小学数学课程与教学 课件 7小学数与代数教学、8小学图形与几何的教学

7.小学数与代数的教学情境导入低年级学生在解决除法应用题时，常常用乘法进行计算。例如，面对问题“一本书5元钱，20元钱可以买几本书？”时，二年级学生常常列出算式“5×4＝20”.如何让学生更好地理解加减乘除的具体含义？如何让学生更好地分析数量关系？如何让学生更好地理解比例与正比例？7.1第一学段“数与代数”的教学第一学段“数与代数”包括“数与运算”和“数量关系”两个主题。数与运算之间有密切的关联，数是对数量的抽象化表达，运算是对数量关系的抽象化表达。7.1.1第一学段数与代数的课程要求数与运算知识重点是百以内整数的认识、加减乘除四则运算的意义、简单整数四则运算的计算。能力重点是体会数和运算的意义，形成初步的符号意识、数感、运算能力和推理意识。情感态度与价值观重点是让学生积极参与数学学习活动，主动与他人交流，体会数学与现实生活的联系，培养好奇心和探究欲。数量关系知识重点是利用数与运算解决简单问题和利用数与符号表达简单情境中的变化规律。能力重点是经历发现与提出、分析与解决问题的过程，培养初步的应用意识、模型意识、几何直观。情感态度与价值观重点是感受数学可以描述生活中的一些现象，感受数学与生活的密切联系，感受数学美与趣，进而培养爱学习、爱思考的好习惯。案例分析7.1.2第一学段数与代数的内容理解数量的本质应当是多与少。数（shù）是数（shǔ）出来的。自然数的含义基数定义与序数定义。计数的方法很多，目前常用的是十进制计数法。“十进制计数法”包括“十进位”和“位置值”两条原则。自然数的运算加、减、乘、除的数学化定义加、减、乘、除的操作性定义加、减、乘、除的常见模型7.1.3第一学段数与代数的教学建议第一学段是学生进入小学学习的开始，要充分考虑学生在幼儿园阶段形成的活动经验和生活经验，完成从幼儿园阶段到小学阶段的学习过渡。“数与运算”的教学学生经历由数量到数的形成过程，理解和掌握数的概念；经历算理和算法的探索过程，理解算理，掌握算法。初步体会数是对数量的抽象，感悟数的概念本质上的一致性，形成数感和符号意识。通过数量多少的比较，理解数的大小关系和顺序关系，帮助学生形成初步的符号意识和数感。数的大小涉及自然数的基数属性，比较大小有两种策略：一是基于“数数”，后面的数大于前面的数；二是进行配对，即利用对应比较大小。数的顺序涉及自然数的序数属性，序数与数数的顺序有关。序数初期的表征方式带有明显的方向性，可以和各种相对方向的常用语词同时教学，如“从上往下数”。通过实际情境，理解加、减、乘、除的意义，理解加与减、乘与除的关系。始终关注学生运算能力和推理意识的形成与发展，感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识。“数量关系”的教学小学数学第一学段“数量关系”的教学，要让学生经历在具体情境中运用数量关系解决问题的过程，感悟加法模型和乘法模型的意义。要注意提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力，形成模型意识和初步的应用意识。通过简单的情境提出合适的问题，引导学生发现数量关系。引导学生表达情境中的数量关系，进而通过计算解决情境中的问题，形成初步的应用意识。7.2第二学段数与代数的教学“数与运算”包括整数的四则运算、大数的认识、小数的认识与加减法、分数的初步认识与简单加减法。“数与运算”之间有密切的关联，数是对数量的抽象，运算是对数的操作和数量关系的表达。7.2.1第二学段数与代数的课程要求知识重点是理解大数的意义、理解运算律、三位数的加减法、两位数乘除三位数、理解小数的意义和认识简单分数。能力重点是体会整数和小数的意义，能用计算器探索运算规律，发展符号意识、数感、运算能力和推理意识。情感态度与价值观重点是让学生积极参与数学学习活动，解决一些现实问题，体会数学与现实生活的联系，培养良好的学习习惯。案例分析知识重点是利用数与运算解决简单实际问题和利用数与符号表达现实情境中的变化规律。能力重点是经历发现与提出、分析与解决数学与现实问题的过程，培养初步的应用意识、模型意识、几何直观，培养初步的代数推理能力。情感态度与价值观重点是感受数学可以描述生活中的一些现象，感受数学与生活的密切联系，探索数与运算的奥秘，形成质疑问难和勇于探索的科学精神。

