统计学-在经济管理中的应用 课件 第3、4章 总量指标与相对指标、平均指标与变异指标

第3章总量指标与相对指标PowerPoint统计学统计这种神秘的语言，在一个靠事实说话的社会里是如此地吸引眼球，但有时它却被人利用，并成为恶意夸大或简化事实、迷惑他人的工具。在报告社会经济趋势、商业状况、民意调查和普查的大量数据时，统计方法或者统计术语是必不可少的。但如果作者不能正确理解并恰当地使用这些统计语言，而读者又并不能真正了解这些术语的含义，那么，统计结果只能是废话一堆。——达莱尔.哈夫《统计数字会撒谎》运用综合指标对现象总体进行描述与分析，是统计研究的重要方法。综合指标种类从其反映现象的内容看，可以分为数量指标和质量指标。从综合指标的表现形式看，有总量指标、相对指标、平均指标、标志变异指标、动态指标和统计指数等。学习要点第一节总量指标第二节相对指标学习目标1、了解并掌握总量指标的概念、作用2、掌握相对指标的概念、作用与计算方法第一节总量指标一、总量指标的意义概念：总量指标是反映现象总规模、总水平或工作总量的综合指标，也称数量指标。特点：A.在形式上表现为绝对数B.数值大小随统计范围的大小而增减C.最常用、最基本的综合指标。D.应用总量指标可以反映现象总体的基本情况，便于对事物有一个基本了解。E.总量指标是计算其他形式指标的基础1、指标反映的具体内容划分总体总量指标（总体单位总量指标）：是用来反映总体中单位数的多少，说明总体本身规模大小的总量指标。如：对某地区居民粮食消费情况进行研究，该地区的居民人口数便是总体总量指标。总体单位数的加总。标志总量指标（总体标志总量指标）：是用来反映总体中标志值总和的总量指标。如：上例中粮食消费总量便是总体标志总量指标。总体各单位标志值的加总。二、总量指标的种类注意！

总体总量指标和标志总量指标的地位随统计研究的目的而变化。如：研究某地区粮食消费价格，粮食消费总量就变为总体单位总量指标了。2.按指标反映的时间状况划分时期指标：反映社会经济现象在一定时期内发展变化过程总量的指标如：商品销售额、总产值、基本建设投资额等。时点指标：反映社会经济现象在一定时点上达到的水平或所处状态的总量指标如：人口数、房屋的居住面积、企业数、企业库存量等。时期指标和时点指标的区别1.性质相同的时期指标的数值可以相加，时点指标相加则无意义

2.时期指标数值的大小与时期长短有直接关系，时点指标则没有这种关系。

3.时期指标数值是经常、连续登记取得的，时点指标则是间断登记获得的。3.按指标采用的计量单位划分(1)价值指标A、概念表明现象总体的价值总量，它以货币单位计量。B、作用：用于反映经济活动总成果，并通过分类指标的计算，研究它们之间的比例关系。常被用于分析综合总量在不同时间的变动程度。是经济核算和效益评价必不可少的手段。C、局限性它脱离了物质内容，比较抽象，有时不能准确反映实际情况（2）实物指标A、概念表明现象总体的使用价值总量。它根据现象的自然属性和特点采用实物单位计量。B、分类自然单位：它是按照研究现象的自然状况来计量其数量的一种计量单位。如：个、位度量衡单位：它是按照统一的度量衡制度的规定来计量客观事物数量的一种计量单位。如：克、千克双重单位和复合单位：是指在需要同时采用两个或两个以上单位来计量事物时采用的单位。如：人公里、马力/台标准实物单位：按照统一折算的标准来度量被研究现象数量的一种计量单位。如：标准煤C、特点能直接反映产品的使用价值或现象的具体内容，因而能够具体地表明事物的规模和水平。是计算价值指标的基础。D、局限性

它不能说明不同类产品或商品的综合性能，对不同的物品不能相加。（3）劳动量指标A、概念以劳动过程中消耗的劳动时间为计量单位。B、作用为成本核算和计算劳动生产率提供依据。如：工时、工日、人工数等1、计算总量指标时，首先要对指标的实质，包括其含义和范围，作出严密的科学界定。2.汇总时，必须保证总量指标的同质性。不同性质的产品或商品不能进行汇总。3、要有明确的经济内容、计算范围、计量方法与统计口径。如GDP的计算就应该明确其经济内容，即从国民生产总值中扣除国外要素收入的净额。计算范围：空间、时间计算口径：工业产值有的年份包括村工业、有的年份不包括，应用时应该特别注意。4.注意计量单位的同一性即使是价值单位，美元就不能与其他货币直接相加三、计算总量指标应注意的问题

