微积分(一)同步练习

PAGE1PAGE60苏州大学理工类高等数学(课次练习)班级学号姓名§1.1函数与映射一、指出下列函数是由那些简单初等函数复合而成：1.；2..、设的定义域为，求下列函数的定义域：1.；2.；3..三、设，，求及.四、用的图形作下列函数图形：1.；2.；3..五、已知，求.六、设定义在的函数严格递增，且有，求.七、证明：在内有界.§1.2数列与极限§1.3函数的极限一、根据数列极限的定义证明：1.；2..二、若，证明.反过来成立吗？成立给出证明，不成立举出反例.三、根据函数极限的定义证明：1.；2..四、设，试求：1.；2.；3..五、设函数，试求：1.；2.；3.；4.；5..§1.4无穷大与无穷小§1.5极限运算法则一、下列函数在指定的变化趋势下是无穷小量还是无穷大量：1.及；2..二、证明函数在内无界，但当时，这函数不是无穷大.三、计算下列极限：1.；2.；3.；4..四、计算下列极限：1.；23五、已知，求常数和.§1.6极限存在准则§1.7无穷小的比较一、计算下列极限：1.；2.；3.；4..二、利用夹逼准则证明：1.；2..三、设，，利用单调有界准则证明：数列收敛，并求其极限.四、确定的值，使（.§1.8函数的连续性与间断点§1.9连续函数的运算与初等函数的连续性§1.10闭区间上连续函数的性质判断下列函数在指定点处的间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使其连续.1.；2.,.讨论函数的连续性，若有间断点，判断其类型.求下列极限：1.；2..四、设函数，问为何值时，在内连续五、证明方程至少有一个根介于1和2之间.第一章习题课一、计算下列极限：1.；2.；3.；4.；5.；6.．二、已知，求常数和．三、设时，与是等价无穷小，求常数的值．四、设，证明：方程在与内各至少有一实根．五、设在上连续，，证明：存在使得．§2.1导数概念§2.2函数的求导法则（一）下列各题中均假定存在，按照导数的定义，分别表示什么？1.，则；2.，且存在，则；3.则．讨论下列函数在处的连续性与可导性：1.；2.．设函数，若函数在处可导，应取什么值？设,求.已知函数可导，且对任何实数满足：（1）；（2），证明：.求下列函数在给定点处的导数：1.，求；2.，求和§2.2函数的求导法则（二）§2.3高阶导数求下列函数的导数：1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.．设可导，求：1.；2..求下列函数的二阶导数：1.；2..设，求、及.五、求的阶导数.§2.4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数§2.5函数的微分求由下列方程所确定的隐函数的导数：1.；2..用对数求导法求下列函数的导数：1.；2..求下列参数方程所确定的函数的导数，：1.；2..求曲线在所给参数值相应的点处的切法线方程：1.，处；2.，处.求下列函数的微分：1.；2..六、求的微分.第二章习题课一、设，且在处可导，求的值．二、求下列函数的导数：1.；2.．三、设，求.四、设，其中由方程确定，且一阶可导，求.五、设在处有连续的一阶导数，且，求.六、已知，求.七、设，求.

§3.1中值定理一、验证函数在上满足罗尔定理的条件，并确定的值．二、设在内可导，且，证明：在内存在一点，使得．三、证明：时，有．四、设，证明：方程在内必有一个零点．五、设，证明：．六、若在内满足关系式且，则．七、设在上二阶可导，为上的三个点，，且，证明：存在一点，使得．§3.2罗必达法则§3.3泰勒公式一、求下列极限：1.；2.；3.；4.；5.；6.．二、若，求．三、求的3阶麦克劳林展开式．四、求在处的3阶泰勒公式．五、利用泰勒公式求下列极限：1.；2.．§3.4函数单调性和曲线的凹凸性§3.5函数的极值与最大值（1）一、求下列函数的单调区间：1.；2.．二、证明下列不等式：1.；2.时，．讨论方程的实根数目．求下列函数的凹凸区间及拐点：1.；2.．已知点为曲线的拐点，求．六、求下列函数的极值：1.；2.．§3.5函数的极值与最大值（2）§3.6函数图形的描绘一、求函数在区间上的最大值和最小值．已知船航行一昼夜的费用由两部分组成：一为固定部分元；另一为变动部分，它与速度的立方成正比.试问当船的航程为时，船应以怎样的速度行驶，费用最省？三、过平面上点作一直线，使得它在两坐标轴上的截距都是正的，且它们的和最小，求此直线的方程．四、求椭圆上纵坐标最大和最小的点．五、试作函数的图形．六、作函数的图形．第三章习题课求下列极限：1.；2.；3.；4.．证明下列不等式：1.设，证明：；2.时，．求椭圆上离原点O最远及最近的点.四、求数列中最大的一项.五、设在上连续，在内可导，且，则必有.六、设上有定义，存在且单调减少，，试用拉格朗日定理证明：对.