某博物馆周六和周日参观的人数如图所示，根据记录的参观人数，你能提出哪些问题？7.2.2第二学段数与代数的内容理解读数乘除7.2.3第二学段数与代数的教学建议第二学段是小学阶段的稳定期，学生需要养成良好的学习习惯和行为习惯。数学教学要充分考虑学生的学习经验和生活经验，遵循本阶段学生的思维特点和认知规律，为学生提供具有一定挑战性的学习任务，帮助学生主动学习和勤于反思。“数与运算”的教学为学生提供合适的情境，引导学生经历数的抽象过程，感悟十进制计数法，发展学生的数感。以整数运算为基础，进行小数与分数的简单计算，体会运算的一致性，培养运算能力与代数思维。案例分析小数的意义“数量关系”的教学借助四则运算的含义，理解现实问题中的加法与乘法模型，提升模型意识和问题解决能力。通过真实情境中的问题解决过程，体会估算在问题解决中的作用，了解估算的意义，进一步培养数感。案例分析一个班有39名学生，一套校服需要112

元，5000元够班上每人一套校服吗？7.3第三学段数与代数的教学第三学段“数与代数”包括“数与运算”和“数量关系”两个主题。“数与运算”包括小数乘除法、整数的性质、分数的认识及其四则运算和混合运算四大内容。

数与运算之间有密切的联系，数是对数量的抽象化表达和数学运算的产品，运算是对数的操作。7.3.1第三学段数与代数的课程要求数与运算知识重点是小数乘除法、整数的性质、分数的意义和运算、比例与正比例。能力重点是体会数和运算的意义，进行小数与分数的四则运算，进一步培养数感和运算能力，在解决比较复杂的问题中培养问题解决能力，进一步发展符号意识与推理意识。情感态度与价值观重点是让学生积极参与数学探究与应用活动，在相对真实的情境中主动发现与提出、分析与解决具体问题，体会数学与现实生活的联系，进一步提高数学学习的积极性。如何理解整数除法与分数的关系？知识重点是利用整数、分数和小数的运算解决实际问题，利用代数式表达比较复杂情境中的变化规律，识别并表达情境中的比例与正比例关系。能力重点是经历在具体情境中发现与提出、分析与解决数学问题的过程，培养初步的问题解决能力和应用意识，培养初步的代数推理与模式识别能力。