第二节相对指标1.相对指标的意义2.计划完成相对数3.结构相对数4.比较相对数5.强度相对数6.动态相对数（一）定义

相对指标是现象或过程中两个相互联系的指标的比率，以一个抽象化的数值表明事物所固有的数量对比关系。相对指标在社会经济领域广泛存在。借助相对指标对现象进行对比分析，是统计分析的基本方法。一、相对指标的意义（二）意义计算相对指标可以把有关指标联系起来进行比较分析，从而认识事物的本质和全貌。计算相对指标可以使不能直接对比的现象找到共同的比较基础。把两个具体数值抽象化，使人们对现象之间所存在的固有联系有较为深刻的认识。社会经济现象中两个相互联系的指标数值之比，反映现象之间所固有的数量对比关系。相对指标所要说明的是现象发展变化的程度、强度、趋势、普遍程度、比例关系和总体结构等。（三）作用1.反映现象间数量对比关系。2.反映现象发展变化程度、速度、强度、质量、效益等。3.弥补总量指标的不足，便于比较。使用相对指标能够进行横向、纵向比较（四）特点

1、将对比的基础抽象化。

2、抽象化掩盖了绝对数的规模

（五）表现形式

1、有名数：主要用于强度相对指标数值的表示，它把计算强度相对指标时的分子和分母指标数值的计量单位同时使用2、无名数：一般表现，是一种抽象化的计算单位。倍数（或系数）：是将对比的基数定为1而计算出来的相对数。成数：是将对比的基数定为10而计算出来的相对数。百分数：是将对比的基数定为100而计算出来的相对数。千分数：是将对比的基数定为1000而计算出来的相对数。

“百分点”的概念

1、百分点常用于两个百分数相减的场合。如：在股票交易市场上，确定某一时间的股票价格为基数，将两个不同时间股票价格与之相比，分别为150％和120％，那么后一时间上的股票价格比前一时间下降了30个百分点（120％－150％）。

2、利率等货币市场

二、计划完成程度相对指标（1）定义

简称计划完成程度指标、计划完成百分比，用来检查、监督计划执行情况，它以现象在某一段时间内的实际完成数与计划任务数对比，借以观察计划完成程度。（2）表示一般用百分数表示。计划完成程度相对指标＝（3）公式：分子项是根据实际完成情况进行统计而得的数据，分母项是下达的计划指标，公式中的分子项和分母项数值表明计划执行的绝对效果。计划任务数以绝对数形式出现例：某企业2009年产量计划完成1500吨，实际完成2000吨，则产量计划完成程度为该企业超额完成产量计划任务33%，实际产量比计划产量增加500吨。计划期中某一段实际累计数与全期计划数对比（说明计划执行的进度如何）例：某企业计划2010年产值达到2000万元，从1月份累计到8月份的产值达到1800万元，则：例：某厂五年计划规定，某种产品产量第五年应达到975吨，实际在第四年6月至第五年5月这十二个月就达到了975吨，则该产品计划提前完成时间

5*12-（4*12+5）=7

提前完成计划时间为7个月。计划任务是相对数形式：例：某企业计划规定劳动生产率比去年提高5%，实际比去年提高15.5%，则劳动生产率计划完成程度注意实际工作中，常常将实际超额数与计划增长数相减方法来表示计划超额情况，即15.5%-5%=10.5%，这是一种差额比较，不能与计划完成程度的计算混为一谈。

例：某企业计划规定某产品单位成本降低5%，实际降低7%，则成本降低计划完成指标为：实际成本比计划任务降低了2.1%。（2）公式：形式：计算结果用百分数或成数表示。三、结构相对指标（1）定义

在资料分组的基础上，以总体总量作为比较标准，求出各组总量占总体总量的比重。是反映总体内部组成情况的综合指标。计算内容有两个方面：

A、各组（部分）标志总量和总体全部标志总量对比。反映总体内部标志值的构成和特征如：各种经济类型的工业总产值之比

B、各组（部分）的总体总量与全部总体总量对比。反映总体单位在各组间的分布情况如：人口的文化程度构成（3）作用结构相对指标通过对比分析，研究总体内部各组成部分的分配比重及其变化情况，从而深刻认识事物各个部分的特殊性质及其在总体中所占有的地位和地位的变化。结构相对指标的特点

①各部分计算结果＜1

②各部分比重之和＝1③分子分母不能互换④分子分母指标的单位相同某地区2009年职工人数13511万人，其中全民所有制单位职工9984万人，城镇集体所有制单位职工3527万人，则：例四、比较相对指标（1）定义不同单位（国家、部门、地区、企业、个人等）的同类现象数量对比而确定的相对指标，用以说明某一同类现象在同一时间内各单位发展的不平衡程度，以表明同类事物在不同条件下的数量对比关系。或同一总体中各组（部分）之间数量对比形成的相对指标。计算比较相对指标可以用总量指标、相对指标或平均指标。

