专题01 相似形与比例线段（原卷版）

专题01相似形与比例线段【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1相似图形的概念知识点2相似多边形的概念与性质（重点）知识点3两条线段的比及比例线段（重点）知识点4比例的性质（难点）知识点5黄金分割（难点）知识点6平行线分线段成比例（难点）【方法二】实例探索法题型1相似图形的判定题型2由相似多边形的概念判断命题的真假题型3识别成比例线段题型4与比例线段有关的计算题型5有关比例尺的计算题型6利用比例的性质进行计算题型7黄金分割的实际应用题型8平行线分线段成比例应用题型9设辅助元求值题型10重心的实际应用【方法三】差异对比法易错点1在求两条线段的比时忽略了要统一单位易错点2判断线段是否成比例时，局限于字母的顺序而出错易错点3解题时漏掉一个黄金分割点易错点4判断三角形中线段平行时，判断线段成比例时，比例式中不能有要证明的平行线【方法四】成果评定法期中期末中考真题练【学习目标】1.了解相似多边形及相似比等有关概念。2.了解比例线段的概念，了解比例的基本性质、合比性质、等比性质，会运用比例性质进行简单的变形。3.了解黄金分割点的概念，掌握三角形一边的平行线性质定理及推论；判定定理及推论；以及平行线分线段成比例定理的推导与应用；4、了解三角形的重心的意义和性质并能应用它解题；5、经历运用分类思想针对图形运动的不同位置分别探究的过程,初步领略运用运动观点、化归和分类讨论等思想进行数学思考的策略.【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1相似图形的概念相似形：我们把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形．重点剖析：相似图形不仅有平面图形，还有立体图形，在初中阶段主要研究平面图形的相似。在两个大小不相等的相似图形中，我们可以认为大的图形是由小的图形经过放大而成的，也可以认为小的图形是由大的图形经过缩小而成的。学法指导：两个图形相似是指它们的形状相同，与它们的位置、大小无关。【例1】下列给出的图形中，不是相似形的是（ ）（A）由同一张底片印出来大小不同的照片（B）一张巨幅画像和用照相机把它拍出来的照片（C）小明在平面镜和在哈哈镜里看到的他自己的像（D）五星红旗上的大五角星和小五角星【变式演练】下面的四个图案是空心的矩形，正方形，等边三角形，不等边三角形，其中每个图案的边的宽度都相等，那么每个图案中边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（）知识点2相似多边形的概念与性质（重点）如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1．注意！！！判断两个多边形是否相似时，既要考虑对应角是否相等，又要考虑对应边长度的比是否相等，二者缺一不可。学法指导：在判断两个多边形是否为相似多边形时，边数相同、角分别相等容易判断，而边是否成比例则需要通过计算来确定，即分别计算长边与长边的比，短边与短边的比，在判断时应注意对应关系。【例2】某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理由.

【变式演练】已知四边形与四边形相似，且.四边形的周长为26.求四边形的各边长.知识点3两条线段的比及比例线段（重点）两条线段的比：注意！！！在计算两条线段的比时，这两条线段的长度单位必须要统一。两条线段的比是一个没有单位的正实数，该比值与线段的长度无关。在地图或工程图纸上，图上距离与实际距离的比通常称为比例尺，因此比例尺也是两条线段的比的一种形式。2．成比例线段：对于四条线段、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意！！！比例线段是有顺序的，即比例线段、b、c、d与比例线段、c、b、d是不同的。【例3】下列各组线段中，成比例的一组是（ ）（A），，， （B），，，（C），，， （D），，，【例4】在比例尺为的地图上，量得与两地的距离是厘米，则与两地 的实际距离是 ．知识点4比例的性质（难点）（1）基本性质：如果，那么；如果，那么，，．（2）合比性质：如果，那么；如果，那么．（3）等比性质：如果，那么．重点剖析：利用比例的基本性质可以在比例式和等积式之间互相转化。将比例式化为等积式是有条件的，并不是比例式中的四个字母中的任意两个字母的乘积就等于另外两个字母的乘积，而是比例的外项之积等于内项之积。使用等比性质时，要注意b+d≠0这个条件，否则这个性质不成立。【例5】设线段、、满足，求、、的值．【变式演练】如果，那么的值是（）A.B.C.D.知识点5黄金分割如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点．其中，，称为黄金分割数，简称黄金数．注意！！！一条线段有两个黄金分割点，因此，一般说点P是线段AB的黄金分割点时，需加注或AP＜BP，否则在已知AB的长度求AP（或BP）的长度时，会有两种情况，此时应分情况讨论。【例6】宽与长之比为的矩形叫黄金矩形.如图：如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论.【变式演练】主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，如果舞台AB长为20米，一个主持人现站在舞台AB的黄金分割点点C处，则下列结论一定正确的是（）①AB：AC=AC：BC；②AC≈6.18米；③；④．A.①②③④B.①②③C.①③D.④知识点6平行线分线段成比例一、三角形一边的平行线性质定理1、三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例．如图，已知，直线，且与、所在直线交于点和点，那么．三角形一边的平行线性质定理推论1、三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．如图，点、分别在的边、上，，那么．2、三角形的重心定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心．性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍．三、三角形一边的平行线判定定理及推论1、三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．2、三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．如图，在中，直线与、所在直线交于点和点，如果那么//．四：平行线分线段成比例定理1、平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例．如图，直线////，直线与直线被直线、、所截，那么．2、平行线等分线段定理两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等．平行线分线段成比例速记口诀！！！平行线分线段，成比例是关键。先找出平行线，再找出上、下、全，对应之比均相等，代入数值求线段。【例7】如图已知直线截△ABC三边所在的直线分别于E、F、D三点且AD=BE.