情感态度与价值观重点是感受数学与生活的密切联系，探索运算的奥秘，感受数学应用的广泛性，培养探究欲与求知欲，形成质疑问难和勇于探索的科学精神。7.3.2第三学段数与代数的内容理解整数的性质分数7.3.3第三学段数与代数的教学建议“数与运算”包括整数、小数和分数的认识及其四则运算。数是对数量的抽象，数的运算重点在于理解算理、掌握算法，数与运算之间有密切的关联。数学课程的重点是通过整数的运算，感悟整数的性质，探索数自身的规律和特征；通过整数、小数、分数的运算，进一步感悟计数单位在运算中的作用，感悟运算的一致性。根据数的意义探索数的特征，基于特征理解相关概念，进一步培养推理意识。在具体情境中，理解小数和分数的数学意义，从计数单位的角度感悟数意义的一致性。从计数原理的角度，理解统筹整数、小数和分数的四则运算，感悟数的运算的一致性。“数量关系”主要是用符号（包括数）或含有符号的式子表达数量之间的关系或规律。数学课程的重点是理解用字母表示的一般性，形成初步的代数思维。代数思维是用字母或者符号代表未知，然后将其看作已知，让它同已知量一起建立等量关系。创设合理的情境，引导学生用含有字母的式子表示其中的数量关系，发展学生的符号意识和应用意识。借助真实情境中的问题解决，引导学生选择合理方法进行估算，提高问题解决能力和数学应用意识。借助生活中的具体情境，引导学生用字母表示情境中数量的变化规律，发展符号意识和应用意识。实践研究8.小学图形与几何的教学情境导入学习了角的定义，教师出示三角形、平行四边形等，让学生数一数每个图形中各有几个角。学生回答，“三角形中没有角，因为三角形的三边是线段，不是射线”。角有哪些常见的定义？两条线段能组成角吗？三角形的面积计算公式、梯形的面积计算公式有几个，是怎么来的？8.1第一学段图形与几何的教学第一学段“图形的认识与测量”，包括简单立体图形和平面图形的认识、图形的分类、简单图形的拼图、度量单位的统一、长度单位米和厘米的认识、物体长度的估测和测量。学生经历由形到数量的形成过程，理解和掌握形的概念，经历估测和实际测量的探索过程，理解测量单位统一的重要性，形成空间观念和量感。8.1.1第一学段图形与几何的课程要求知识重点是简单立体图形和平面图形的认识、图形的分类、简单图形的拼图、度量单位的统一、长度单位米和厘米的认识、物体长度估测和实际测量。能力重点是能对图形分类，会用简单图形拼图，能估测一些物体的长度，并进行测量，形成初步空间观念和量感。情感态度与价值观重点是让学生积极参与数学学习活动，主动与他人交流，体会数学与现实生活的联系，培养好奇心和探究欲。8.1.2第一学段图形与几何的内容理解长度线段公理：两点之间，线段最短。两点之间形成线段的长度叫作两点之间的距离。几何思维水平理论荷兰数学教育家范·希尔（VanHiele）夫妇根据完形心理学的结构理论以及皮亚杰的认知理论，提出几何思维水平理论。采用范希尔的说法，将这五个水平从低到高依次称为视觉水平、描述水平、理论水平、形式逻辑水平和逻辑法则本质水平。水平１视觉水平学生借助观察各种具体事物的外形轮廓来分辨图形，能学习词汇及辨认或再造出一个与指定图形相同的图形，但无法利用图形的性质或构成要素来分析图形。处于这个水平的学生的推理能力受到视觉的影响，只要图形的外表特征稍有变化，学生就无法分辨异同。例如，将椭圆形看作圆，把长方形看作正方形。水平２描述水平学生能够辨别各种图形的特征，能够通过观察图形的构成要素与这些要素之间的关系来分析几何概念。但是他们无法说出图形之间有无关系存在，如正方形、长方形、菱形、平行四边形之间有什么关系存在。处于这个水平的学生无法通过推理的方式得知道理，比如他们不一定知道当图形边长不相等时面积有可能相等。水平３理论水平学生能够了解和运用图形的构成要素，并且能够探索各种几何图形之间的内在属性和各图形之间的包含关系。例如，四个边等长的四边形是菱形，所以正方形是菱形的一种。水平４形式逻辑水平学生能够通过抽象的推理来证明几何问题，而且方法可能不止一种，知道几何图形的充分条件与必要条件。例如，正五边形每一边及每一个内角都相等，但边长相等的五边形不一定是正五边形。学生能发现正逆命题之间的差异，也能清楚地说出题目中已知的条件为何以及要证明的是什么，还能使用许多技巧来证明对称、旋转、坐标平移、向量等，或能用逻辑去思考、分析和解决问题。水平５逻辑法则本质水平学生能够在不同的公理体系中建立定理，并且能比较不同的公理系统，同时也能了解抽象的几何概念。一般人很难达到这个层次，所以连范希尔本人也认为这个层次只有理论的价值。8.1.3第一学段图形与几何的教学建议

