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以参数量子群Ur,s(sln)的子代数UA的Hopf代数结构及其表示的中期报告首先介绍一下量子群和参数量子群的基本概念。量子群是一类非交换的Hopf代数，它具有类似于李群的代数结构，但是由于其非交换性质，导致它的表示理论和李群有所不同。参数量子群则是一类比量子群更为广义的概念，它引入了一个参数q，使得量子群可以像q→1的极限下还原为李群，从而可以更好地描述量子场论中的对称性。下面进入本文重点，介绍参数量子群Ur,s(sln)的子代数UA的Hopf代数结构及其表示。首先要介绍的是参数量子群Ur,s(sln)的定义。Ur,s(sln)是一个参数量子群，它的生成元为aij，i,j=1,2,...,n和ui,ui^-1，其中ui和ui^-1是相互逆的元素，满足下列关系：uiuj=ujujui(i<j)ui^-1uj^-1=uj^-1ui^-1(i<j)uiuj^-1=quj^-1ui(i≠j)ui^-1uj=q^-1ujui^-1(i≠j)[aij,akl]=δjkaij-δikajl(i,j,k,l=1,2,...,n)其中q和r是任意的参数。而UA是Ur,s(sln)的子代数，它的生成元为aij和ti，i,j=1,2,...,n，它的关系式为：[ti,tj]=0[ti,aij]=(s+r)(δijaij-δitj)[aij,akl]=δjkaij-δikajl[ti,uj]=ujti+1[ti,uj^-1]=-tiuj^-1-1其中s和r是与Ur,s(sln)中的参数相同的参数。UA是一个Hopf代数，它的结构如下：1.乘法运算：m:UAxUA->UAti*tj=tj*ti=0ti*aij=aij*(ti-ti+1)aij*akl=δjkaij*akl+δilakj*aij2.单位元：ε:UA->kε(ti)=ε(aij)=03.反元素：inv:UA->UAinv(ti)=-tiinv(aij)=-s^-1aij4.余单位元：c:UA->UA⊗U(k)c(ti)=ti⊗1+1⊗tic(aij)=aij⊗1+1⊗aij-(s+r)ti⊗ti5.共轭结构：**：UA->UA,α->α**(ti**)=ti(aij**)=aji6.共代数结构：Δ:UA->UA⊗UAΔ(ti)=ti⊗1+1⊗tiΔ(aij)=∑(aih⊗ahj)其中h=1,2,...,n，并且我们定义ti=ti⊗1+1⊗ti。7.余乘法运算：∆:UA⊗UA->UA∆ti=ti⊗ti∆aij=∑(aih⊗haj)其中h=1,2,...,n。最后，我们介绍一下UA在对称代数和杨-比尔斯特拉姆模型中的表示。UA的表示是由一个n元系数组成的，这个数组被称为q-对称多项式。q-对称多项式是一种特殊的对称多项式，它具有良好的代数性质，在杨-比尔斯特拉姆模型中起着重要作用。它们还

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