2022年广西名校高考数学第一次联考试卷（理科）（附答案详解）

2022年广西名校高考数学第一次联考试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知集合4={%GZ\x2—x—6<0},B={x|x<1},则AnB=()

A.(-1,1)B.{-1,0}C.[-1,2]D.{-1,04,2}

2.若复数z满足（l—i）z=2（3+i）,则z的虚部等于（）

A.4iB.21C.2D.4

3.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过

程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲

面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个

扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.其直观图如图，图中四边

形是为体现其直观性所作的辅助线.当其主视图和侧视图完

全相同时，它的俯视图可能是（）

4.已知单位向量区b，b-（a+^b）=0,则为与B的夹角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

22

5.如图，Fl、/2分别为椭圆器+诲=1的左、右焦点，

点P在椭圆上，APOFz是面积为4逸的正三角形，则

/的值是（）

A.8V3

B.2V3

C.4V3

D.4+2V3

6.北京2022年冬奥会即将开幕，北京某大学5名同学报名到甲、乙、丙三个场馆做志

愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共

有（）

A.90种B.125种C.150种D.243种

7.已知｛a｝为等比数列，若。2・。3=。1，且。4与2。7的等差中项为£，则

no

的值为（）

A.5B.512C.1024D.64

8.已知双曲线《一，=1（（1>0/>0）的左、右焦点分别为&,尻，点4是双曲线渐

近线上一点，且_L40（其中。为坐标原点）,4a交双曲线于点B,且依8]=\BFr\,

则双曲线的离心率为（）

A叵B.且C.V2D.V3

44

9.瀑布是庐山的一大奇观，为了测量某个瀑布的实际高度，某同学设计了如下测量方

案：有一段水平山道，且山道与瀑布不在同一平面内，瀑布底端与山道在同一平面

内，可粗略认为瀑布与该水平山道所在平面垂直，在水平山道上4点位置测得瀑布

顶端仰角的正切值为|,沿山道继续走20m,抵达B点位置测得瀑布顶端的仰角为今

已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角为岸则该瀑

布的高度约为（）

A.60mB.90mC.108mD.120m

10.若a£（0,9，sina=tan^,则tana=（）

22-cosa2''

A.在B.V3C.-D.渔

342

11.已知函数/（x）满足/（x）=且当xe（-8,0]时,/'（%）+W'（x）<0成立,若

0606

a=(2-)-/(2-),b=(/n2)-/(/n2),c=(log?》,/。。92》，则a，b,c的大小

关系是（）

A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.c>a>b

12.如图，四棱柱4BCD-4BIGDI的底面是边长为2的正方

形，侧棱平面4BCC,且A4i=4,E、/分别是4B、

BC的中点,P是线段上的一个动点（不含端点），过P、

E、广的平面记为a,Q在CG上且CQ=1,则下列说法正

确的个数是（）

①三棱锥G-P4C的体积是定值；

②当直线BQ〃a时，DP=2；

③当OP=3时，平面a截棱柱所得多边形的周长为7或；

④存在平面a,使得点a到平面a距离是4到平面a距离的两倍.

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A.1B.2C.3D.4

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.若曲线/(x)=£—l(aKO)在点(一1,/(一1))处的切线斜率为2,则。=.

14.2020年春节期间，因新冠肺炎疫情防控工作需要，某高中学校需要安排男教师支名，

,2x-y>5,

女教师y名做义工，x和y需满足条件x-yW2,,则该校安排教师最多为

.X<6,

人.

15.将函数/(x)=2cosx的图象先向左平移2个单位长度，再把所得函数图象的横坐标

变为原来的高3>0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若g(x)在兀)上没

有零点，则3的取值范围是.

16.已知/Q)=1+ax-y/1+ax2,若对任意xG[0,V2]./(x)<0恒成立，则实数a的

取值范围为.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.已知在各项均为正数的等差数列｛6｝中，a2+a3+a4=21,且—a3+1,

a4+构成等比数列｛为｝的前三项.

(1)求数列｛。工，｛%｝的通项公式；

(2)设数列｛%｝=—，求数列｛4｝的前n项和Sn.

出

请在①a"n；②③(-1产即+点这三个条件中选择一个，补充在上

面的横线上，并完成解答.

18.某商品的包装纸如图1,其中菱形4BCD的边长为3,且乙4BC=60°,AE=AF=V3,

BE=DF=2百.将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点E,F,M,N汇聚

为一点P,恰好形成如图2的四棱锥形的包裹.

