3.1.3函数的奇偶性第1课时课件-高一上学期数学人教B版

第三章函数

3.1函数的概念与性质

3.1.3函数的奇偶性第1课时

函数的奇偶性基础知识初中时我们学习过有关轴对称和中心对称的知识，而且已经知道，在平面直角坐标系中，点(x，y)关于y轴的对称点为(-x，y)，关于原点的对称点为(-x，-y)。例如，(-2，3)关于y轴的对称点为_____________，关于原点的对称点为____________.(2，3)(2，-3)不难发现，上述两个函数，当自变量取互为相反数的两个值x和-x时，对应的函数值相等，即f(-x)=(-x)2=x2=f(x),

一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x∈D，且f(-x)=f(x),则称y=f(x)为偶函数如果y=f(x)是偶函数，其图象具有什么特征呢?我们知道，点P(x，f(x))与Q(-x，f(-x))都是函数y=f(x)图象上的点，按照偶函数的定义，点Q又可以写成Q(-x，f(x))，因此点P和点Q关于y轴对称，所以偶函数的图象关于y轴对称；反之，结论也成立，即图象关于y轴对称的函数一定是偶函数，如图所示是尝试与发现中两个函数的图象。尝试与发现按照类似的方式得到奇函数的定义，以及奇函数图象的特征:一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有__________，且_____________则称y=f(x)为奇函数。奇函数的图象关于__________对称.-x∈Df(-x)=-

f(x)原点

如果一个函数是偶函数或是奇函数，则称这个函数具有奇偶性。可以看出，当n

是正整数时，函数f(x)=x2n是偶函数，函数g(x)=

x2n-1

是奇函数。前提函数f(x)定义域D内的________________________，条件且_______________且_________________结论则称y＝f(x)为偶函数则y＝f(x)为奇函数任意一个x，都有－x∈D

f(－x)＝f(x)

f(－x)＝－f(x)

思考：函数奇偶性的注意点是什么？提示：(1)从奇函数、偶函数的定义可知，当x是定义域中的一个数值时，则－x也必是定义域中的一个数值，因此函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称．换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数不具有奇偶性．例如，函数y＝x2在区间(－∞，＋∞)上是偶函数，但在区间[－3,5]上却不具有奇偶性。(2)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则根据定义可得，f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.(3)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，这样的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的非空数集。奇、偶函数的单调性根据奇、偶函数的图像特征，我们不难得出以下结论。(1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“___________”．(2)________________________________________________，取最值时的自变量互为相反数；___________________________________________________，取最值时的自变量也互为相反数。奇同偶异偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数典例精析判断下列函数是否具有奇偶性:(1)f(x)=x+x3+x5；(2)f(x)=x2+1;(3)f(x)=x+1;

(4)f(x)=x2，x∈[-1，3].解：(1)因为函数的定义域为R，所以x∈R时，-x∈R。又因为f(-x)=(-x)+(-x)3+(-x)5=-(x+x3+x5)=-f(x)，所以函数f(x)=x+x3+x5是_________函数。(2)因为函数的定义域为R，所以x∈R时，-x∈R.又因为f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x),所以函数f(x)=x2+1是_________函数。奇偶(3)因为函数的定义域为R，所以x∈R时，-x∈R.又因为f(-1)=0，f(1)=2，所以f(-1)≠-f(1)且f(-1)≠f(1)，因此函数f(x)=

x+1既不是奇函数也不是偶函数(也可说成f(x)是非奇非偶函数)。(4)因为函数的定义域为[-1，3]，而3∈[-1，3]，但-3∉[-1，3]，所以函数f(x)=x2，x∈[-1，3]是非奇非偶函数。上题(4)说明，设函数f(x)的定义域为D，如果存在x0∈D，但-x0∉D，即函数f(x)

的定义域不关于原点对称，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数。已知奇函数f(x)的定义域为D，且0∈D，求证：f(0)=0.证明：因为f(x)是奇函数，所以f(-0)=-f(0)，即f(0)=-f(0)，所以2f(0)=0，因此f(0)=0.基础自测D

2．对于定义域是R的任意奇函数f(x)，都有(

)A．f(x)－f(－x)>0

B．f(x)－f(－x)≤0C．f(x)·f(－x)≤0

D．f(x)·f(－x)>0解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)·f(－x)＝f(x)·[－f(x)]＝－[f(x)]2≤0.C