（2）形式：通常用百分数或倍数表示（3）公式：比较相对指标=或=

（4）作用运用比较相对指标对不同国家、不同地区、不同单位的同类指标对比，有助于揭露矛盾、找出差距、挖掘潜力，促进事物进一步发展。（5）特点①对比的分子分母必须是同质现象②分子、分母可互换，可称之为基位互换例：2007年，甲市工业总产值为405.51亿元，乙市为436.98亿元，丙市为1066.72亿元，以甲市为基础，既作100%，则丙市为甲市的263.06%（1066.72/405.51），乙市为甲市的107.76%（436.98/405.51）。例：甲乙两公司2005年商品销售额分别为5.4亿元和3.6亿元，则甲公司商品销售额为乙公司的1.5倍（＝5.4／3.6）。五、比例相对指标比例相对指标是同一总体内某一部分数值与另一部分数值对比的比值，或者是将总体按某一标志分组后，用各组的总量指标数值相对比而求得的比值或比例。计算公式为：计算比例相对指标的分子分母同属一个总体，而且分子与分母的位置可以互换，分子与分母互换，表示比较的基准变化了。在实际工作中，比例相对指标是经常用到的一个相对指标。如人口的性别比例、学校的生师比、轻工业与重工业之比、农村居民与城镇居民的收入之比等。2017年，我国人口的男女性别比为104.81:100；我国城乡居民可支配收入比为2.71:1。六、强度相对指标（1）定义两个性质不同而有联系的总量指标之间的对比，用来表明某一现象在另一现象中发展的强度、密度和普遍程度。（2）公式：强度相对指标（3）表示强度相对指标以复合单位来表示，有些强度相对指标采用无名数。对少数分子与分母计量单位相同的强度相对指标，则用百分数、千分数来表示。如资金利润率、流通费用率等。强度相对指标的特殊使用是按平均每个人摊得到的份额表示。例：1995年我国国内生产总值为57733亿元，全国人口为12121万人，则平均每人的国内生产总值为4767元/人由于强度相对指标的分子和分母可以互换，因此可以形成正指标和逆指标两种计算方法。这两种指标说明的是同一个问题，只是侧重点不一样。正指标：相对指标的数值大小与现象的发展程度或密度成正比。逆指标：相对指标的数值大小与现象的发展程度或密度成反比。

例：某地区有300个商业部门，共有3000人，则该地区商业网点密度：每千人拥有商业机构数=300/3=100个（正指标越大越好）每个商业机构的服务人数=3000/300=10个（逆指标越小越好）例：反映卫生事业对居民服务保证程度的指标：每千人口的医院床位数＝医院床位数（张）／人口数（千人），这是正指标。每张医院床位所服务的人口数=人口数(千人)/医院床位数(张)，这是逆指标。

（4）应用强度相对指标应用十分广泛，它可以反映国民经济和社会发展的基本情况；反映生产条件及公共设施的配备情况；也可以反映经济效益的情况。用于说明现象发展的强度、密度及普遍程度。（5）特点①不同总体对比②具有平均含义③分子分母可互换

注意:有的强度相对指标的分子和分母不可以互换。如：钢铁产量/人口，说明钢铁生产发展的普遍程度和强度。而人口/钢铁产量，则没有任何意义强度相对指标是一个比较难认识的指标，要用好这个指标，应注意以下几点：1.在进行计算和分析时，一定要选择两个有联系的总量指标进行对比，这样算出的强度指标才有意义，否则就可能牵强附会，甚至产生错误的表象。如可以用人均钢铁产量来说明一个国家或地区的钢铁发展的普遍程度即实力，但人口数与钢铁产量之比则没有任何意义；2.强度相对指标有平摊的效果，但是不是平均指标，其区别就是强度指标是两个不同总体的总量指标的对比，而平均指标是同一个总体的两个总量指标的对比；3.在强度相对指标计算中，分子项和分母项指标可以互换，从而产生了正指标和逆指标之别。七、动态相对指标（1）定义

动态相对指标又称发展速度，它是某一指标不同时间上的数值对比的结果。或者说是同一总体同类现象不同时期的指标数值对比而形成的相对指标。表示同类事物的报告期（被研究的时期，又称本期、计算期）与基期（作为比较基准的时期）对比的发展变化的程度。（2）表示动态相对指标一般用倍数或百分数表示。用于说明现象在时间上的发展变动程度及方向。（3）公式动态相对指标＝（4）作用

动态相对指标对于分析研究社会经济现象的发展变化过程具有重要意义。（时间序列分析）八、计算和应用相对指标应注意的问题

1、严格保证两个对比指标的可比性

可比性：经济内容、总体范围、计算方法、计量单位和时间、空间等方面相互保持一致。如：两个国家的GDP比较，要注意计算方法、货币及其币值。

2、相对指标与总量指标结合起来运用相对指标是一个抽象化的比率，反映了现象间的联系和变动程度，虽然揭示了两个现象间的数量差异，但不能反映绝对水平上的差异。因此，不能仅凭相对指标的数值大小，来分析、判断现象的数量关系。

如：穷、富两个地区（两个国家）的经济增长率。为什么？（基数不同）3．注意多种相对指标的结合使用要全面、系统、深入地说明问题，就要善于充分应用相对指标，即不但要将总量指标与相对指标结合使用，还要注意用活多种相对指标。例如，分析企业的生产经营状况，可以计算计划完成相对数用以说明计划完成情况，还需要把本期的实际水平与前一期的实际水平对比，分析发展变化情况。同时，计划本身存在一定的结构比例关系，为实现这种结构比例，使生产经营协调稳定地发展，就要计算结构相对指标。除了要进行企业内部的有关分析外，企业又是处在同行竞争中的一员，因此要计算比较相对指标。4、要正确地选择作为比较标准的基数。基数：计算相对指标的分母的数值，是对比的标准。如果基数选择不当，就不能科学地反映现象间的数量对比关系。基数确定：被研究现象的性质、特点及统计研究的任务而定。一般来说，基数的确定应该立足于大量观察中，不宜较小的数字计算相对指标。例如：先进技术推广应用效果；检测某种产品的质量状况。判断题相对指标都是用无名数形式表现出来的。（）答案：×

