浅析体系特征分子量的选择

浅析体系特征分子量的选择

通过等式分析（或序列分析），可以将参数多的系统转变为使用参数少的无因次数表示的系统，从而显著简化实验设计和数据处理。因此，色度分析是土木工程研究和应用的重要工具。虽然许多化工专业课对此有所介绍,但我们如何从体系的全部物理量中正确地选择几个特征量,以顺利地完成具体的量纲分析过程,还需要认真地思考。一、量纲矩阵近似算法量纲分析(dimensionalana1ysis,也称因次分析)是20世纪初物理领域中提出的建立数学模型的一种方法。它利用物理定律的量纲齐次原则,在经验和实验的基础上确定各物理量之间的关系。因次分析法的最基本的依据是:若物理量间的关系能用函数关系式定量地表示,则最基本的要求是等式两端必须在量纲、单位和数值上相等。由此发展出了著名的Buckinghamπ定理和相似原理。Buckinghamπ定理表明:n个物理量间的相互关系可以简化为m=n-r个相互独立的无因次数群之间的关系,其中r表示所讨论的n个物理量形成的量纲矩阵的秩,它一般等于这些物理量中所包含的基本量纲的数目。应用量纲分析建立经验模型有几种方法。其一是方程分析法,可以从有因次量的微分方程或代数方程得到所研究的体系的无因次数群。二、不同特征量的选择当已建立因变量的微分方程或代数方程机理模型时,可以用少许几个有因次量的体系特征量来将模型方程无因次化。具体做法大致是:将方程式内的有因次量用无因次的变量来表示,即用体系的特征量将有因次物理量转化为无因次量;然后想办法简化方程,使尽量多的项前面的系数为1或系数最简;这时得到的无因次方程式中就会出现一些无因次数,它们就是决定一个体系与别的体系是否相似的无因次准数。但怎样选择合适的特征物理量却是一个需要量纲分析者主观确定的问题。本文的目的是讨论可以选取多少个特征量、如何选择合适的特征量。【例1】管道流动轴向速度分量u的二维动量守恒微分方程为它涉及径向速度v、流体密度ρ、压强p、轴向和径向坐标x和y、流体黏度μ和时间t。要导出本体系的控制无因次数群,首先选择合适的特征物理量,将方程中的变量无因次化。例如,用特征速度u0将速度分量u和v无因次化:U=u/u0,V=v/u0;用特征长度L将坐标x、y无因次化:X=x/L,Y=y/L;时间t以特征时间珋t=L/u0来无因次化:θ=t/珋t。于是,微分方程的有因次变量转换为无因次量后成为要设法将尽量多的项的系数化到最简,故用ρu02/L通除等号两端,得到或其中,定义欧拉数P=p/ρu02(即无因次压力)和雷诺数Re=ρu0L/μ。因为欧拉数P是变量,而雷诺数Re是特征物理量组成的常量,故称Re是定义和控制此物理过程的唯一无因次准数。这里实际上只选用了2个特征量:L和u0,特征时间是由它们构造出来的。若另外随意地指定一个特征时间τ,则结果为要设法将尽量多的项的系数化到最简,故用ρu0/τ通除等号两端,得到只要我们重新定义欧拉数P=pτ/ρu0(即无因次压力)和雷诺数Re=ρL/τμ,则我们同样得到方程(2),也达到了方程无因次化的目的。有几个问题需要讨论。问题1:我们应该选定几个特征物理量?例1中,体系包括u、v、ρ、p、x、y、μ、t共8个参数,除去同类的物理量后为u、ρ、p、x、μ、t共6个参数,涉及的基本量纲为质量M、长度L、时间T共3个。要把所有的有因次量都无因次化,在定义无因次量时所用的无因次化参量就必须包含所有的基本量纲。因此,本例中应选择3个特征物理量。上述运算过程中只选用了u0和L两个,所以还不能将p无因次化;后来是利用了ρ才将p无因次化为欧拉数P=p/ρu02。问题2:相同因次的特征物理量,我们选择哪一个?如果我们用雷诺数来关联圆管、异形管的流体流动阻力,可能由于特征时间选择不当,即使能够很好地处理自己的几组数据,但很难将不同作者的实验数据统一关联起来。所以,首先需要确定最多能选择几个特征物理量。问题3:选择哪一个物理量为特征量?这不是量纲分析能确定的。本例中,特征长度可以选择管道长度或管径,都不妨碍得到雷诺数Re=ρu0L/μ或者Re=ρu0D/μ;但事后实验数据的整理、关联过程表明,管径对描述流动状态而言是更有意义的特征物理量。特征速度可以选择管内平均流速或管内轴线最大流速,它们都可用,但使用平均流速更为方便。【例2】管式反应器二级化学反应的动态闭式轴向扩散模型:体系涉及轴向扩散系数D,平均流速u,二级反应速率常数k,反应物浓度c,轴向坐标x和时间t共6个物理量,没有重复的物理量。涉及的基本量纲为长度L、时间T、摩尔量N共3个。可选用3个特征物理量:特征长度为反应器长L,特征速度为反应器内轴向平均流速u,特征浓度为反应器入口的反应物浓度c0。将方程无因次化时,利用C=c/c0,θ=t/(L/u),X=x/L,代入原方程,得上式通乘L/u,得到无法使更多项的系数为1了。于是定义2个无因次准数(常量):Peclet数Pe=uL/D表示对流传递和轴向扩散的相对强弱,无因次反应速率常数K=kc0L/u表示化学反应速率和对流传递的相对强弱。按π定理,可以定义6-3=3个无因次准数。第3个无因次准数在哪里?其实就是无因次时间θ=t/(L/u),是用特征量无因次化t的结果,只是它不完全由常量组成,是一变量,所以不称它为体系的控制性无因次准数。其他派生出来的变量很多,如ue014C/ue014θ、ue014C/ue014X、ue0142C/ue014X2等,都不叫无因次准数。【例3】球形催化剂颗粒内部进行一级反应时的能量控制方程为其中λe为多孔催化剂的有效热传导系数(量纲MLT-3Θ-1,单位kJ/(m·s·K)),(-ΔHr)为反应的热效应(量纲ML2T-2N-1,单位kJ/mol),k0为反应速率常数的指前因子(Θ-1,单位s-1),E为反应活化能(量纲ML2T-2N-1,单位kJ/mol,与RgT相同)。涉及的基本量纲4个,可选4个特征量:反应活化能E、颗粒半径R、颗粒外表面温度T0和外表面浓度c0。定义无因次变量:无因次径向坐标ξ=r/R,无因次浓度C=c/c0,无因次温度θ=T/T0后,方程(5)无因次化为或其中新得到的无因次准数有2个:无因次反应热,表示了反应发热相对于颗粒内传导散热的强度:无因次活化能,则反映了化学反应速度随温度增高的程度:还有一个隐藏的无因次准数(-ΔHr)/E,它与前2个无因次准数是相互独立的。因为量纲M和N有固定的组合关系,故量纲矩阵的秩比基本量纲数减少1,所以没有第4个无因次准数。三、体系的控制变量的选择总结3个例子的共同点,我们可以看出:1.体系有几个基本量纲,就可以选择几个特征参数来定义(或产生、构造)无因次准数。2.无因次准数由常量参数构成,表明体系在某个基准状态下个物理因素或过程之间的相对强弱,因此这些准数能界定体系的宏观性质。3.在过程变化的物理量也能构成无因次变量,但一般不认为它是体系的控制性无因次准数。4.选择的无因次化特征量,它们包含全部基本量纲,但它们之间是量纲互相独立的。5.