§4.1不定积分的概念和性质§4.2换元积分法下列不定积分：1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.．一曲线过点，且在任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，求此曲线的方程．设，求．§4.2换元积分法（续）求下列不定积分：；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10.；11.；12.．§4.3分部积分法§4.4有理函数的积分求下列不定积分：1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10.；11.．第四章习题课一、求下列不定积分：1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.．二、设，计算.三、设，时成立，且，求.§5.1定积分的概念与性质§5.2微积分基本公式（1）（2）用定积分定义，计算．利用定积分的几何意义，说明下列等式成立的理由．；；．三、设在上连续非负，且有，证明．四、不计算比较大小还是，并说明严格不等式成立的原因．五、计算下列函数的导数：；；．六、求下列极限：；．七、设在上连续，在上可导且，令，证明在内有．§5.2微积分基本公式（3）§5.3定积分的换元法和分部积分法（1）计算下列各定积分：；；；，其中．计算下列各定积分：；；；；；．三、设是连续函数，求证：，并求．§5.3定积分的换元法和分部积分法（2）§5.4反常积分一、计算下列各定积分：；，为非零常数；；．二、计算．三、求．四、判定下列反常积分的敛散性，若收敛，计算广义积分的值.；；；．五、证明：．第五章习题课设，求.设，当时，求.计算下列定积分：1.；2.；3.；4.，其中为不超过的最大整数．计算.五、证明：.六、已知，求.七、设为自然数，求.§6.1定积分的元素法§6.2定积分在几何学上的应用（1）（2）一、求由下列各曲线所围成的图形的面积：（两部分都要计算）；轴与直线．二、求由下列各曲线所围成的图形的面积：；．把抛物线所围成的图形绕轴旋转，计算所得旋转体的体积．四、求由曲线所围图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积．五、计算底面是半径为的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积．六、记为曲线所围图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积，求．§6.2定积分在几何学上的应用（3）第六章习题课求曲线的弧长．在摆线上求分摆线第一拱成的点的坐标．三、设曲线，求曲线之长.四、求与直线所围图形的面积．五、求双纽线所围图形的面积．六、求所围图形分别绕轴、轴旋转所得旋转体的体积．§7.1微分方程的基本概念§7.2可分离变量的微分方程判断下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：1.2.确定下列各题的函数关系式中的参数，使函数满足所给的初始条件：1.2.设曲线在点处切线的斜率等于该点纵坐标的立方，写出该曲线满足的微分方程。求下列微分方程的通解：1.；。2.

3.4.五、求下列微分方程满足初始条件的特解：1.2.六、一曲线过点，它在两坐标轴间的任一切线段均被切点平分，求此曲线的方程。

§7.3齐次方程(1)§7.4一阶线性微分方程(1)一、求下列齐次方程的通解：1.2.二、求下列齐次方程满足所给初始条件的特解：1．，2.三、设有连结点和的一段向上凸的曲线弧，对于弧上任一点，曲线弧与直线段所围图形的面积为，求曲线弧的方程。四、求下列微分方程的通解：1.2.3.4.五、求下列微分方程满足初始条件的特解：1．，2.，

§7.5可降阶的高阶微分方程一、求下列各微分方程的通解：1．2.3.4.二、求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：1．，，

2.，，三、设函数在内二阶连续可导，且，又，求。四、一物体质量为，以初速度从一斜面上滑下，若斜面的倾角为，摩擦系数为，试求物体在斜面上滑动的距离与时间的函数关系。

§7.6高阶线