(I)证明：PAJ■底面ABC。；

(刈设点了为此上的点，且二面角8-P4-7的正弦值为鲁，试求PC与平面P4T所

成角的正弦值.

19.如图，P是抛物线E：y2=4x上的动点，尸是抛物线E的焦点.

(1)求|PF|的最小值;

(2)点B,C在y轴上,直线PB,PC与圆1产+y2=i相切.当仍用e[4,6]时,

求|BC|的最小值.

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20.已知函数/(x)=，nx+%g(x)=ex+sinx,其中aWR.

(1)试讨论函数/(x)的单调性；

(2)若a=l,试证明：/(%)＜早.

21.为2020年全国实现全面脱贫，湖南贫团县保靖加大了特色农业建设，其中茶叶产

业是重要组成部分，由于当地的地质环境非常适宜种植茶树，保靖的“黄金茶”享

有“一两黄金一两茶”的美誉.保靖县某茶场的黄金茶场市开发机构为了进一步开

拓市场，对黄金茶交易市场某个品种的黄金茶日销售情况进行调研，得到这种黄金

茶的定价M单位：百元/kg)和销售率y(销售率是销售量与供应量的比值)的统计数

(2)某茶场的黄金茶生产销售公司每天向茶叶交易市场提供该品种的黄金茶

1200kg,根据(1)中的回归方程，估计定价x(单位：百元/kg)为多少时，这家公司

该品种的黄金茶的日销售额W最大，并求W的最大值.

参考数据:y与x的相关系数万«一0.96,y与z的相关系数万«0.99,i=35,亍«0.45,

£乙0=9100,W=3.40,6/*69.32,胃=1为句*8.16,富=送心冬71.52,e3«

20.1,e3-4®30.0,e3-5«33.1,e4«54.6.

参考公式.h-'匕(%4)(%-力_工之速防一战5,--1r=『％=工("：一乃(”一-二

°—1的-卬—a'a=y-bx梁式%-次

22.在平面直角坐标系xOy中，由/+y2=1经过伸缩变换:笠得到曲线Q,以原

vy-y

点为极点,X轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为P=4COS。.

(1)求曲线G的极坐标方程以及曲线Q的直角坐标方程；

(2)若直线I的极坐标方程为。=a(p6R)〃与曲线G、曲线C2在第一象限交于P、Q,

且|0P|=|PQ|,点M的极坐标为(1弓)，求△PMQ的面积.

23.已知函数f(%)=|x+1|-|x-2|.

(1)求不等式/(x)+x＞。的解集；

(2)设函数/(%)的图象与直线y=fc(x+2)-4有3个交点，求k的取值范围.

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：因为4={xGZ\x2-x-6<0}={xGZ|-2<x<3}={-1,0,1,2},

B=（x\x<1},

所以4nB={-1,0}.

故选：B.

先求出集合4然后由交集的定义求解即可.

本题考查了集合的运算,解题的关键是掌握交集的定义,考查了运算能力，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：由题意，可知2=筌?=（3+i）（l+i）=2+4i,

所以复数z的虚部为4,

故选：D.

利用复数的运算性质，直接求解即可.

本题考查了复数的运算性质，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】

【解答】

解：・.・相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方

盖）.

二其正视图和侧视图是一个圆，

・•俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上

・・・俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，

故选：B.

【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞

（方盖）.根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案.

本题考查了几何体的三视图，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：单位向量式，石,b-（a+^b）=0,

可得五%=_%

所以cos〈乙3>=W=—/<a,b>e[0°,180°]，

所以胃与石的夹角为：120°.

故选：C.

利用向量的数量积，转化求解向量的夹角即可.

本题考查向量的数量积的求法与应用，向量的夹角的求法，是基础题.

5.【答案】A

【解析】解：由于APOF2是面积为4次的正三角形，

所以P（gc,苧C）且fXc2=4y/3,c=41

则「（2,2遍），代入椭圆方程得WW=L解得力2=8旧.

\/azb2炉+16b2

故选：A.

求得P点坐标并代入椭圆方程，化简求得按的值.

本题主要考查椭圆的几何性质，椭圆中三角形的相关计算等知识，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解：根据题意，分2步进行分析：

①将5人分为3组，有饕+*=25种分组方法，

A2

②将分好的三组安排到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，有朋=6种安排方法，

则有25X6=150种安排方法,

故选：C.

根据题意，分2步进行分析：①将5人分为3组，②将分好的三组安排到甲、乙、丙三个

场馆做志愿者，由分步计数原理计算可得答案.

