平面向量训练题 高三数学一轮复习

第第页平面向量【基础知识分析】一、向量有关概念：例1、下列命题正确的是_______（1）若，则。两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。若，则是平行四边形。若是平行四边形，则。（5）若，则。（6）若，则。【变式训练】1、下列命题正确的有______________（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。（4）若，则A、B、C、D四点构成平行四边形。（5）直角坐标平面上的轴、轴都是向量。（6）相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；（7）若与共线，与共线，则与共线。（8）若，则。（9）若，则。（10）若与不共线，则与都不是零向量。（11）若，则。（12）若与均为非零向量，，则。2.给出命题（1）零向量的长度为零，方向是任意的.（2）若，都是单位向量，则＝.（3）向量与向量相等.（4）若非零向量与是共线向量，则，，，四点共线.以上命题中，正确命题序号是A.（1）B.（2）C.（1）和（3）D.（1）和（4）3、对于向量，a、b、c和实数QUOTE，下列命题中真命题是A若QUOTE，则a＝0或b＝0B若QUOTE，则λ＝0或a＝0C若QUOTE＝QUOTE，则a＝b或a＝－bD若QUOTE，则b＝c4、若非零向量满足，则（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．5.关于平面向量．有下列三个命题：①若，则．②若，，则．③非零向量和满足，则与的夹角为．其中真命题的序号为．（写出所有真命题的序号）二、向量的线性运算例2、（1）若正方形的边长为1，，则＝_____（2）若O是所在平面内一点，且满足，则的形状为_（3）若为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设，则的值为___（4）若点是的外心，且，则的内角为____【变式训练】1．已知,,则的最大值和最小值分别为、。2．已知向量反向，下列等式中成立的是 （） A． B．C． D．3．计算：（1）（2）4．已知求与垂直的单位向量的坐标。5．设P是△ABC所在平面内的一点，，则（）A.B.C.D.6．已知点，，．设的平分线与相交于，那么有，其中等于（）A.2B.C.-3D.－三、平面向量基本定理例31．（1）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是B.C.D.（2）已知中，点在边上，且，，则的值是______（3）平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点,,若点满足,其中且,则点的轨迹是_______2．如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量（）.A． B． C． D．3．在中已知是边上一点若则_________。4．在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足则点集所表示的区域的面积是（A）（B）（C）（D）四、向量的坐标运算例4、1（1）已知点，，若，则当＝____时，点P在第一、三象限的角平分线上（2）已知，，则（3）已知作用在点的三个力，则合力的终点坐标是（4）设，且，，则C、D的坐标分别是__________2.已知,向量与相等，求的值。已知梯形的顶点坐标分别为，，，且，，求点的坐标。五、求数量积例5已知，与的夹角为，则等于____已知，则等于____；（4）已知是两个非零向量，且，则的夹角为____（5）已知向量＝（sinx，cosx）,＝（sinx，sinx）,＝（－1，0）。（1）若x＝，求向量、的夹角；（2）若x∈，函数的最大值为，求的值练习1.已知，且与的夹角为，求（1），（2），（3），（4）。2.设、、是单位向量且·＝0则的最小值为()（A）（B）（C）(D)3.设的三个内角向量若则=（）A． B． C． D．

【典型例题分析】题型一、求向量的夹角非零向量，夹角的计算公式：；例6、已知，，若与的夹角为钝角，求的范围____________；如果与的夹角为锐角，则的取值范围是____________。已知的面积为，且，若，则夹角的取值范围是_________（3）若向量与不共线且则向量与的夹角为（）A．0 B． C． D．（4）已知与之间有关系式，①用表示；②求的最小值，并求此时与的夹角的大小题型二、求向量的模向量的模：。两点间的距离：若，则。例7、1.设，向量且，则___________。2.已知,点在线段的延长线上,且,求点的坐标___________。3．已知与，要使最小，则实数的值为___________。4.已知向量，,,则___________。7．已知向量，向量，则的最大值是___________。9.设、、是单位向量，且·＝0，则的最小值为___________。10、设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于____。11、已知是单位向量，.若向量满足A．B．C．D．12.已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，－EQ\f(π,2)＜θ＜EQ\f(π,2)．（Ⅰ）若a⊥b，求θ；（Ⅱ）求｜a＋b｜的最大值．题型三、投影问题在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。例：1．已知，，且，则向量在向量上的投影为____________。2．关于且，有下列几种说法其中正确的是____________。①；②；③④在方向上的投影等于在方向上的投影；⑤；⑥3．若=，=，则在上的投影为________________。4．已知点A（－1，1）、B（1,2）、C（－2,1）、D（3,4），则向量在方向上的投影为题型四、向量的平行与垂直向量平行(共线)的充要条件：＝0。向量垂直的充要条件：例91.已知，，，且，则x＝______2.以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，，则点B的坐标是________3.设向量=（1.）与=（-1，2）垂直，则等于________4.平面向量，共线的充要条件是（）A.，方向相同 B.，两向量中至少有一个为零向量 C.， D.存在不全为零的实数，，5.对于非零向量“”是“”的【A】A．充分不必要条件B.必要不充分条件C．充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.在四边形中，，,则该四边形的面积为（）A.B.C.5D.107.已知点A．B．C．D．82.已知向量与互相垂直，其中．（1）求和的值；（2）若，求的值．9.设是两个不共线的向量，，若A、B、D三点共线，求k的值.2）是否存在不为0的实数和，使，且？如果存在，试确定与的关系；如果不存在，请说明理由

