正方形ABCD的面积-空白部分的面积==2xy-y由题意得：x2整理得：(x-2y)2解得：x=2y，∴xy=2（3）解：由题意得：拼成一个大的正方形的面积=4xy+m(x+y)由（2）知：x=2y，∴4xy+m=4⋅2y⋅y+9m=(8+9m+n)y因为大正方形的边长一定是y的整数倍，∴8+9m+n是平方数，∵m，n都是正整数，∴8+9m+n最小是25，即9m+n=17，∴m=1，n=8，此时4xy+m(x+y)则m=1，n=8时，拼成的大正方形的边长最小．20．（2022春·广东佛山·七年级统考期末）【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：a+b2=a2+2ab+b2【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题：（1）由图2可得等式：__________；由图3可得等式：__________；（2）利用图3得到的结论，解决问题：若a+b+c=15，ab+ac+bc=35，则a2+（3）如图4，若用其中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为2a+ba+2b长方形（无空隙、无重叠地拼接），则x+y+z=______（4）如图4，若有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为ab的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为______．【方法拓展】（5）已知正数a，b，c和m，n，l，满足a+m=b+n=c+l=k．试通过构造边长为k的正方形，利用图形面积来说明al+bm+cn<k【思路点拨】（1）大长方形的面积=长×宽，也等于3个小正方形和3个小长方形面积的和，两种方法求得的大长方形的面积相等，即“等积法”得到等式．（2）用（1）的结论变形后代入求值．（3）观察（2a+b）（a+2b）长方形找到x、y、z对应的值，代入求值．（4）通过分析，找到可以拼成正方形的可能的情况，然后找到正方形的边长最大，（5）通过构造