2023年天津高考模拟考试数学试卷及答案

2023年天津高考模拟考试数学试卷及答案

第I卷

注意事项：

1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号，

2,本卷共9小题，每小题5分，共45分

参考公式：

•如果事件4、B互斥,那么P(ADB)=P(A)+P(B).

•如果事件4、夕相互独立，那么尸(AB)=P(A)P(B).

•球的体积公式万其中月表示球的半径.

•圆锥的体积公式其中S表示圆锥的底面面积，力表示圆锥的高.

一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合A={-1,O,1},8={l,3,5},C={0,2,4},则(AcB)uC=()

A.{0}B.{0,1,3,5}C.{0,1,2,4}D.

(0,2,3,4)

【参考答案】C

2.己知aeR,则“a>6"是"">36”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不允分也不必要条件

【参考答案】A

3.函数y=§空的图像大致为()

x+2

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4.从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分分数据，将所得400个评

分数据分为8组：［66,70）、［70,74）、、［94,98］,并整理得到如下的费率分布直

方图，则评分在区间［82,86）内的影视作品数量是（）

A.20B.40C.64D.80

【参考答案】D

5.设叱现我二人小！。.％；。.4、则从

c的大小关系为（)

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A.a<b<cB.c<a<bC.h<c<aD.

a<c<b

【参考答案】D

6.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为一「，两个

3

圆锥的高之比为1:3,则这两个圆锥的体积之和为（）

A.37B.47rC.9乃D.12兀

【参考答案】B

7.若2"=5"=10，则工+?=（）

ab

A.-1B.Ig7C.1D.log710

【参考答案】C

22

8.己知双曲线之一［=1（4>0/>0）的右焦点与抛物线丁=2力5>0）的焦点重

ab

合，抛物线的准线交双曲线于4B两点，交双曲线的渐近线于G〃两点，若

\CD\=^2\AB\.则双曲线的离心率为（）

A.72B.6C.2D.3

cos(2乃％—2万。).x<a

9.设awR,函数/(%)=<，若/（X）在区间（。,+8）内

X2—2(。+l)x+a~+5,x>a

恰有6个零点，则a的取值范围是（）

<9一,511

A.2,—

<4J(24J

(9"「11八

c2-—,3

<4.[4J

【参考答案】A

第II卷

注意事项

1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.

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2.本卷共11小题，共105分.

二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1

个的给3分，全部答对的给5分.

9+2i

10.i是虚数单位，复数-----=

2+1

【参考答案】4-i

9+2i(9+2i)(2-i)20-5i

【解】=4—i.

2+i-(2+i)(2-i)-5

11.在2丁+上的展开式中，f的系数是

【参考答案】160

【解】。/+口的展开式的通项为&=26-，C；*i，

令18—4r=6,解得r=3,

所以f的系数是2,域=160.

12.若斜率为由的直线与y轴交于点A,与圆月+(»-1)2=1相切于点3,则

【参考答案】73

【解】设直线A3的方程为y=+则点4(0,0),

由于直线A8与圆/+(y-l『=l相切，且圆心为。(0,1),半径为1，

则也”=1,解得力=—1或b=3,所以|AC|=2,

因为忸。=1,故|A[=、[./一忸。'=6.

13.若则:+Q。的最小值为

【参考答案】2夜

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【解】a>0,/?>(),

:.~+-^+b>2^^+b=^+b>2^b=242,

当且仅当一=二且丁=8，即a=。=行时等号成立，

abb

所以:+春+人的最小值为2夜.

14.甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的

一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为?和工，且每

次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概

率为—，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为—

220

【参考答案】①.一②.—

327

542

【解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为一x-=—；

653

则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为xl+f->l=”.

3⑴3卬27

15.在边长为1的等边三角形46。中，〃为线段比1上的动点，且交16于点

E.Of7/AB且交/C于点F,则12BE+DF\的值为;(DE+OF)•D4的最

小值为•

【参考答案】①.1②.口

20

【解】设=_ABC为边长为1的等边三角形，DEVAB,

:.^BDE=3Q,BD=2x,DE=y/3x,DC=l-2x,

OE//AB,为边长为l—2x的等边三角形，DE1DF，

22

(2BE+DF)2=4BE~+ABEDF+DF=4x2+4x(1-2x)xcos0+(1—2x>=1，

:.\2BE+DF|=1,

.2

(DE+DF)-DA=(DE+DF)-(DE+EA)=DE+DFEA

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=(>/3x)2+(l-2x)x(l-x)=5x2-3x+l=5|x-—|+—.

<10J20

311

所以当x=一时，(。£+£>尸)。4的最小值为一.

1020

三、解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤.

16.在4ABC,角A氏C所对的边分别为。，仇c,已知

sinA:sinB:sinC=2:1:\/2>b=\/2■

(I)求a的值；

(II)求cosC的值;

71)

(III)求sin(2C-wJ的值.

【参考答案】(I)2及；(II)(III).⑸-1

16

【解】(I)因为sinA:sinB:sinC=2:1:血，由正弦定理可得。：〃：c=2:1:、旧，

b=五,a——2；

.cT+Z?2—c28+2—43

(ID由余弦定理可得cosC=----------=-------7=-7==7；

2ab2x272xV24

3_______万

(III)cosC=—,/.sinC=Vl-cos2C--，

44

sin2C=2sinCeosC=2x^-x—=,cos2C=2cos2C-l=2x-^--l=^-,

448168

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所以sin（2C-工］=sin2Ccos--cos2Csin—=3币x2^.——x—=_1.