3．若函数f(x)＝x2－ax＋1为偶函数，则a＝____.解析：解法一：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，x2＋ax＋1＝x2－ax＋1，即2ax＝0(x∈R)恒成立，∴a＝0.解法二：∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)，即1＋a＋1＝1－a＋1，∴a＝0.0

4．下列图像表示的函数是奇函数的是_______，是偶函数的是_______(填序号)。解析：①③关于y轴对称是偶函数，②④关于原点对称是奇函数。②④

①③

5．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的解析式为_______________________.典例剖析判断函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性：思路探究：先求定义域，验证定义域是否关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系，进而做出判断。归纳提升：如何判断函数的奇偶性1．判断函数的奇偶性一般不用其定义，而是利用定义的等价形式，即考察f(－x)与f(x)的关系，具体步骤如下：(1)求f(x)的定义域。(2)若定义域不关于原点对称，则函数f(x)不具有奇偶性，若定义域关于原点对称，可再利用定义验证f(－x)与f(x)的关系。2．关于一些较复杂的函数，也可以用如下性质判断函数的奇偶性：(1)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数。(2)奇函数的和、差仍为奇函数。(3)奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数。(4)一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数。对点训练典例剖析奇偶函数图像的应用(1)如图1，给出了奇函数f(x)的局部图像，那么f(1)等于(

)A．－4

B．－2

C．2

D．4B

(2)设偶函数f(x)的定义域为[－5,5]，且f(3)＝0，当x∈[0,5]时，f(x)的图像如图2所示，则不等式xf(x)＜0的解集是________________________.思路探究：根据函数的奇偶性可作出函数在y轴另一侧的图像，再根据图像来解题。[－5，－3)∪(0，3)

图2

归纳提升：巧用奇偶性作函数图像的步骤(1)确定函数的奇偶性。(2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图像。(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0]或[0，＋∞)上对应的函数图像。对点训练已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x，现已画出函数f(x)在y轴左侧的图像，如图所示。(1)请补出完整函数y＝f(x)的图像；(2)根据图像写出函数y＝f(x)的增区间、值域．解析：(1)由题意作出函数图像如图：(2)据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)，值域为[－1，＋∞)。典例剖析分段函数奇偶性的判定思路探究：判断分段函数的奇偶性，要注意x与－x是在不同的“段”中，则f(－x)与f(x)是不同的关系式。归纳提升：1.判断分段函数的奇偶性，必须分段考虑。2．若分段函数是奇函数或偶函数，常用含绝对值符号的函数表达式来表示。对点训练解析：函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，当x>0时，－x<0，f(－x)＝－(－x)2－2＝－x2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)，当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2＋2＝x2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)。当x＝0时，f(0)＝0，即x＝0时，f(－x)＝－f(x)。综上所述，x∈R，有f(－x)＝－f(x)，故该函数为奇函数。典例剖析已知f(x)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x|x－2|，求当x＜0时，f(x)的表达式。思路探究：已知函数f(x)是奇函数，可利用对称性求对称区间上的解析式。由函数的奇偶性求函数的解析式解析：令x＜0，则－x＞0.∴f(－x)＝－x|－x－2|＝－x|x＋2|.∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝x|x＋2|.故当x＜0时，f(x)的表达式为f(x)＝x|x＋2|.归纳提升：由函数奇偶性求函数解析式的解题策略1．函数具有奇偶性，若只给出了部分区间上的解析式，则可以利用函数的奇偶性求出对称区间上的解析式，其解题理论为函数奇偶性的定义。正用定义可以判断函数的奇偶性，逆用可以求出函数在对称区间上的解析式。2．结论：(1)若f(x)是奇函数，且已知x＞0时的解析式，则x＜0时的解析式只需将原函数式y＝f(x)中的x，y分别替换为－x，－y，然后解出y即可。(2)若f(x)是偶函数，且已知x＞0时的解析式，则x＜0时的解析式只需将原函数式y＝f(x)中的x替换为－x，y不变，即得x＜0时的解析式。对点训练若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(1－x)，求：当x≥0时，函数f(x)的解析式。解析：当x>0时，－x<0，∵当x<0时，f(x)＝x(1－x)，∴f(－x)＝－x(1＋x)，又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x(1＋x)，∴f(x)＝x(1＋x)，又f(0)＝f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0，∴当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)．典例剖析抽象函数的奇偶性已知函数y＝f(x)(x∈R)，若对于任意实数a、b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证：f(x)为奇函数。思路探究：因为对于任意实数a、b都有