强度相对指标的计量单位是有名数（有名数）填空题：总量指标按其反映的内容不同可以分为

和

；按其反映的时间状况不同可以分为

和

。答案：总体总量指标标志总量指标时期指标时点指标填空题：

某地区某年的财政总收入为248.50亿元，从反映总体的时间上看，该指标是

指标；从反映总体的内容上看，该指标是

指标。答案：时期标志总量

单选题计算结构相对指标时，总体各部分数值与总体数值对比求得的比重之和（）。

A.小于100%B.大于100%

C.等于100%D.小于或大于100%答案:C多选题相对指标的计量单位有（）。

A.百分数B.千分数

C.系数或倍数D.成数E.有名数答案:ABCDE

多选题下列统计指标属于总量指标的是(）。

A.工资总额

B.商业网点密度

C.商品库存量

D.人均国民生产总值

E.进出口总额答案：ACE下列指标中属于时期指标的有()。

A、职工人数B、大学生毕业人数

C、储蓄存款余额D、人口数

E、出生人数答案:BE

多选题下列指标中为结构相对指标是（）。

A.集体所有制企业职工占总职工数的比重

B.某工业产品产量比上年增长的百分比

C.大学生占全部学生的比重

D.某年资本形成总额占国内生产总值的比重

E.某年人均消费额答案:ACD2010年末我国共有总人口13.4亿人，其中男性人口为6.9亿，女性人口为6.5亿。试计算男性和女性人口的比重。计算题：某公司有3个企业生产某种产品产量计划完成情况如下：单位（吨）试计算截止第三季度该公司和各企业对全年计划的执行进度（%）825011000

合计45902980680600040001000甲乙丙截止第三季度实际产量全年计划

产量

企业

截止第三季度对全年计划的执行进度（%）计算题：某公司有3个企业生产某种产品产量计划完成情况如下：单位（吨）825011000

合计45902980680600040001000甲乙丙截止第三季度实际产量全年计划

产量

企业

75.076.574.568.0截止第三季度对全年计划的执行进度（%）时间过去75%，各企业计划执行情况应与时间一致。全公司刚好达到该要求，但三个企业发展不平衡；甲企业进度较快，但乙、丙两企业都没有达到计划进度，丙企业滞后较严重。第四章

平均指标与变异指标学习要点：第一节集中趋势指标—平均指标第二节集中趋势指标——位置平均数第三节

离中趋势指标——变异指标第四节

数据分布的偏态与峰度

学习要求：1.理解没有平均数就没有统计学。2.算术平均数、调和平均数、几何平均数、中位数、众数的概念、计算与应用3.理解算术平均数的数学性质4.极差、平均差、异众化率、四分位数差、方差与标准差、变异系数的概念、计算与应用5.峰度、偏度的概念、计算与应用在对社会现象的统计学研究中，理论社会科学所关心的结构实际上消失了。统计学可以给我们提供用来建立结构的原料，但它不能告诉我们有关这种结构本身的任何事情，在有些领域这一点是显而易见的。对词语的统计不能告诉我们有关语言结构的任何东西，这一点是很难否认的。但是尽管有时候会有相反助长，对于另一些有着系统相关性的整体，比如价格体系，这种观点同样正确。有关各种要素的统计信息，不可能为我们解释相关整体的性质。——1974年诺贝尔经济学奖得主