该学段学生大致处于范希尔几何思维水平的第一阶段——视觉水平，即大多数学生能够借助观察各种具体事物的外形轮廓来分辨图形，能辨认或再造出一个与指定图形相同的图形，但无法利用图形的性质或构成要素来分析图形。教学需要充分考虑学生在幼儿园所形成的活动经验和生活经验，引导学生在具体活动中感知图形和认识图形，并根据特点将图形进行分类。在具体活动中感知和认识图形，经历实物到图形的抽象过程，形成初步的空间观念。经历统一测量单位和选择适当单位进行测量等过程，在实际测量和估测活动中发展空间观念和量感。例如，长度单位的教学要让学生经历一把尺子的形成过程，加深对长度单位的理解。“认识厘米”的教学就可以这样进行：①意识到需要统一长度单位；②认识到仅用一个单位进行测量比较困难；③自制一把尺子进行测量；④引入标准单位厘米。8.2第二学段图形与几何的教学

“图形的认识与测量”包括：线段、射线和直线的认识，角的初步认识，角的度量，分米、毫米和千米的认识，平方厘米和平方分米的认识，三角形和四边形的认识，长方形和正方形的周长和面积的计算公式的推导。“图形的位置与运动”包括对平移、旋转、轴对称现象的感知。8.2.1第二学段图形与几何的课程要求第二学段“图形与几何”包括“图形的认识与测量”和“图形的位置与运动”两个主题。知识重点是线段、射线和直线的认识，角的初步认识，角的度量，分米、毫米和千米的认识，平方厘米和平方分米的认识，三角形和四边形的认识，长方形和正方形的周长和面积的计算公式的推导。能力重点是会用直尺和圆规作一条线段等于已知线段，会用量角器量角，能进行简单的长度和面积单位换算，能恰当地选择单位估测一些物体的长度和面积，会根据图形特征对三角形和四边形进行分类，探索并掌握长方形、正方形的周长和面积的计算公式。

情感态度与价值观重点是让学生积极参与数学学习活动，主动与他人交流，体会数学与现实生活的联系，培养好奇心和探究欲。例如，让学生通过直观认识不同图形，说出图形的共性，知道这些共性与图形命名的关系。知识重点是对平移、旋转、轴对称现象的感知。能力重点是能在实际情境中，辨认出生活中的平移、旋转和轴对称现象，直观感知平移、旋转和轴对称的特征，能利用平移或旋转解释现实生活中的现象，形成空间观念。情感态度与价值观重点是学生积极参与数学学习活动，体会数学与现实生活的紧密联系，增强学好数学的信心。8.2.2第二学段图形与几何的内容理解角的静态定义，具有公共端点的两条不重合的射线组成的平面图形叫作角。这个公共端点叫作角的顶点，这两条射线叫作角的边。角的动态定义，一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的平面图形叫作角。所旋转射线的端点叫作角的顶点，开始位置的射线叫作角的始边，终止位置的射线叫作角的终边。但在大多数情况下，角的两条边都是线段，而不是直线。我们常把有公共端点的两条线段构成的平面图形也叫作角。只不过两条线段在非公共端点的一段可以无限延伸。因为角的两端可以无限延伸，所以角的大小不是按照角所占面积来衡量的，而是用张开的程度来衡量。三角形三条线段首尾连接形成的图形叫作三角形。三角形按边来分，可以分为等腰三角形和非等腰三角形。按最大内角来分，可分为钝角三角形、直角三角形和锐角三角形。三角形的存在性：三角形的任意两边之和大于第三边。三角形的唯一性：三角形具有稳定性。三角形的特征：三角形的内角和为180°。8.2.3第二学段图形与几何的教学建议第二学段是学生小学学习的中期阶段，重在养成良好的学习习惯。该学段学生大致处于范希尔几何思维水平的第二阶段——描述水平，即儿童能够辨别各种图形的特征，能够通过观察图形的构成要素与这些要素之间的关系来分析几何概念，但是他们无法说出图形之间有无关系存在。从观察现实生活中的物体出发，逐渐抽象出几何图形，帮助学生建立几何图形的直观概念。从现实情境出发，建立周长和面积的概念，归纳发现长方形和正方形的周长和面积的计算公式，发展几何直观和推理意识。图形的位置与运动的教学要从熟悉的情境中让学生认识平移、旋转和轴对称现象，感悟图形的运动特征，发展空间观念。8.3第三学段图形与几何的教学“图形的认识与测量”包括多边形的面积、圆的认识与测量、体积、长方体和圆柱的认识与测量等主要内容。“图形的位置与运动”包括物体位置的确定、有序数对（限于自然数）表示点的位置、比例尺、图形放大或缩小、简单图形的平移和旋转以及轴对称图形等主要内容。8.3.1第三学段图形与几何的课程要求“图形与几何”是义务教育小学数学课程第三学段的重要内容。2022年版数学课程标准将其分为“图形的认识与测量”和“图形的位置与运动”两个主题。知识重点是三角形任意两边之和大于第三边，三角形内角和，圆和扇形的认识，圆规画圆，圆周率的认识，圆的周长和面积的计算公式，面积单位平方千米、公顷的认识，平行四边形、三角形和梯形面积的计算公式，体积的意义及度量单位，认识长方体、正方体和圆柱体积和表面积的计算公式，简单立体图形的三视图。能力重点是会用圆规画圆，探索圆的周长和面积的计算公式，探索并掌握平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式，会估计不规则图形的面积，探索并掌握长方体、正方体和圆柱的体积和表面积的计算公式，能辨认不同方向的形状，能解决简单的实际问题，进一步形成量感、空间观念和几何直观。