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本题考查排列组合的计算，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.

7.【答案】D

【解析】解:设等比数列｛即｝的公比为q,

=a3

由&-«3i>Woi<?"a"=%,g|Ja4=-g=1,

又与2a7的等差中项为J，+2a7=2xI，BRl+2a7=p解得a7=；,

oo4o

所以a7=a4q3,g|]i-q3,解得q=则％=消=1=8,

22

所以a1•。2••。4=(%•a4)=(8xI)=64.

故选：D.

设等比数列包工的公比为q，由已知及等比数列的通项公式可得。4=1，由等差中项的

性质可求得a,，进一步利用a7=a4q3求出q值，再利用5=青求出的，最后利用等比数

列的性质进行求解即可.

本题主要考查等比数列与等差数列的综合，考查等比数列的通项公式与性质，等差中项

的性质，考查运算求解能力，属于中档题.

8.【答案】C

【解析】解：根据双曲线的对称性，不妨设点4在第二象限，

设Fi(-c,0),因为AFilAO,点Fi到直线bx+ay=0的距离d=宦篝=b,

所以|AFil=b,因为|00|=c,所以cos乙4三。=g,

因为=所以|BFi|=；|/居|=*

由双曲线的定义可知IBF2I=\BF1\+2a=2a+^,

在4尸2中，由余弦定理可得cos〃l&O=-=%二侬+今2,

C2X-X2C

整理得b=a,所以c=V^a,即离心率e=£=夜.

故选：C.

根据双曲线的对称性，不妨设点4在第二象限，设&(—c,0),因为A”1A0,求出点招到

直线bx+ay=0的距离，利用双曲线的定义，结合余弦定理转化求解离心率即可.

本题考查双曲线的简单性质的应用，余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力，是

中档题.

9【答案】A

【解析】解：根据题意作出如下示意图，其中t(ma=|,

6=。=；,AB—20m,

过点B作BCL04于C,

设。”=3x,贝ij04=7.x,OB=V3x，

在RtAABC中，•；4B=20,。=pAC=10,BC=10>/3.

・•・OC=OA-AC=2x-10,

在RtAOBC中，由勾股定理知，(2x-10)2+(10V3)2=(V3x)2，

化简得--40x+400=0,解得x=20,

二瀑布的高度OH=3x=60m.

故选:A.

由题意画出图形，过点B作BC_L。4于C,结合三角函数和勾股定理，转化为平面几何中

的简单计算，即可得解.

本题考查解三角形的应用，根据题意作出示意图是解题的关键，考查空间想象能力和运

算能力，属于中档题.

10.【答案】B

【解析】解：因为⑥=ta吟

2csi•na-cosa-

所以益=22

COS-2-cosa

又因为a€(0《)，s呜WO,

所以2-cosa=2cos2即2-cosa=1+cosa,

所以cosa=I，

又因为ae(0,3

所以a=],tana=V3.

故选：B.

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_3

首先根据切化弦进行化简可得出1<=2；c~os-j从而可求出cosa=1g即可求出角a,从

cos-2-cosa2

而可求出tcma的值.

本题主要考查了三角函数恒等变换在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属

于基础题.

II.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性，对数函数及其性质和比较大小,

属于较难题.

构建函数M>)=xf(x),利用奇函数的定义得函数h(x)为R上奇函数，再利用导数研究

函数的单调性得函数h(x)在R上为减函数，结合对数函数的性质知log2；<0<ln2<

1<2。巴再利用单调性比较大小得结论.

【解答】

解：根据题意，令/i(x)=x/(x),

因为/'(X)=/(-X)对XGR成立，

所以h(-x)--%/(-%)--x/(x)——/i(x),

因此函数九(x)为R上奇函数.

又因为当XG(-8,0］时，

/iz(x)=/(x)+xf'(x)<0,

所以函数h(%)在(-8,0］上为减函数，

又因为函数/i(x)为奇函数，

所以函数/i(x)在R上为减函数，

因为logj<()<he<1<,

8

所以八3g2J>Mln2)>M20*,

即c>b>a.

故选8.