F.A.冯.哈耶克《科学的反革命》第四章

平均指标与变异指标第一节集中趋势指标

——平均指标平均指标又称为平均数，是反映总体各单位某一数量标志在一定条件下的一般水平的综合指标。一、平均指标的基本概念与特点集中趋势是一个统计学的特有的概念。所谓集中趋势，就是标准值向某个指标靠拢的趋势，这个指标就是平均指标，又叫平均数，是反映总体各单位某一数量标志在一定时间、地点条件下所达到的一般水平与大量单位的综合数量特征。同质总体，就某一种标志值而言，由于偶然因素的存在，各单位标志值有大有小，但是其数量上的差异总有一定的范围。因此，就有可能也有必要利用一定的量来代表总体单位数量特征的一般水平。根据偶然与必然关系原理，综合大量观察，偶然因素的影响就会被排除，总体单位标志值整体实际具有的水平必然要显现出来。平均指标有三个特点：一是总体各单位某种标准值的一个代表水平即一般水平；二是将总体各单位的数量差异抽象化，它不同于各单位的具体水平，又能反映这些单位的一般水平；三是其计量单位与标准值的计量单位一致。平均数思想是统计方法论的灵魂平均指标是一个综合指标，其特点是将总体各单位的数量差异抽象化。平均指标在统计学理论体系构建中具有极其重要的地位。从统计思想方法的角度来看，平均数思想是统计方法论的灵魂，即没有平均数就没有统计学。二、平均指标的作用在统计分析中，平均指标有着广泛的作用：第一，平均指标反映总体各单位变量分布的集中趋势。总体各单位某一数量标志在数量上的变化是有差异的，变量从小到大形成一定的分布。标志值很小很大的单位都比较少，而逐渐靠近平均数的标志值所分布的单位数逐渐增加，围绕在平均数附近的标志值所分布的单位数占最大比重，即平均数反映了标志值变动的集中趋势，因此，平均数又被称为集中趋势指标。第二，平均指标用于比较同类现象在不同总体的发展水平，以说明工作水平、经济效益或工作质量的差距。评价不同总体的情况，一般不宜用总量指标进行对比，因为该指标受到规模大小不同的影响。而使用诸如劳动生产率、平均成本、平均成绩、平均收入等平均指标，由于消除了总体规模大小的影响，就可以直接评价不同总体的情况。第三，平均指标用于同一个总体在不同时间的比较，可以说明其动态发展的情况。对总体发展变化的评价就不能用具体单位的发展情况反映总体发展的趋势，而要用消除了单位数影响的平均指标才能反映总体的发展态势和变化过程。比如，研究职工收入的变动情况。第四，平均指标用于分析现象之间的依存关系一种现象往往与其他现象之间存在着普遍、经常的联系，然而，有些现象之间的联系紧密，有些联系不太紧密，而从统计意义上看，“有联系”的关系是统计的重要研究对象之一。所谓在统计意义上现象之间有关系，是指这种关系是重要而明显的，并非可有可无的关系要发现现象之间的依存关系，只有用统计分组法和平均指标才能达到目的。比如，居民的收入与其受到的教育程度之间的关系。将居民按不同文化程度分组，再计算各组居民的平均收入，就可以统计分析居民收入与受教育程度之间关系的密切程度。【例】某企业有50个工人，他们每人每日加工的某种零件数，编成单项数列如下，计算该企业全部工人的平均日产量。日产量（X）工人人数（f）20212223242526271468121072合计50三、集中趋势的度量三、集中趋势的度量

度量集中趋势的平均指标可以从两种途径得到，一种是通过数据的计算得到，即平均数（或计算均值），具体有算术平均数、调和平均数和几何平均数；另一种是通过数据的位置获得，即位置平均数（或位置均值），具体有中位数、众数和分位数。（一）算术平均数1．算术平均数算术平均数（ArithmeticMean）是总体单位标志值除以单位总量的数值，是计算平均指标的基本方法。基本方法是指既直接反映了平均数的朴素的思想，又反映出消除单位多少影响即消除偶然因素影响的简单手段。简单算术平均数(simplemean)设一组数据为：x1，x2，…

，xn总体均值样本均值加权算术平均数

(weightedmean)设一组数据为：x1，x2，…，xn相应的频数为：f1，f2，…，fk总体均值样本均值【例】某企业有50个工人，他们每人每日加工的某种零件数，编成单项数列如下，计算该企业全部工人的平均日产量。日产量（X）工人人数（f）20212223242526271468121072合计50总产量（Xf）20=20×184=21×4132=22×6184=23×8288250182541194计算栏加权算术平均数(例题分析)

加权算术平均数（算例）表某车间50名工人日加工零件均值计算表按零件数分组组中值（xi）频数（fi）xffi105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.5358141064322.5562.5940.01715.01275.0795.0550.0合计—506160.0例7根据下表数据，计算50名工人日加工零件数的均值加权算术平均数(权数对均值的影响)

甲乙两组各有10名学生，他们的考试成绩及其分布数据如下

甲组：

考试成绩（X）: 020100

人数分布（f）：118

乙组：考试成绩（X）: 020100

人数分布（f）：811X甲0×1+20×1+100×8n

10i=1

Xifi

82（分）X乙0×8+20×1+100×1n

10i=1

Xifi

12（分）2．算术平均数的数学性质1. 各变量值与均值的离差之和等于零

2.各变量值与均值的离差平方和最小3．算术平均数的特点由于算术平均数具有良好的数学性质，因此其应用范围较广。但算术平均数易受极端值的影响，而且当组距数列有开口组时，其组中值即使按相邻组距加以计算，假定性也很大，这时，算术平均数的代表性就很不可靠。（二）调和平均数如果所掌握的数据资料中，只有总体标志总量数据m和变量值X，而没有掌握总体单位数（频数）资料，则计算平均数时就不能采用前面的简单算术平均数方法计算，而需要采用调和平均数方法计算。1．调和平均数的计算方法与算术平均数类似，调和平均数（HarmonicMean）也有简单调和平均数和加权调和平均数两种形式。

计算公式为原来只是计算时使用了不同的数据！调和平均数

(算例)表某日三种蔬菜的批发成交数据蔬菜名称批发价格(元)xi成交额(元)xifi成交量(公斤)fi甲乙丙1.200.500.8018000125006400合计—【例8】某蔬菜批发市场三种蔬菜的日成交数据如表，计算三种蔬菜该日的平均批发价格调和平均数