求证：EF：FD=CA：CB.

【变式演练】如图,在⊿ABC,DG∥EC,EG∥BC,求证:【例8】.已知，△ABC中，G是三角形的重心，AG⊥GC，AG=3，GC=4，求BG的长.【例9】如图，AM是△ABC的中线，P是AM上任意一点，BP、CP的延长线分别交AC、AB于E、D两点.求证：DE∥BC.【变式演练】如图，在△ABC（AB＞AC）的边AB上取一点D，在边AC上取一点E,使AD=AE,直线DE和BC的延长线交于点P,求证：.【例10】如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（）A． B． C． D．【变式演练】如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（）B.2C.D.【例11】如图，//，且．求证：//．【变式演练】如图，、是的边上的两点，满足．联结，过点作//，交边于点，联结．求证：//．【方法二】实例探索法题型1相似图形的判定【例12】（2022秋•浦东新区期末）下列图形，一定相似的是（）A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．两个等边三角形 D．两个菱形【变式演练】（2022秋•闵行区期中）下列各组图形中一定是相似形的是（）A．两个长方形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个平行四边形题型2有多边形的概念判断命题的真假【例13】（2022秋•黄浦区校级期末）下列说法中，正确的是（）A．两个矩形必相似 B．两个含45°角的等腰三角形必相似 C．两个菱形必相似 D．两个含45°角的直角三角形必相似【变式演练】（2022秋•浦东新区校级期中）下列判断中，正确的是（）A．所有等边三角形都相似 B．有一个角是40°的等腰三角形都相似 C．所有矩形都相似 D．所有菱形都相似题型3识别比例线段【例14】（2023•金山区一模）下列各组中的四条线段成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cm C．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，4cm，6cm，9cm【变式演练】（2021秋•徐汇区校级期中）下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（）A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 C．，b＝3，c＝2， D．a＝2，，，题型4与比例线段有关的计算【例15】（（2023•奉贤区一模）已知线段a＝4，b＝16，如果线段c是a、b的比例中项，那么c的值是．【变式演练】（2022秋•浦东新区校级期末）已知线段a＝2cm、b＝8cm，那么线段a、b的比例中项等于cm．【例16】（2022秋•黄浦区月考）如果，那么＝．【变式演练】（2022秋•奉贤区期中）如果＝，那么＝．【例17】（1）求，，的第四比例项；（2）若，，的第四比例项是，求．题型5有关比例尺的计算【例18】（2022•宝山区模拟）在比例尺为1：50的图纸上，长度为10cm的线段实际长为（）A．50cm B．500cm C． D．【变式演练】（2021秋•金山区期末）在比例尺是1：200000的地图上，两地的距离是6cm，那么这两地的实际距离为（）A．1.2km B．12km C．120km D．1200km题型6利用比例的性质进行计算【例19】（2022秋•嘉定区期中）已知线段x，y．（1）当＝时，求的值；（2）当时，求的值．【变式演练】设线段、、满足，求、、的值．题型7黄金分割的实际应用【例20】（2022秋•嘉定区期中）已知点A、B、C在一条直线上，AB＝1，且AC2＝BC•AB，求AC的长．【变式演练1】（2022秋•宝山区校级月考）已知点C在线段AB上，且满足AC2＝AB•BC．（1）若AB＝1，求AC的长；（2）若AC比BC大2，求AB的长．题型8平行线分线段成比例的应用【例21】如图，中，，，，，，求的长．【例21】如图，在平行四边形中，点在边上，若， 则 ．【例22】如图，已知．，，求的长．（用、的代数式表示）．【例23】（2021秋•宝山区校级月考）如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．（1）如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的长．（2）如果DE：EF＝2：3，AB＝6，求AC的长．【变式演练1】如图，为平行四边形的对角线上一点，，的延长线交 的延长线于点，交于点，求的值．【变式演练2】如图，，，，求的值．【变式演练3】（2022秋•奉贤区期中）如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1、l2、l3所截．若AB＝3cm，BC＝5cm，EF＝4cm．（1）求DE、DF的长；（2）如果AD＝40cm，CF＝80cm，求BE的长．【变式演练4】（2022秋•松江区月考）如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且DE∥BC，AD＝3，AB＝4，AC＝6，求EC．【变式演练5】（2022•宝山区二模）已知：如图，点D、E、F分别在△ABC的边AB、AC、BC上，DF∥AC，BD＝2AD，AE＝2EC．（1）如果AB＝2AC，求证：四边形ADFE是菱形；（2）如果AB＝AC，且BC＝1，联结DE，求DE的长．【变式演练6】（2022秋•松江区月考）如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB＝1：3，AE＝3．（1）求EC的值；（2）求证：AD•AG＝AF•AB．【变式演练7】（2021秋•杨浦区校级月考）如图，点D为△ABC中内部一点，点E、F、G分别为线段AB、AC、AD上一点，且EG∥BD，GF∥DC．（1）求证：EF∥BC；（2）当，求的值．【例24】如图，为的中点，//，联结、分别交、于点和点．求证：//．【例25】点、分别在的边、上，且//，以为一边作平行四边 形，延长、交于点，连接，求证：//．题型9设辅助元求值【例26】（2021秋•奉贤区校级期中）已知：线段a、b、c，且．（1）求的值；（2）如线段a、b、c满足3a﹣4b+5c＝54，求a﹣2b+c的值．【例27】（2022秋•徐汇区期中）已知a：b：c＝2：3：4，a+b+c＝18，求a+b﹣c的值．【变式演练1】（2022秋•奉贤区期中）已知：＝＝，2x﹣3y+4z＝33，求代数式3x﹣2y+z的值．【变式演练2】（2022秋•上海月考）已知a、b、c分别是△ABC的三条边的边长，且a：b：c＝5：7：8，3a﹣2b+c＝9，求△ABC的周长．题型10重心的实际应用【例28】如图，、是的中线，交于点． 求证：．【变式演练】如图，在中，，是的重心，过作边的平行线交于 点，求的长．【方法三】差异对比法易错点1：在求两条线段的比时忽略了要统一单位。【例29】在比例尺为1：400000的地图上，量得线段AB两地距离是24cm，则AB两地实际距离为km．【变式演练】东海大桥全长千米，如果东海大桥在某张地图上的长为厘米，则这张地图 的比例尺是（ ）（A） （B） （C） （D）易错点2：判断线段是否成比例时，局限于字母的顺序而出错。【例30】已知有三条线段的长分别为，，的线段，请再添一条线段，使这四 条线段成比例，求所添线段的长度．【变式演练】已知甲、乙两个三角形相似，甲三角形的三边长分别为、、，乙三角形其中 一边的长为，求乙三角形的另外两边的长．易错点3：解题时漏掉一个黄金分割点【例31】（1）点是线段的黄金分割点，，厘米，求的长；（2）已知点是线段的黄金分割点，，求的值．【变式演练】如图，乐器上的一根弦厘米，两个端点、固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，求的长． 易错点4：判断三角形中线段平行时，判断线段成比例时，比例式中不能有要证明的平行线。【例32】如图，中，点在边上，点在边上，下列命题中不正确的是（）ABCEF （A）若//，则ABCEF （B）若，则// （C）若//，则 （D）若，则//【方法四】成功评定法一、单选题1．（2013·上海·中考真题）如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，DE//BC，EF//AB，且，那么等于（

