2016年上海市高中数学竞赛试题及答案

2016年上海市高中数学竞赛试

题及答案

2016年上海市高中数学竞赛试题及答案

一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题

7分'后Q小题每小题8分）

1•已知函数小）=3+板+，0，均为常数），函

cwa,b,c

数工G）的图象与函数（）的图象关于、.轴对称，函

数;（）的图象与函数小）的图象关于直线尸|对

称,2则函数Q）的解析'式为.

答案.2

口木・f（x）=-ax2-}-hx-c+2.

2

解在函数广心的表达式中用，代替J得

y—jw—xx

Q―，在函数~G）的表达式中用f代替

11

y'1寻/G）=-am+bx-c+2.

2

2・复数满足，坟=3z”2在复平面上对应的动点

1

zrr一Z2

所表示曲线的普通方程是

答案：心+”=1.

25

解设”+，则+/i

z=a+bi,w=x+yi。2+匕2=1

2

x+yi=sG+Z?/)-y-Y-=3GZ+/?Z)2-《------.............V

\aVbir(a+4A(a—-力

2

=3G+/2/)-2(a-bi>=Q一〃2)+10QZ?,.

从而，于是¥()

x=-/?2y=1Qab尤2+=ci2-b2+4。2。2=1.

25

3.关于的方程arctan28-arctan2-v=，的解

x—

6

是

答-

x=log2/

解因为tan(arctan2')-tanGrctan2-*)=2x.2-x=l，所以

cc兀arctanK9则

arctan2工+arctan2-A-=_，解得t2v-，2-A=

T36

2.r=6x=10g

2

4・红、蓝、绿、白四颗骰子，每颗骰子的六个面

上的数字为,则同时掷这四颗骰子使得四

123,4,5,6

颗骰子向上的数的乘积等于36，共有

种可能.

答案：48.

解四颗骰子乘积等于36,共有四种情形：

(1)L两个6,这种情形共°=6种可能；

(2)^4*2,两个3,这种情形共；=6种可能；

(3)3,一个1,一个4,这种+青形C2C―2

共

42

种可能；

(4),1236各一个，这种情形共八24种可能・

综上，共有6+6+12+24=48种可能・

9

5・已知函数/G)=cosGtx),g(x)=若存在

丁-[°』]，使小"(Q成立,则实数0的取值范围

为

答案门心门］

解易知XE［O,1］时，f(x)叶一1,11只需求a的取值范围，

使得g(x)能取到［-1,1］中的值.

(1)当a>0时，g(x)单调递增，因为g(x)>一;,故只

需g(0),1解得0<af.

(2)当a<0时，g(x)单调递减，因为g(x)《；，故只

需g(O)之一「解得一/工a<o.

6-如图，有16间小三角形的房间，甲、乙两人

被随机地分别安置在不同的任角形房间，那么

他们在不相邻(指没有公共边)房间的概率是

(用分数表示).

图1.2第6题图1图1.3:第6题图2

合祭E

20

解法一如图1,将小三角形房间分为三类：与

第一类（红色）房间相邻的房子恰有一间，与第

二类（绿色）房间相邻的房间恰有两间，与第三

类（白色）房间相邻的房间恰有三间，从而满足

条件的安置方法共有3x（16-2）+6x（16-3）+7X（16-4）=204

种.从而所求概率为

16x1520,

解法二我们从反面考虑问题，如图2,每一对

相邻房间对应着一条黄色的邻边，故所求概率为

18x2=1_3J

>16x1520=20,

7•在空间，四个不共线的向量以。8"8,它们两

（JA,Un,（7C,OU

两的夹角都是小贝J的大小是

答案："arccoJ.

3

图1.4:第7题图

解如图，ABO为正四面体，角a即为48,设一

分别为和的的中点，则AE=DEQ=8,则中心。在

9上，从而。为44山的垂心，

EH11

sinZODE=sinNEAH=----=_=cosZDOH=-.

所以，…一r33

arccos-.

3

8.日如n/n,1，贝/的取值范围

O刘a>01>0,43+加=1a+b

为___________.

答案：(1阿

解注意到0<必<3位，及

一4

1=。3+Z?3=(a+/?)C/2-a。+。2)=(。+

我们有L(a+b>/<(a+仆，所以1<a+h<^4.

4

二、解答题(本题满分60分,每小题15分)

如图，已知五边形A/,。”内接于边长为1的正

a4c1Dy9

五边形A88E・求证：五边形A8CDE中至少有一条

11111

边的长度不小于cd

图1.5:第9题图

证设EAMAB,BB,BC,CC,CD,DD,DE.EE、的长分别为

‘」‘贝丁11111

a,a,b,b,c,c,d,cl,e,e,

1212121212

(Q+a)+(/?+8)+(c+c)+(d+d)+(e+e)

=(〃+e)+(a+〃)+(〃+c)+(c+d)+(d+e)=5.

22

由平均数原理；';z\y中必有一个

a+cijh+b,c+c,d+d.,e+e

122121

大于产不妨设;则此时

a+a-«>1-«2。

3兀221271

AE2=a2+a2-2aaCOS；>a2+(1-a1+2a(1-a)cos

11

\2、12Z15

(2兀、(

=2|1-cos_JQ2-21—COS2—2|1—COS_I+1

。1a

~5)1~5)1

(2TTY1V1(2兀、

~21-COScIIa~n\+_11+cos_

(5人I，2(司

U2。兀

>—I1+COS—l=COS2—.

215允5

所以,AENCOS;命题得证•

一5

1°・设和是素数，且，求的

P，q>■p\qr-\,q\rp-J\,r\pq-Apqr

所有可能的值.

解由题设可得“Gi)07T),因为

Qr-1)(/p-1Xpq-1)=p2q2r2-pqr(p+q+r)+pq+qr+rp-1,

所以，p“|pq+”+rp-1.于是竺"竺=LL+U为正

pqrpqrpqr

整数.

记%=1+1+L_L，注意到PMR22，则k<3从而%=1.

pqrpqr2

由对称性，不妨设

p<q<r.

若PN3,则d+3l,矛盾，故p=2.

pqr

若，则，12,矛盾.

q>3t/25&=—十—<1

25

若，贝!I11门1、，也矛盾.故

q=2%+?+"司〉1…

最后，由1111，得「=5.

23r6r

综上，

pqr=30.

1L已知数列｛"满足递推关系.=」"1GCN.,求

所有%的值，使｛.｝为单调数列，即｛"为递增数列

或递■数列."

解由11得，3，中，令，则

a+3«+1a——a+3h=3〃。

"+12n3〃“+12nnn

,3763|\6、

b=__人+3n〃=b~-[,

〃+12〃n+152\n5)

从而，6(6Y3>->则

n5I15人2J

h1「6/6Y3A

a=n=_|_+3a__II__I

〃573«|[5Ii5A2JI]

;也「»2/72、LjlY

十一ii」-」+im

l2)⑶3)II5〃l相

若2,注意到I2।<1，叫“n>1+logI2］时，与

-5I3|玄'5)

“2同号，但［11正负交替，从而正负交替，｛｝

*5［司""""

不为单调数列.

当2时，2ml为递减数列.

a=_a=_|_|

15n5⑶

综上，当且仅当.2时，1｝为单调数列.

w——kcl)

15〃

12.已知等边三角形的边长为5,延长至点

ABCBA

p，使得IM-9,0是线段8c上一点(包括端点)・直

线与