2-3-分块广义逆矩阵

PAGEPAGE9§3分块矩阵的广义逆下面讨论分块矩阵的广义逆。首先研究逆矩阵存在的情况，然后把同样的思想和处理技巧直接应用到不可逆的情况。就得到分块矩阵的结果。定理1（分块矩阵的正则逆）设可逆.若,则（1）若,则（2）其中证明若,则有(分块矩阵的初等变换)（3）此式证明了的可逆性。两边求逆矩阵，容易得到用完全同样的方法可以证明定理的后半部分（请读者完成）。因为可逆方阵的逆阵是唯一的，于是(1)式和(2)式对应的子块必相等，即推论1（4）（4‘）（5）（5‘）上面四个式子称为矩阵反演公式。为了醒目，简写为一般公式：（6）（7）另外还有下列求逆公式；在公式(4)中，重新记，则得推论2(和式求逆公式)(8)(9)这个公式在回归诊断中有广泛的应用，由(8)式还可得到另外两个常用公式，其中.推论3(行列式计算)对(3)式两端取行列式得（10）特别，若取，由上式得（11）推论4(分块三角阵求逆)由定理1不难得到(为非退化方阵)（12）如果不存在，自然考虑它的广义逆。对此，我们有如下结果：定理2（分块矩阵的广义逆）(1)若存在,则（13）(2)若存在,则（14）(3)若则（15）或（16）其中证明我们只证明(13)和(15)式，(14)式的证明与(13)式类似，请读者完成.先证(13)式.当存在时，(3)式仍成立.于是根据事实可逆，则(证明略)，有这里，我们利用了事实：是准对角阵的广义逆.再证(15)式.因故存在矩阵，使得由上一节的推论和，得（17）（18）于是，得（19）两边求逆矩阵，得到将此三矩阵相乘，即得结论，用类似方法可以证明第二种表达式。从定理证明过程可以看出，我们所求到的广义逆只是的一部分。因此，定理中的的表达式(12)~(15)式，应理解为右端是的广义逆。这一点并不影响我们后面的应用。因为在线性模型理论中，我们所关心的量都与的选择无关。定理的条件或存在或还可以进一步减弱。因为，由和可推出和，于是(18)式成立。因此，(14)式和(15)式也成立。故得推论5对矩阵，若，，则(14)式和(15)式成立. 一些特殊分块矩阵的广义逆矩阵请查阅《矩阵论》Ｐ319~320，程云鹏编著。一般来说，对，并没有类似定理２中（１３）、（１４）式的结论，但在条件下，有类似于（１５）或（１６）式的表达式（参见矩阵论不等式P27）。定理3(镶边矩阵的广义逆)设，则这里，证明(思路，用行变换，列变换将镶边矩阵化为对角分块阵)令则（20）于是因为,故存在矩阵,使.这样.于是.得到,由的对称性，转置得到.所以上式变为：（21）把（19）式代入（20）式，得于是（22）两边求广义逆，得（23）由，得到，下面证明，即.因因为所以，存在，使.由于，代入（23）式即证结论.推论6设对称，，则证明能够按定理的证法完成。因为，所以能够起到定理中的作用。于是现在用不着矩阵。只需把定理中所有的换成，请读者仿照定理写出推论5的证明过程.提示:推论7设对称，，则提示: 由，且，即是列满秩矩阵（因）。.下面证明满秩,即满秩.只需证明正定即可.容易得到对任意的;若有某个能够使.由于是列满秩矩阵.故只有零解,即;即得到.所以正定,即正定,,所以正则逆存在.推论8设对称，则（1）和都可逆；（2）证明(1),存在,使得,故和,再由,知.于是即可逆.又在假设条件下于是第一结论3证。(2)在条件下，将和的线性无关的行向量扩张成的基，并通过该基表示和.不妨设的前行是线性无关的,令，,(否则可用初等行变换使的前行线性无关,即存在,使,但不影响此命题结论).因为的行向量是线性无关的。所以构造的基为：,令，得到，.因为