12.【答案】B

【解析】解：对于①：因为DDJ/CCi，。么仁平面C4G，

CCiU平面CACi，所以DA〃平面CACi，

因为PWDCi，所以点P到平面。IC】的距离为定值，

而4C4G的面积为定值，所以三棱锥P-C/C的体积是定值,

即三棱锥q-P4C的体积是定值，故①正确；

对于②：如图，延长E尸交QC的延长线于点M,

AER

设平面a交棱CG于点W,连接M〃，并延长MW交。5于点P,

因为BQ〃a,BQu平面BBiQC,平面an平面B&GC=FW,

所以FW〃BQ,

因为尸为BC的中点，则卬为CQ的中点，

因为BE//CM,贝IJ/E8F=4MCF,乙EFB=^MFC,BF=CF,

所以ABEF三ACMF,则MC=BE=1,

因为CW〃OP,则岩=翳=3,

则CP=3CW=|,即②错误：

对于③：如图，设直线EF分别交直线D4、DC于点N、M,

连接PN、PM,分别交44八CG于点R、S,连接RE、SF,

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由②可知，CM=1,同理可知力N=l,

因为PD=DM=3,Z.PDM=90°,则△PDM为等腰直角三角形,

则2”=企尸。=3近，同理可知，APON也为等腰直角三角形，

同理可知，SM=V2CM=V2,1•.PS=PM-SM=2^2,

同理PR=2V2.由勾股定理可得FS=RE=EF=yjBE2+BF2=V2,

则截面的周长为2x275+3&=7&,即③正确；

对于④：设截面a交棱441于点R,

假设存在平面a,使得点占到平面a距离是4到平面a距维的两倍，

(A'R-74

则4R一,可得4R=

3

{AR+A1R=4

因为AR〃DP,则装=券=5，则DP=3AR=4,不符合题意；

即不存在平面a,使得点4到平面a距离是4到平面a距离的两倍，

故④错误.

综上所述，①③正确.

故选：B.

对于①：先利用线面平行的判定定理得到线面平行，即点到平面的距离为定值，再利

用三角形面积是定值和棱雉的体积公式进行判定；对于②：先作出两平面的交线，利

用线面平行得到面面平行，再利用全等三角形进行求解；对于③：利用②结论判定截

面的形状，进而求其周长；对于④：利用相似比得到DP=34R=4推出矛盾，判定④

错误.

本题考查空间几何体的体积及线面的位置关系，考查学生的综合能力，属于难题.

13.【答案】-2

【解析】解:曲线/(%)='_Ma00)，可得/'(%)=-,，

曲线/。)=：-l(aH0)在点(一1,/(一1))处的切线斜率为2,

所以一37=2,可得a=-2,

故答案为：一2.

求出函数的导数，利用切线的斜率，列出方程求解即可.

本题考查函数导数的应用，切线的斜率的求法，是基础题.

14.【答案】13

2%—y>5

【解析】解：由约束条件％-yW2作出可行域如图,

X<6

4-z=x+y,化为y=-x+z,由图可知，当直线y=-x+z过点4时，

直线在y轴上的截距最大，z有最大值为13.

该校安排教师最多为13人.

故答案为：13.

由约束条件作出可行域，令2=刀+丫，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解,

把最优解的坐标代入目标函数得答案.

本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.

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15.【答案】（0,勺

【解析】解：将函数/（x）=2cos%的图象先向左平移巳个单位长度，可得y=2cos（x+》

的图象；

再把所得函数图象的横坐标变为原来的;⑷>0）倍，纵坐标不变，

得到函数g。）=2cos（23X+?）的图象，

O

若g（x）在《兀）上没有零点，2（0%+e（兀3+?2兀3+弓），

71TtoTC5

**«TTCL）H—>—,27r34—W：7i,•■•0<coW—,

666-12

故答案为：（0噌］.

由题意，利用函数y=4sin（3尤+0）的图象变换规律，余弦函数的零点，求得3的取值

范围.

本题主要考查函数y=Zsin（3%+@）的图象变换规律，余弦函数的零点，属于中档题.

16.【答案】[1-a,0]

【解析】解：••・对于任意的［0,夜］,/（乃〈0恒成立,

"｛悠解得1-&waW0.

又当1一迎SaW0时，1+ax?>o,

・•.对于任意的xe［0,V2］,/（x）<0恒成立，等价于宗言<1在XG［0,&］上恒成立,

令。屏）=去言，》e［0,迎］，

则只需g（x）max-1即可.

。（1一%）日一八

•••g'(x)（i+a*）VT且。£U,

•••g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,a)上单调递增,

•••max=max{g(O),g(&)},

由g(O)Sl,5(V2)<1,解得ae[l—a,0].