(算例)表某日三种蔬菜的批发成交数据蔬菜名称批发价格(元)xi成交额(元)xifi成交量(公斤)fi甲乙丙1.200.500.801800012500640015000250008000合计—3690048000【例8】某蔬菜批发市场三种蔬菜的日成交数据如表，计算三种蔬菜该日的平均批发价格【例】假定有A、B两家公司员工的月平均工资和工资总额的分组资料如表4-7所示。试分别计算A、B两家公司的平均工资。平均工资作为“单位标志平均数”仍然必须是标志总量（工资总额）与单位总数（员工总数）之比。依据给出的A、B两公司的月平均工资水平和工资总额的分组资料，首先要用每组的工资总额来除以该组的月平均工资，得到各组的员工人数，进而加总得到全公司的员工总数2．由相对数或平均数计算平均数【例】假定已知某行业150家企业某年一季度和二季度的产值利润率、实际产值和实际利润资料如下表所示，试分别计算这150家企业一季度和二季度的平均产值利润率。5～1010～20307057002050050807103

514产值利润率（%）一季度二季度企业数（个）实际产值（万元）企业数（个）实际利润（万元）5-1010-2020～303070505700205002250050802071035142250合计1504870015064743．调和平均数的特点（1）调和平均数易受极端值的影响，且受极小值的影响比受极大值的影响更大。（2）只要有一个变量值为零，就不能计算调和平均数。（3）当组距数列有开口组时，其组中值即使按相邻组距计算了，假定性也很大，这时，调和平均数的代表性就很不可靠。（4）调和平均数应用的范围较小。（三）几何平均数几何平均数（GeometricMean）也称为几何均值，是n个变量值乘积的n次方根。根据统计资料的不同，几何平均数也有简单几何平均数和加权几何平均数之分。1．简单几何平均数直接将n项变量值连乘，然后对其连乘积开n次方根所得的平均数即为简单几何平均数。其计算公式为可看作是平均数的一种变形几何均值

(例题分析)

【例】一位投资者购持有一种股票，在2000年、2001年、2002年和2003年收益率分别为4.5%、2.1%、25.5%、1.9%。计算该投资者在这四年内的平均收益率算术平均：

几何平均：2．加权几何平均数与算术平均数一样，当资料中的某些变量值重复出现时，相应地，简单几何平均数就变成了加权几何平均数。3．几何平均数的特点（1）几何平均数受极端值的影响较算术平均数小。（2）如果变量值有负值，计算出的几何平均数就会成为负数或虚数。因此，在变量值有负值或0值时，不宜采用几何平均数计算公式计算。（3）几何平均数仅适用于具有等比或近似等比关系的数据。（4）几何平均数的对数是各变量值对数的算术平均数。计算题1、如果你到三个农贸市场去买牛肉，这三个市场的牛肉的单价每公斤分别是9元、10元和11元，你在这三个市场各买了5公斤，则其平均价格是多少？如果你在这三个市场各买了100元的牛肉，则平均价格又是多少？（要求写出计算过程、计算结果百分数保留2位小数）讨论题：平均数的应用网上曾有着这么一段顺口溜批评用平均收入来反映居民的收入水平。“张庄有个张千万，两个邻居穷光蛋，将在一起求平均，个个收入超百万”。请你用平均数的知识对此进行评论。这个批评有正确的一面，即平均数受极值的影响很大，平均水平可能掩盖两极分化的现象。但也有不够准确的一面。实际上，统计中的居民平均收入不是根据小样本计算的而是根据大量观察的结果计算的，平均水平确实可以代表一定时期居民的收入水平。当然，为了反映其代表性还可以计算收入水平的方差和变异系数。第二节集中趋势指标

——位置平均数位置平均数，就是根据总体中处于特殊位置上的个别单位或部分单位的标志值来确定的代表值。它对于整个总体来说，具有非常直观的代表性，因此，常用来反映分布的集中趋势。常用的有众数和中位数。

一、众数1．众数的含义统计上把在一组数据中出现次数最多的变量值称为众数。众数(确定方法)

根据掌握资料的不同，众数的确定方法两种：方法一:根据未分组数据或单项变量数列计算众数，只需找出出现次数最多的变量值即为众数方法二、对分组数据，众数的值要根据相邻两组的频数分布来确定众数(不惟一性)无众数

原始数据:10591268一个众数

原始数据:65

9855多于一个众数

原始数据:252828

364242类型数据的众数(算例)【例】根据表中的数据，计算众数表某城市居民关注广告类型的频数分布

广告类型人数(人)比例频率(%)

商品广告服务广告金融广告房地产广告招生招聘广告其他广告112519161020.5600.2550.0450.0800.0500.01056.025.54.58.05.01.0合计2001100解；本例的变量为“广告类型”，这是定类数据，不同类型的广告就是变量值。从表中可以看出，在所调查的200人当中，关注商品广告的人数最多，为112人，占总被调查人数的56%，因此众数为“商品广告”这一类别，即

Mo＝商品广告顺序数据的众数(算例)【例】根据表中的数据，计算众数表甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数(户)百分比(%)

非常不满意不满意一般满意非常满意24108934530836311510合计300100.0解：本例的数据为定序数据。变量为“回答类别”。甲城市中对住房表示不满意的户数最多，为108户，因此众数为“不满意”这一类别，即

Mo＝不满意数值型分组数据的众数

(要点及计算公式)1.众数的值与相邻两组频数的分布有关4.该公式假定众数组的频数在众数组内均匀分布2.相邻两组的频数相等时，众数组的组中值即为众数Mo3.相邻两组的频数不相等时，众数采用下列近似公式计算MoMo等价公式：

