2023年人教版初中数学《平方差公式》教案（二）

2023年人教版初中数学《平方差公式》精华版教案(二)

敦与目标

【知识与技能】

会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.

【过程与方法】

1.在探究平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力.

2.培养学生观察、归纳、概括的能力.

【情感态度】

在计算过程中发现规律，用数学符号表示，感受数学的简洁美.

【教学重点】

平方差公式的推导和应用.

【教学难点】

理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式.

「教学国旌

一、情境导入，初步认识

出示下列习题，由学生分组完成：

1.计算：(x+3)(x-3),(t+2)(t-2),(3y+l)(3y-1)»(x+y)(x-y).

2.试用简便方法求结果：

(1)2001X1999=；

998x102=.

【教学说明】根据多项式乘以多项式法则可求得题1,题2根据题目特点，

把因数变形得2001X1999=(2000+1)(2000-1)=20002-1X2000+1X2000+1X

(-1)=20002-1=3999999.

要求学生以小组为单位，共同探究上述过程的结构特征与变化特征，并从中

总结出一般性规律来.

教师讲课前，先让学生完成“名师导学”.

二、思考探究，获取新知

由学生进行充分的交流探讨后，师生共同归纳.

上述结构的式子用公式表示为：(a+b)(a-b)=a2-b2,即两个数的和与这

两个数的差的积，等于这两个数的平方差，称之为平方差公式.

(1)推导：(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.

(2)公式特点：左边是两个二项式相乘，这两项中有一项是相同的，另一

项互为相反数，右边是乘式中两项的平方差(相同数的平方减去互为相反数的平

方).

(3)公式中的a、b可以是数、单项式或多项式.

(4)符合平方差公式特点的乘法式子可直接套用公式.

例1下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能？能用平方差公

式计算的，写出计算结果.

(1)(2a-3b)(3b-2a);

(2)(-2a+3b)(2a+3b);

(3)(-2a-3b)(-2a+3b);

(4)(2a+3b)(2a-3b);

(5)(-2a-3b)(2a-3b);

(6)(2a+3b)(-2a-3b);

【分析】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可用平方

差公式.

解：(1)(6)不能用平方差公式，(2)(3)(4)(5)可以用平方差公

式.

(2)(-2a+36)(2。+36)=(36y-⑵尸

-9b2-4a2.

(3)(-2a-36)(-2a+36)=(-2a)2-

(36>=加2_9hz

(4)(2a+36)(2a-36)=(2a)2-(36)2=

4a2-9b2.

(5)(-2a-36)(2a-36)=(-36)2-

(2a)2=9b2-4a2.

例2计算：

(1)59.9X60.1；(2)102X98.

【分析】(1)中的两个因式分别变成60-0.1和60+0.1,再用平方差公式计

算；(2)中两个因式分别可转化成100+2与100-2.

角笨：(1)59.9x60.1=(60-0.1)(60+0.

1)=602-0.I2=3599.99.

(2)102x98=(100+2)(100-2)=1002-

22=9996.

【教学说明】运用平方差公式计算，先要观察所要计算的式子(或经转化后

的式子)是否具有平方差公式的结构特征，然后套用公式计算.

例3利用平方差公式计算下列各题.

(1)(2x+l)(2x-1)-3x2.

(2)(l-2x)(l+2x)(l+4x2)(1+16x4).

【分析】(1)中的乘法计算可用平方差公式；(2)应先进行(l-2x)(l+2x)

的计算，再逐步应用平方差公式求得结果.

解：(1)(21+1)(2^-1)-3/=4x2-1-

3x=x2-1；

(2)(1-2x)(1+2x)(1+4/)(1+16/)

=(1-4x2)(1+4x:)(1+16x4)=(1—16JT4)(1

+16x4)=1—256x*.

三、运用新知，深化理解

1.计算下列各题.

(l)(4%+5y)(4%-5y)；

(2)(-yG+gb)(--yO);

(3)(；-5)(_:一5)；

(4)(-/772z?+2)(-m'n-2).

2.利用平方差公式计算下列各题：

(1)499X501；

(2)2002X2004-20032.

3.请认真分析下面一组等式的特征：

1X3=22-1,

3X5=42-1,

5X7=62-1,

猜想这一组等式有什么规律.将你猜想到的规律用一个只含字母n的式子表

示出来.

【教学说明】要求学生独立完成上述各题，再与小组成员交流，查漏纠错.

【答案】1.（1）16?-25/；

(2)-62--«2；

<416,

(4)m4n*—4.

2.(1)499x501=(500-1)(500+1)=

SOO?-1=250000-1=249999；

(2)2002x2004-2OO32=(2003-1)(2003

+1)-2003*=2OO3J1-20032=-1.

3.(2n-1)(2n+1)=(2n)2—1=4n2—1.

四、师生互动，课堂小结

阅读下列材料，回忆巩固平方差公式.

平方差公式的几何意义也就是利用图形来表示公式.如图1,在边长为a的正

方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a>b）,把余下的部分剪拼成一个矩形（如

图2）,通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式

就是平方差公式，即（a+b）（a-b）=a2