情感态度与价值观重点是让学生积极参与数学学习活动，主动与他人交流，体会数学与现实生活的联系，培养学生的好奇心和探究欲。例如，通过估计不规则图形面积的活动，培养学生有规划做事的习惯和判断结论的能力。知识重点是物体位置的确定、有序数对表示点的位置、有序数对与方格纸上点的对应关系、比例尺的认识、简单图形放大或缩小、简单图形的平移和旋转、轴对称图形和对称轴的认识。能力重点是能根据参照点的方向和距离确定物体的位置，理解有序数对与方格纸上点的对应关系，能在方格纸上进行简单图形的平移、旋转和放缩，能从平移、旋转和轴对称的角度欣赏生活中的图案，能借助方格纸设计简单图案，感受数学美，形成空间观念。情感态度与价值观重点是学生积极参与数学学习活动，体会数学与现实生活的紧密联系，增强学好数学的信心。例如，通过还原图形的活动体会平移和旋转的趣味，发展学生的空间想象能力。8.3.2第三学段图形与几何的内容理解平行四边形的基本性质有：对边平行，对边相等；对角相等，邻角互补；对角线相互平分；一条对角线将平行四边形分成两个全等三角形。平行四边形的面积公式不止一个，常用的是“面积＝底×高”。三角形的面积计算公式不止一个，常用的是“面积＝底×高÷２”。梯形的面积计算公式“面积＝（上底＋下底）×高÷２”。

圆平面内与一个定点的距离等于定长的点的集合叫作圆。圆的周长和直径的比值是一个常数，叫作圆周率，通常用希腊字母π表示。8.3.3第三学段图形与几何的教学建议第三学段是学生小学学习的后期，处在小学与初中的过渡阶段，在一定程度上为中学做准备。该学段部分学生处于范希尔几何思维水平的第二阶段，也有部分学生处于第三阶段——理论水平，即儿童能够了解和运用图形的构成要素，并且能够探索各种几何图形之间的内在属性和各图形之间的包含关系。图形的认识与测量的教学图形的认识与测量的教学要引导学生通过对立体图形的测量，从度量的角度认识立体图形的特征；理解长度、面积、体积都是相应度量单位的累加；通过对平面图形性质的认识，感知数学说理（证明）的过程。第一，沿着“观察猜想