式中，U表示众数组的上限值

【例】根据表中的数据，计算50名工人日加工零件数的众数

表某车间50名工人日加工零件数分组表按零件数分组频数（人）累积频数105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140358141064381630404650合计50—3．众数特点（1）众数是以其在所有标志值中所处的位置确定的全体单位标志值的代表值。由于不受分布数列的极大或极小值的影响，从而增强了众数对分布数列的代表性。（2）当分组数列中没有任何一组的次数占多数，也即分布数列中没有明显的集中趋势，而是近似于均匀分布时，则该次数分配数列无众数。若将无众数的分布数列重新分组或各组频数依序合并，又会使分配数列再现出明显的集中趋势。（3）如果与众数组相比邻的上下两组的次数相等，则众数组的组中值就是众数值；如果与众数组比邻的上一组的次数较多，而下一组的次数较少，则众数在众数组内会偏向该组下限；如果与众数组比邻的上一组的次数较少，而下一组的次数较多，则众数在众数组内会偏向该组上限。（4）众数缺乏敏感性。这是由于众数的计算只利用了众数组的数据信息，不像数值平均数那样利用了全部数据信息。二、中位数1．中位数的含义中位数（Median）是将一组数据按大小顺序排列起来，形成一个数列，居于数列中间位置的那个数据就是中位数。中位数用Me表示。中位数(median)1.排序后处于中间位置上的值Me50%50%不受极端值的影响主要用于顺序数据，也可用数值型数据，但不能用于定类数据各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即中位数

(位置的确定)原始数据：

顺序数据：未分组数据的中位数(计算公式)定序数据的中位数

(算例)【例】根据表中的数据，计算甲城市家庭对住房满意状况评价的中位数解：中位数的位置为

300/2＝150从累计频数看，中位数在“一般”这一组别中。因此

Me＝一般表甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数(户)累计频数

非常不满意不满意一般满意非常满意2410893453024132225270300合计300—数值型数据的中位数

(9个数据的算例)【例】9个家庭的人均月收入数据原始数据:15007507801080850960200012501630排序:7507808509601080

1250150016302000位置:123456789中位数

1080

数值型数据的中位数

(10个数据的算例)【例】：10个家庭的人均月收入数据排序:660

75078085096010801250150016302000位置:1234

5678910

根据位置公式确定中位数所在的组采用下列近似公式计算：3.该公式假定中位数组的频数在该组内均匀分布数值型分组数据的中位数

(要点及计算公式)数值型分组数据的中位数

(算例)表某车间50名工人日加工零件数分组表按零件数分组频数（人）累积频数105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140358141064381630404650合计50—【例】根据表中的数据，计算50名工人日加工零件数的中位数三、众数、中位数和算术平均数的比较左偏分布均值

中位数

众数对称分布

均值=中位数=

众数右偏分布众数

中位数均值1、众数、中位数和均值的关系在统计实务中，可以利用算术平均数、中位数和众数的数量关系判断次数分布的特征。此外，还可利用三者的关系进行相互之间的估算。2．众数、中位数和算术平均数的应用众数：不受极端值的影响。任何类型的数据资料都可以计算，但主要适合于作为类型数据；即使资料有开口组仍然能够使用众数。但众数不适于进一步代数运算，而且有的资料中根本不存在众数；当资料中包括多个众数时，很难对它进行比较和说明，其应用不如算术平均数广泛。中位数：不受极端值的影响。除了数值型数据，顺序数据也可以计算，而且主要适合于作为顺序数据的集中趋势测度值，开口组资料也不影响计算。中位数不适于进一步代数运算，应用不如算术平均数广泛。算术平均数：含义通俗易懂，直观清晰；全部数据都要参加运算，可靠且具有代表性。任何一组数据都有一个平均数，而且只有一个平均数。用统计方法推断几个样本是否取自同一总体时，必须使用算术平均数。算术平均数具有优良的数学性质，适合于代数方法的演算。算术平均数是实际中应用最广泛的集中趋势测度值，主要适合于作为数值型数据的集中趋势测度值，并且受极端值的影响。对偏态分布的数据，算术平均数的代表性较差。资料有开口组时，按相邻组组距计算时假定性很大，对一组数据的代表性不够。用简单的描述统计量得到一个重要发现

费舍(R．A．Fisher)在1952的一篇文章中举了一个例子，说明如何由基本的描述统计量的知识引出一个重要的发现。20世纪早期，哥本哈根卡尔堡实验室的施密特(J.Schmidt)发现不同地区所捕获的同种鱼类的脊椎骨和鳃线的数量有很大不同；甚至在同一海湾内不同地点所捕获的同种鱼类，也发现这样的倾向。然而，鳗鱼的脊椎骨的数量变化不大。施密特从欧洲各地、冰岛、亚速尔群岛以及尼罗河等几乎分离的海域里所捕获的鳗鱼的样本中，计算发现了几乎一样的均值和标准偏差值。由此，施密特推断所有各个不同海域内的鳗鱼是由海洋中某公共场所繁殖的。后来名为“戴纳(Dana)”的科学考察船在一次远征中发现了这个场所。第三节离中趋势指标