依题意,vo,解得1—夜Wa40=l+ax>0,对于任意的x6[0,V2]>f(x)<

0恒成立=^=|5<1<1在xe[0,迎]上恒成立，令g(%)=xe[0,V2].求导,

分析可得g(%)max=巾。》｛。(0),。(&)｝，由g(0)41，g(鱼)工L可求得实数a的取值

范围.

本题考查利用导数研究函数的最值，考查构造法与函数恒成立问题的求解，突出考查转

化与化归思想、函数与方程思想的综合运用，考查逻辑推理能力与运算能力，属于难题.

17.【答案】解：(1)根据题意，因为数列｛an｝为各项均为正数的等差数列，

所以^2+。3+。4=3a3=21,即得=7,

设公差为d,则有。2—1=。3-d—1=6-d,03+1=8,a4-Va3=a3+d+a3=

14+d,

又因为02-1，a34-1,@4+。3构成等比数列｛bn｝的前三项，

所以(%+I)?=(a2—1)•(a4+。3)，即64=(6—d)(14+d),

解之可得d=2,或d=—10(舍去)，

所以的=%-2&=7-4=3,即得数列｛an｝是以3为首项，2为公差的等差数列，

故可得an=2n4-1,

由题可得，瓦=g-1=4,尻=。3+1=8,

所以数列｛4｝是以4为首项，2为公比的等比数列，故可得匕=4・2九一1=2九+1,

n+1

(2)选①，设％=anbn=(2n4-1)-2,

则%=3•22+5•23+7•24+•••+(2n-1)-2n+(2n4-1)-2n+L①，

在上式两边同时乘以2可得，

n+1n+2

2sH=3•23+5•24+…+(2n-1)-2+(2n+1)•2,②,

①一②可得，

23nn+2n+2

-Sn=3-24-2(2+24+…+2+i)-(2n+1)-2=-4+(1-2n)-2,

n

即得Sn=(2zi-l)-2+2+4；

、先的铅_bn_2_1__1_________」

n+1n+2n+1n+2f

L。，块％一(bn-l)(bn+1-l)-(2-l)(2-l)-2-l-2-l

则Sx=工-工+工―工+~+——-----------=--------

n377314-2n-1-l4-2n-l32n+2-l

nn

选③，设％=(-l)-an4-n=(-l)(2n+1)+九，

n

^JSn=-3+1+5+2—7+3+9+4+…l)(2?i+1)+九

所以当九为偶数时，S”=(-3+5)+(-7+9)+…+[(-l)n-1(2n-1)+(-l)n(2n+

1)]+(1+2+3+…+n)=；x2+=专N

当n为奇数时，Sn=x2+(1+2+3+-+n)-(2n+1)=

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‘安，。为偶数

综上可得，s=<

n尤尹,n为奇教.

L

【解析1本题主要考查等差等比中项的性质，同时考查错位相减法、裂项相消法、分组

求和法与分类讨论在求解数列求和中的使用，属于综合题，属于中档题.

(1)根据等差中项的定义，结合条件=21,可求解得到=7,设出公差为

d,则根据条件。2—1，a3+l,。4+。3构成等比数列｛%｝的前三项，利用等比中项的定

义即可得到关于d的方程从而求解得出结果；

(2)若选择①，利用错位相减，求解前n项和，选择②，利用列项相消，求解前n项和；

选择③，利用分组求和与分类讨论，求解前n项和.

18.【答案】解：(/)由菱形ABCD的边长为3,AE=AF=痘,BE=DF=2®

WBE2=AB2+AE2,即有4B1AE,同理。F2=+人尸2,即有AD_L4F,

在翻折的过程中，垂直关系保持不变可得2414B,PA1AD,ABnAD=A,

AB,4。u底面ABC。，

所以PA_1_底面力BCD；

(〃)如图，以点4为原点，28为x轴，过点4作4B的垂线为y轴，AP为z轴建立空间直角

由第(1)问可得PA，底面4BCD,则P4LAB,PAVAT,

则NB”为二面角B-PA-T的平面角，由题意可得siMBAT=-.

14

由图得二面角B-PA-T的平面角为锐角，所以COSNBAT=—.

14

考虑△B4T,Z.ABT=60°,

可得sin乙4rB=sin(zB”+60°)=

ABBT

利用正弦定理,可得BT=1,

sinZ.ATBsinZ.BAT

所以点r的坐标为(|,日⑼，点p(o,o,e)，go,。)，c(|,苧,o).

设面par的一个法向为量沆=(x,y,z),

则有"亚=o,即庶就

令x=3,则有沆=(3,-5遍,0)，正=(|,等，一圾,

所以cos<访，PC>=2.|~|=

\m\\pc\14

所以PC与面par所成角的正弦值为纪.

