2025高考数学二轮复习-微培优7 数列中的情境创新与数学文化【课件】

微培优7数列中的情境创新与数学文化2025现在高考越来越重视情境命题,体现了数学应用的重要性,目前更是提出了数学要增加复杂情境的命题说法.数列与现实生活联系密切,也成为情境问题的常见命题背景,特别是数学文化问题是近年来高考命题的亮点,此类问题把数学史、数学之美、文字之美与数学思维及数学方法结合起来,可有效考查我们在新情境中对数学文化的鉴赏、对数学知识的理解和对数学方法的迁移,因此备受命题者青睐,世界数学历史上,尤其是我国浩瀚的传统文化中,有丰富的与数列有关的数学文化背景知识,这也成为命题的角度.角度一数列中的数学文化例1(1)(2024·广东深圳模拟)古印度数学家婆什伽罗提出如下问题:某人给一个人布施,初日施2子安贝(古印度货币单位),以后逐日倍增,问一月共施几何?在这个问题中,以一个月31天计算,记此人第n日布施了an子安贝(其中1≤n≤31,n∈N*),数列{an}的前n项和为Sn.若关于n的不等式Sn-254<恒成立,则实数t的取值范围为(

)A.(-∞,28) B.(-∞,30)C.(-∞,31) D.(-∞,32)C解析

由题意可知,数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,故an=2n(1≤n≤31,n∈N*),当且仅当2n+1=16,即n=3时,等号成立,所以t<31,即实数t的取值范围是(-∞,31),故选C.(2)(2024·上海浦东新区模拟)天干地支纪年法源于中国,中国自古便有十天干与十二地支,十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸;十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配,排列起来,天干在前,地支在后,天干由“甲”起,地支由“子”起,例如,第一年为“甲子”,第二年为“乙丑”,第三年为“丙寅”……以此类推,排列到“癸酉”后,天干回到“甲”重新开始,即“甲戌”“乙亥”,然后地支回到“子”重新开始,即“丙子”……以此类推.2024年是甲辰年,高斯出生于1777年,该年是(

)A.丁酉年 B.丁戌年C.戊酉年 D.戊戌年A解析

天干以十年为一个周期,地支以十二年为一个周期.1777年与2024年相隔2

024-1

777=247年,247=24×10+7,即天干有24个周期,余7年;247=12×20+7,即地支有20个周期,余7年.故甲往前数7年为丁,辰往前数7年为酉,故1777年为丁酉年.故选A.角度二数列中的新定义问题例2(2024·湖北荆州三模)“H数列”定义:数列{an}的前n项和为Sn,如果对于任意的正整数n,总存在正整数m使Sn=am,则称数列{an}是“H数列”.(1)数列{bn}的前n项和为Tn=2n,求证:数列{bn}是“H数列”;(2)已知数列{cn}是“H数列”,且数列{cn}是首项为1,公差小于0的等差数列,求数列{cn}的通项公式;(3)若数列{dn}满足:dn=bncn,求数列{dn}的前n项和Dn.(1)证明

当n=1时,b1=T1=2.当n≥2时,bn=Tn-Tn-1=2n-1,即Tn=bn+1.∴数列{bn}是“H数列”.∵d<0,∴m<2.又m∈N*,∴m=1,此时对于任意的正整数n,总存在正整数m使Sn=cm,故cn=2-n.当n≥2时,Dn=2×1+2×0+22×(-1)+23×(-2)+…+2n-1×(2-n),∴2Dn=4+22×0+23×(-1)+…+2n-1×(1-n)+2n×(2-n),∴-Dn=-2+(-1)×(22+23+…+2n-1)-2n×(2-n),当n=1时,D1=d1=2,满足上式.综上,Dn=(3-n)×2n-2.规律方法

数列中的新定义问题数列新定义问题,要针对等差、等比数列,通过给出一个新的数列的定义,或约定一种新的运算,或给出几个新模型来创设新问题的情景,要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的规律方法(1)若数列中涉及三角函数有关问题时,常利用三角函数的周期性等特征,寻找计算规律求解;(2)若数列与向量有关问题时,应根据条件将向量式转化为与数列有关的代数式进行求解;(3)若数列与不等式有关问题时,一般采用放缩法进行判定证明,有时也可通过构造函数进行证明;(4)若数列与二项式有关的问题时,可结合二项展开式的性质,进行变换求解针对训练1.(1)(2024·北京朝阳二模)北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”,提出长方台形垛积的一般求和公式.如图,由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有ab个小球,第二层有(a+1)(b+1)个小球,第三层有(a+2)(b+2)个小球,…,依此类推,最底层有cd个小球,共有n层,由“隙积术”可得这些小球的总个数为.若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层,小球总个数为240,则该垛积的第一层的小球个数为(

)A.1 B.2 C.3 D.4B

(2)(多选题)(2024·四川成都模拟)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,…,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”.已知数列{bn},b1=1,b2=2,bn+2=bn+1+bn(n∈N*),记Sn为数列{bn}的前n项和,则下列结论正确的是(

)A.b6=8B.S2025=b2027-1C.b1+b3+b5+…+b2023+b2025=b2026-1CD解析

由题意知1,2,3,5,8,13,故b6=13,故A选项错误;S2

025=b1+b2+…+b2

025=b3-b2+b4-b3+…+b2

027-b2

026=b2

027-b2=b2

027-2,故B选项错误;b1+b3+b5+…+b2

023+b2

025=b1+b2+b3+b5+…+b2

023+b2

025-b2=b1+b4+b5+…+b2

023+b2

025-b2=…=b1+b2

026-b2=b2

026-1,故C选项正确;∵bn=an+1,=a1a2+a2(a3-a1)+…+a2

024(a2

025-a2

023)=a2

024a2

025=b2

023b2

024,故D选项正确.故选CD.(ⅱ)证明

因为an+1=2an+1,所以当n≥2时有an-2an-1=1,所以an+1-2an=an-2an-1,即an+1-an=2(an-an-1),显然3(n-1)-1不含质因子3,所以n-1必为9的倍数.设n-1=9k(k∈N*),则n=9k+1,将n=9k+1代入①式,当k为奇数时,3(n-