——变异指标1.全距2.平均差3.异众化率4.四分位差5.方差和标准差6.变异系数一、变异指标的概念与作用变异指标是反映总体各单位标志值差别大小程度的综合指标，又称为标志变动度。在反映总体一般数量水平的同时，平均指标掩盖了总体各单位标志值的数量差异。变异指标弥补了这方面的不足，可综合反映总体各单位标志值的差异性，从另一方面说明了总体的数量特征。变异指标是衡量平均指标代表性的尺度。二、全距也称极差，是指总体各单位的两个极端标志值之差。离散程度的最简单测度值易受极端值影响未考虑数据的分布7891078910未分组数据

R=max(xi)-min(xi)计算公式为组距分组数据R=最高组上限-最低组下限三、平均差

(概念要点及计算公式)1.离散程度的测度值之一2.各变量值与其均值离差绝对值的平均数3.能全面反映一组数据的离散程度4.数学性质较差，实际中应用较少5.计算公式为未分组数据组距分组数据平均差

（计算过程及结果）表某车间50名工人日加工零件标准差计算表按零件数分组组中值(xi)频数(fi)|xi-x||xi-x|fi105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.535814106415.710.75.70.74.39.314.347.153.545.69.843.055.857.2合计—50—312【例13】根据表中的数据，计算工人日加工零件数的平均差四、异众比率异众比率（Variationratio）是指一组数据中非众数（组）的频数占总频数的比例。既适用于定性数据，也适用于定量数据，但主要用于测度分类数据的离散趋势。用Vr表示。计算公式是：异众比率的作用是衡量众数对一组数据的代表性程度的指标。异众比率越大，说明非众数组的频数占总频数的比重就越大，众数的代表性就越差；反之，异众比率越小，众数的代表性就越好。五、四分位数差四分位数是指一组数据按大小排序后处于25％和75％位置上的值，也称四分位点。通常所说的四分位数分别是指下四分位数（用QL表示）和上四分位数（用QU表示），前者指处在25％位置上的数值，后者指处在75％位置上的数值。下四分位数和上四分位数的计算是，先对数据进行按从小到大排序，然后由公式确定下四分位数和上四分位数的位置，该位置对应的数值就是下四分位数和上四分位数的数值；当四分位数的位置不是整数时，按比例分摊四分位数两侧的差值。【例】在某小区随机抽取9个家庭，调查得到每个家庭的人均月收入数据（单位：元）分别是1450，950，820，860，1060，900，1280，1040，1700。要求计算这九个家庭人均月收入水平的四分位数。解：将数据由小到大按顺序排列：820，860，900，950，1040，1060，1280，1450，1700。在计算出上四分位数与下四分位数的数值后，就可以计算出四分位数差(或称内距或四分间距)（inter-quartilerange）：四分位数差是上四分位数与下四分位数之差，用Qd表示，其计算公式为：即：1365-880=485元六、方差和标准差方差和标准差

(VarianceandStandarddeviation)1. 离散程度的测度值之一2. 最常用、最重要的测度值3. 反映了数据的分布反映了各变量值与其均值的平均差异根据总体数据计算的，称为总体方差或标准差；根据样本数据计算的，称为样本方差或标准差4681012

x=8.3总体方差和标准差

(PopulationvarianceandStandarddeviation)未分组数据：组距分组数据：未分组数据：组距分组数据：方差的计算公式标准差的计算公式总体标准差

（计算过程及结果）表某车间50名工人日加工零件标准差计算表按零件数分组组中值(Xi)频数(Fi)(Xi-X)2(Xi-X)2Fi105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.5358141064246.49114.4932.490.4918.4986.49204.49739.47572.45259.926.86184.90518.94817.96合计—50—3100.5【例14】根据表中的数据，计算工人日加工零件数的标准差样本方差和标准差

(simplevarianceandstandarddeviation)未分组数据：组距分组数据：未分组数据：组距分组数据：方差的计算公式标准差的计算公式注意：样本方差用自由度n-1去除!样本方差

自由度(degreeoffreedom)一组数据中可以自由取值的数据的个数当样本数据的个数为

n时，若样本均值

x

确定后,只有n-1个数据可以自由取值，其中必有一个数据则不能自由取值例如，样本有3个数值，即x1=2，x2=4，x3=9，则

x

=5。当

x=5

确定后，x1，x2和x3有两个数据可以自由取值，另一个则不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3则必然取2，而不能取其他值样本方差用自由度去除，其原因可从多方面解释，从实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方差去估计总体方差σ2时，它是σ2的无偏估计量自由度的理解：1.一组数据中可以自由取值的数据的个数2.一组数据中能够提供有效消息的数据的个数。如3,69，这组数据，平均数为6。则每个数据减去6，得到-3,0,3，这组数据能够提供有效信息的只有2个，即0和3，因为-3和3提供的信息一样。3.受约束的变量的个数。例15

某企业105名工人的月工资资料如下表所示.试计算其方差和标准差

按月工资分组工人数

fi组中值Xi离差Xi-离差平方(Xi-)2离差平方X权数(Xi-)2Xfi400-50010450-18132761327610500-60030550-816561196830600-700406501936114440700-