题型五、平面向量与三角形四心四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。结论1为的重心；若，则其重心的坐标为结论2为的垂心；结论3设,,是三角形的三条边长，O是ABC的内心为的内心.向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；结论4为的外心。例101.是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心2.是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（B）A．外心B．内心C．重心D．垂心3.是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心4.已知三个顶点及平面内一点，满足，若实数满足：，则的值为（）A．2B．C．3D．65．若的外接圆的圆心为O，半径为1，，则()A．B．0C．1D．6．点在内部且满足，则面积与凹四边形面积之比是（）A．0B．C．D．7．的外接圆的圆心为O，若，则是的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心8．是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，若，则是的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心9．的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m=10．已知非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))满足(eq\f(\o(AB,\s\up5(→)),|\o(AB,\s\up5(→))|)+eq\f(\o(AC,\s\up5(→)),|\o(AC,\s\up5(→))|))·eq\o(BC,\s\up6(→))=0且eq\f(\o(AB,\s\up5(→)),|\o(AB,\s\up5(→))|)·eq\f(\o(AC,\s\up5(→)),|\o(AC,\s\up5(→))|)=eq\f(1,2),则△ABC为()A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形11．已知三个顶点，若，则为（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形AGAGEFCBD9如图，中，分别是的中点，为交点，若=，=，试以，为基底表示=。10.已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的（）A．重心外心垂心B．重心外心内心C．外心重心垂心D．外心重心内心11.已知非零向量则△ABC为（） A．等边三角形 B．等腰非直角三角形 C．非等腰三角形 D．等腰直角三角形12.点P满足,当在(0,+)变化时,动点P的轨迹一定过ABC的_____心13.在中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足学则科等于A．B．C．D．14.）设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若=0，则|FA|+|FB|+|FC|=A．9 B．6 C．4 D．3题型六、建系法2.在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则（）A． B． C． D．2.若等边的边长为平面内一点满足则______3.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=_____.4.已知向量与的夹角为，且若且,则实数的值为______5.设分别是的边上的点，，，若（为实数），则的值为6.设是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有。则A.B.C.D.7.向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则_____。8.在平行四边形ABCD中,AD=1,,E为CD的中点.若,则AB的长为.

【课后习题】1．设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0，命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是()A．p∨qB．p∧qC．(p)∧(q)D．p∨(q)3．平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝()A．－2B．－1C．1D．23．在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是()A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)4．设向量a，b满足|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，则＝()A．1B．2C．3D．55．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝1，eq\o(CE,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)，则λ＋μ＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(5,6)D.eq\f(7,12)6．已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是()A．2B．3C.eq\f(17\r(2),8)D.eq\r(10)7．已知两个不相等的非零向量a，b，两组向量，，，，和，，，，均由2个a和3个b排列而成．记S＝x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4＋x5·y5，Smin表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①S有5个不同的值②若a⊥b，则Smin与|a|无关③若a∥b，则Smin与|b|无关④若|b|＞4|a|，则Smin＞0⑤若|b|＝2|a|，Smin＝8|a|2，则a与b的夹角为eq\f(π,4)8．设0<θ<eq\f(π,2)，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，则tanθ＝________．9．已知A，B，C为圆O上的三点，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，则eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为。10．设向量a＝(3，3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________．11．已知单位向