方程的根与函数的零点（图片版）

3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点

ax2+bx+c=0(a>0)的根y=ax2+bx+c(a>0)的图象△=b2－4ac△＞0△=0△＜0图象与x轴的交点

两个相等的实数根x1=x2没有实数根xyx1x20xy0x1xy0(x1,0),(x2,0)(x1,0)没有交点两个不相等的实数根x1、x2一、复习与引入二、形成概念

对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。注意:零点指的是一个实数,不是一个点．函数y=f(x)的零点方程f(x)=0的实数根函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标三角等价关系：函数零点的定义：例1.求下列函数的零点：求函数零点的步骤：

(1)令f(x)=0;(2)解方程f(x)=0；

(3)写出零点.典例讲解同步练习二、知识探究问题:如何判断一个函数是否存在零点？

例：函数f(x)=lnx+2x-6的是否存在零点观察函数的图象，看看两函数零点附近两侧的函数值有什么关系？零点附近两侧的函数值正负相异零点附近两侧的函数值正负相同变号零点不变号零点2-2-43-112Oxy423-112Oxy函数零点的分类问:若有变号零点，如何判断变号零点的位置？二、知识探究（1）观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象：在区间[-2,1]上有零点______；

f(-2)=_______，f(1)=_______，

f(-2)·f(1)_____0（“<”或“>”）．在区间(2，4)上有零点______；

f(2)=_______，f(4)=_______，

f(2)·f(4)____0（“<”或“>”）．

2-2-41O1-2234-3-1-1yx－1－45<3<-37结论：区间端点的函数值正负相异若有变号零点，如何判断变号零点的位置？函数零点存在性的探究二、知识探究（2）

函数y=f(x)在区间[a,b]上,当f(a)f(b)<0时就一定有零点吗？abOxy1）图象是连续不断;2）f(a)f(b)<0.函数零点存在性的探究条件:二、知识探究（2）

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根．有零点axyboaxyboaxboy函数零点存在性定理1）图象是连续不断;2）f(a)f(b)<0.Useyourhead：

如果函数y=f(x)

在[a,b]上,图象是连续的，并且f(a)·f(b)﹤0,那么这个函数在(a,b)内的零点是唯一的吗？如何才能保证零点唯一？xy00yx1）图象是连续不断;2）f(a)f(b)<0;3）在[a,b]上单调.有且只有一个零点1.函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象不间断,并且有f(a)·f(b)<0，

则这个函数在这个区间上_____A.只有一个零点;B.至多有一个零点;C.至少有一个零点;D.不一定有零点.思考:若图象连续的函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,

一定有f(a)·f(b)<0吗？C同步练习2.函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象不间断,且有一个变号零点x0，

且f(a)>0,f(b)<0,f((a+b)/2)>0,则x0在哪个区间内_______同步练习3.若函数y=f(x)的图象是连续不断的,且f(0)>0，f(1)f(2)f(4)<0,则下列命题正确的是______A.函数f(x)在区间（0，1）内有零点

B.函数f(x)在区间（1，2）内有零点

C.函数f(x)在区间（0，2）内有零点

D.函数f(x)在区间（0，4）内有零点D同步练习三、知识应用由表可知f(2)<0，f(3)>0，从而f(2)·f(3)<0，

∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点．由于函数y=lnx和y=2x在定义域域(0,+∞)内是增函数,所以函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数,因此它仅有一个零点．用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表：解法1：思考:如何说明零点的唯一性？108642-2-4512346xyOx123456789f(x)

-1.30691.09863.38637.79189.945912.079414.1972f(x)=lnx+2x-6-4例2.求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数.5.6094零点存在性定理的应用x1234f(x)-++-估算f(x)在各整数处的取值的正负：由表可知f(2)<0，f(3)>0，从而f(2)·f(3)<0，

∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点．三、知识应用解法2：例2.求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数.零点存在性定理的应用例2.求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数.

解法3：

方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标。1.方程log3x+x=3的解所在的区间为()A(0,2)