2023学年完整公开课版内切圆1

张纲中学数学教研组陈希

三角形的内切圆1.定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形

。三角形的内心是三角形三条角平分线的交点。任何三角形都只有一个内切圆。2.性质:内心到三角形三边的距离相等；内心与顶点连线平分每个内角。O图2ABC3、以I为圆心，ID为半径作⊙I，⊙I就是所求的圆.作圆，使它和已知三角形的各边都相切已知：△ABC（如图）求作：和△ABC的各边都相切的圆ABCMNID作法：1、作∠ABC、∠ACB的平分线BM和CN，交点为I.2、过点I作ID⊥BC，垂足为D.三角形内切圆的圆心叫三角形的内心②三角形的内心到三边的距离相等①三角形的内心是三角形角平分线的交点③三角形的内心一定在三角形的内部三角形内心的性质1.三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（）2.三角形的内心到三角形各边的距离相等（）3.三角形的内心一定在三角形的内部（）4.菱形一定有内切圆（）5.矩形一定有内切圆（）错对对对

错判断题：填空:1.三角形的内切圆能作____个,圆的外切三角形有_____

个,三角形的内心在圆的内部.

2.如图,O是△ABC的内心,则

OA平分∠______,OB平分∠______,OC平分∠______.(2)若∠BAC=100º,则∠BOC=______.1无数COBA•

BAC

140º

ABC

ACB例2如图，在△ABC中，点O是内心，（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，求∠BOC的度数ABCO（2）若∠A=80°,则∠BOC=

度。（3）若∠BOC=100°，则∠A=

度。20130∴∠BOC=180°-（∠ABC＋∠ACB）12

=180°－60°=120°同理∠OCB=∠OCA=12∠ACB=35°解（1）∵点O是△ABC的内心，∠ABC=25°∴∠OBC=

∠OBA=122∠BOC=180°﹣12(∠ABC+∠ACB)=180°-12(180°-∠A)=180°-90°+12∠A=90°+1∠A试探讨∠BOC与∠A之间存在怎样的数量关系？请说明理由．1∠BOC=90°∠A2+例3：想想做做

求边长为６ｃｍ的等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R.老师提示：

先画草图，由等腰三角形底边上的中垂线与顶角平分线重合的性质知，等边三角形的内切圆与外接圆是两个同心圆.CABRrOD变式：

求边长为ａ的等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R的比.abcrrr探讨1、已知△ABC的三边BC,AB,AC分别为a,b,c，I为内心，内切圆半径为r，求r与a、b、c、S之间的关系。ABCI证明：连结AI,BI,CI

练习：⑴边长为３，４，５的三角形的内切圆半径是＿＿⑵边长为５，５，６的三角形的内切圆半径是＿＿11.5探讨2:直角三角形内切圆半径的求法：设△ABC是直角三角形，∠C=90°，它的内切圆的半径为r，△ABC

的各边长分别为a、b、c，试探讨r与a、b、c的关系.ABCObac切线长定理：连接OE,OF.则OE=OF=r，设BD=X,AD=YDEF如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m．按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交E、F，则（）A．EF＞AE+BFB．EF＜AE+BFC．EF=AE+BFD．EF≤AE+BF2.

△ABC

的内切圆⊙O

与AB

、BC

、AC分别相切于点D、E、F，且AB＝5厘米，BC＝9厘米，AC＝6厘米，则AD=______,BE=_______,CF=______.1厘米4厘米5厘米

如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，AB=5，点P是AC上的一个动点（P不与点A、点C重合），PQ⊥AB，垂足为Q，当PQ与△ABC的内切圆⊙O相切时，PC的值为（）A．B．1C.D．例题4：

当PQ到P′Q′时，与⊙O相切，此时OB平分∠CBA，OP′平分∠CP′Q′，且B、O、P′共线，

在△BCP′和△BQ′P′中

∵∠CBP′＝∠Q′BP′∠C＝∠BQ′P′,BP′＝BP′∴△BCP′≌△BQ′P′，∴P′C=P′Q′，设P′C=P′Q′=a，∵∠A=∠A，∠C=∠P′Q′A=90°，∴△AQ′P′∽△ACB，

例5、如图，小敏家厨房一墙角处有一自来水管，装修时为了美观，准备用木板从AB处将水管密封起来，互相垂直的两墙面与水管分别相切于D、E两点，经测量发现AD和BE的长恰是方程x2-25x+150=0的两根（单位：cm），则该自来水管的半径为解：连接OD，OE，

x2-25x-150=0，

（x-10）（x-15）=0，

解得：x1=10，x2=15，

∴设AD=10，BE=15，设半径为x，

∴AB=AD+BE=25，

∴（AD+x）2+（BE+x）2=AB2，

∴（10+x）2+（15+x）2=252，

解得：x=5，

故答案为：5．

思考题1：在△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，BC=10，两圆半径相等，与三角形两两相切，求圆的半径？

思考2：在△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，BC=10，三个圆半径相等，它们与三角形两两相切，求圆的半径？小结：三角形的内切圆（1）三角形的内心是三角形内切圆的圆心（2）三角形的内心是三角形各角平分线的交点（3）三角形内心到三边的距离相等（4）三角形面积=（C为三角形周长，r为内切圆半径）任意三角形内切圆半径