I6；66828216

17.如图，在棱长为2的正方体46CD—A4GA中，6为棱比■的中点，F为棱CD

的中点.

（I）求证：。///平面AEG；

（II）求直线AG与平面4EC1所成角正弦值.

（III）求二面角A-AC-E的正弦值.

【参考答案】（I）证明见解析；（II）—；（III）-

93

【解】（I）以A为原点，AB,AZ），M分别为x,y,z轴，建立如图空间直角坐标系,

则A（0,0,0）,4（0,0,2）,3（2,0,0）,C（2,2,0）,D（0,2,0）,C1（2,2,2）,D,（0,2,2）,

因为K为棱比■的中点，尸为棱切的中点，所以石（2,1,0）,F（l,2,0）,

所以A尸=（1,0,—2）,=（2,2,0）,^£=（2,1-2）,

设平面\ECX的一个法向量为加=（%，y,zj,

m.4G=2玉+2y=0

则＜，令占=2,则m=（2,-2,l）,

m-\E=2xx+yx-2z10

因为。/一九二？一2=0,所以。尸_L加,

因为，平面4EG，所以。///平面4EG；

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(II)由(1)得，AC；=(2,2,2),

设直线AG与平面AEG所成角为氏

则sin"卜小明)卜崎二高邛;

(III)由正方体的特征可得，平面ARG的一个法向量为。3=(2,-2,0),

DBm8_2V|

则cos(DB,m

|DB|-|m|3x2痣—3

所以二面角A-AG-E的正弦值为小一cos?(DB，G=I.

r2V20公

18.已知椭圆—+*=l(a>b>0)的右焦点为八上顶点为3,离心率为臂，

且忸产|=«.

(1)求椭圆的方程；

(2)直线/与椭圆有唯一的公共点”，与y轴的正半轴交于点N,过N与BF垂直

的直线交x轴于点尸.若MP11BF,求直线/的方程.

v-2L

【参考答案】(1)y+/=l；(2)x—y+#=0.

【解】⑴易知点尸(c,0)、B(O,b),故忸1|=Jc2+/=a=亚，

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因为椭圆的离心率为6=£=拽，故c=2,b=\lcr-c2=b

a5

r2

因此，椭圆的方程为二+y2=1；

5-

,„2

（2）设点M（毛,均）为椭圆工+y2=i上一点，

先证明直线MN的方程为管+为y=1,

号+折1

联立《，，消去y并整理得Y-2x0x+x；=0，A=4x；-4x；=0,

X2.

—+y-=1

[5

2

因此，椭圆土+V=i在点M（Xo，%）处的切线方程为?+%y=L

53

1(11

在直线MN的方程中，令x=0,可得y=一，由题意可知%>0,即点N0,—,

先1yoj

b1C1

直线BF的斜率为原「=一一=一一，所以，直线PN的方程为y=2x+一，

c2%

1(1

在直线PN方程中，令y=0,可得》=•--一■,即点P---,0,

2yo【2%)

）'o=24=1

因为MP//BF,则=即12%%+12,整理可得(％+5)，0)2=0,

xo+«-

2%

2，・•・>()>°，故％=逅，X。=一^^~，

所以，%=-5%,因为9+尤=6公=1

66

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所以，直线/的方程为一"X+迈y=l，即x—y+后=0.

66

19.已知｛4｝是公差为2的等差数列，其前8项和为64.也,｝是公比大于0的等比数

列,a=4也=48.

(I)求｛凡｝和也｝的通项公式；

(II).记C"=4"N',

b,

(i)证明归-%,｝是等比数列；

(ii)证明之俘屋】<2夜

*=1VCk~C2k

【参考答案】(I)a〃=2〃—l,〃£N*,a=4",〃£N・；(H)(i)证明见解析；(ii)证明

见解析.

【解】(I)因为｛4｝是公差为2的等差数列，其前8项和为64.

8x7

所以6+^-----F%=84H■——x2=64,所以4=1,

所以=q4-2(/?-1)=2H-1,HG?/*；

设等比数列也｝的公比为46>0)，

所以炉—如=4年一句=48,解得q=4(负值舍去)，

所以勿=b,q"T=4",〃eN"；

(II)(i)由题意，％="“+｝=4”+房，

UR

所以C：_"9"+H-k"+*)=2•4",

C|>|2,Hq；+l_。2,+2_2•4””_4

所G以q,一‘2“#n0,且一2------------4,

qi”2-4"

所以数列归一。2,｝是等比数歹1J;

=(2〃-1)(2〃+1)=41-1<4〃2

(ii)由题意知,22

c^-c2n~2-4"-2・2"2-2"'

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IaAI4n22n_1__n_

所以+lz

在-c?,,\2-22"~-j2.2n~412，i

所以f

hl

'ZLT弋k123n

设7而=及+短百+…+F'

nl1123n

则51=耍+?■+无+…+环，

1-,-

两式相减得京=1+9*+…+/-＞一F2=2_9

142〃2〃

/?+2

所以＜=4_

所以tj孚T

hiVck-c2l

20.已知a>0,函数/(x)=or-xe*.

(I)求曲线y=/(x)在点(O,/(O))处的切线方程:

(11)证明f(x)存在唯一的极值点

(IH)若存在a,使得/(x)4a+6对任意x