14

【解析】本题考查线面垂直的证明，以及利用向量法求线面的正弦值，属中档题.

(/)由边长可得BE2=4^2+452,即有J.4E,同理。尸2=AD2+AF2,^AD1AF,

进一步证明结论成立；

(〃)以点4为原点，为x轴，过点4作4B的垂线为y轴，4P为z轴建立空间直角坐标系,

加「为二面角的平面角,利用正弦定理嬴』BT

可求得

sinABAT

BT=1,再求出面P47的一个法向为量记和PC的方向向量，利用向量法可得线面角的正

弦值.

19.【答案】解：(1)P是抛物线E：y2=钗上的动点，尸是抛物线E的焦点(1,0),准线方

程为x=-1,

由抛物线的定义可得|PF|=xP+l,

由孙>0,可得|PF|的最小值为1；

(2)设B(0,m),C(0,n),P(,x0,y0),=4x0,

则PB的方程为y=^^+巾，PC的方程为y=空工+小

XQXQ

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由直线P4与圆。-l)2+y2=i相切，

|yo-m+mxo|_1

可得收化为(&-2

+(yo-m)2~'2)m+2yom-x0=0，

同理可得(久2

o—2)n+2yon-xo=O,

即有为方程2一沏=的两根，

zn,n(Xo-2)x+2yox0

可得m+n=悬，血几二急，

则—n|=y/(m4-n)2—4mn=/尸咚±0°>

IIV、>q(2-Xo)22-x0|2-X0|

|±]|PF|G[4,6],可得久o+le[4,6],即&C[3,5],

令t=|2-%o|=&-2,tG[1,3],

即有-n|=、/4(2+t)；+8(2+t)=2,+.+1在[1,3]递减,

可得t=3即%o=5时，|BC|=|m-n|取得最小值^

【解析】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意运

用韦达定理和二次函数的单调性，考查化简运算能力，属于较难题.

(1)求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义和性质，可得所求最小值；

设辞与，分别求得的方程，运用直线和圆

(2)B(O,zn),C(0,n),P{xo,yo),=4PB,PC

相切的条件：以及方程思想可得为方程(沏-一出=。的两根，

d=r,zn,n2)/+2y0%

再由韦达定理可得演-小，化简配方可得所求最小值.

20.【答案】解：(1)函数/(x)=)x+：的定义域是(0,+8),

c/、1Qx-a

•・"''(％)'=-X----X-27=XF2，

当a40时,/(%)>0,f(%)在(0,+8)上单调递增,

当Q>0时，令/''(%)>0,解得：x>a,令/'(x)<0,解得:0V%Va,

综上，当QW0时，/(%)在(0,+8)单调递增，无递减区间，

当Q>o时，f(x)在(0,a)递减，在(a,+8)递增；

(2)证明：•；a=l,.••/(x)=1nx+%即证："》+1<史智竺，

%>0,即证：e"+sinx-xlnx—1>0,

当(0,1)时，ex>1,sinx>0,xlnx<0,

・•・ex+sinx—xlnx—1>1-1=0,

当x6[1,+8)时，令g(%)=ex+sinx—xlnx—1,

则g'(%)=靖+cosx-Inx—1,g"(x)=ex-sinx-^>e—1-l>0,

•••g'(x)=e*+cosx-Inx-1在［L+8)上单调递增，

:.g'(x)>g'(l)=e+cost-0-1>0,

・•・g(x)在［l,+8)上单调递增，

・•・g(%)>g(l)=e+sinl—0—1>0,

综上，/(%)〈可匕即/(x)〈华.

【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；

(2)代入a的值，问题转化为证明e*+s讥x-x)x-1>0,当x6(0,1)时，成立，当x€

［1,+8)时，令g(x)=e*+sinx--1,根据函数的单调性证明即可.

本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是

中档题.

21.【答案】解：(1)因为回归模型;=bx+0的相关系数匕|x0.96,回归模型；=bz+a

的相关系数匕|«0.99,

因为0.96<0.99<1,

由线性相关系数的意义可知，回归模型;=bz+；更合适，

〉」)匕

._EZLZ(yLy)_EZM-nzy_8.16-6X3.40X0.45a—0.46h—0.5,

——Zi-不一优宙一"，-71.52-69.32

a=y—bx—0.45-(—0.45)x3.40®2.0,

所以回归方程为y=-o.5/nx+2.O;

(2)由题意可知，W