）A．5∶8 B．3∶8 C．3∶5 D．2∶52．（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）如图，下列式子不一定能推得的是（

）A．； B．； C．； D．．3．（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）下列图形一定相似的是（

）A．两个平行四边形； B．两个矩形； C．两个菱形； D．两个正方形．4．（2022春·上海·八年级校考期末）如图，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中正确的是（）A． B． C． D．5．（2022秋·上海杨浦·九年级期末）已知点是线段上的一点，线段是和的比例中项，下列结论中，正确的是（

）A． B． C． D．6．（2022春·上海·八年级校考期末）如图，已知，求作，则下列作图正确的是（

）A． B．C． D．7．（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）点把线段分割成和两段，如果是种的比例中项．那么下列式正确的个数有（

）①

②

③

④A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题8．（2022秋·上海·九年级校考期中）在中，点、分别在的边、上，下列条件中能判定的是（

）A． B． C． D．三、填空题9．（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）已知，那么___________．10．（2022秋·上海·九年级上海市市北初级中学校考期中）已知线段，C是的黄金分割点，且，则_____．11．（2022秋·上海松江·九年级统考期末）我们知道：四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形是相似四边形．如图，已知梯形ABCD中，ADBC，AD＝1，BC＝2，E、F分别是边AB、CD上的点，且EFBC，如果四边AEFD与四边形EBCF相似，那么的值是_____．12．（2022秋·上海·九年级校考期中）已知，那么_______．13．（2021秋·上海青浦·九年级校考期中）已知线段，点P是线段的黄金分割点，且，那么的长为______．14．（2022秋·上海奉贤·九年级校考期中）如图，在菱形中，，点E、F是对角线上的点（点E、F不与B、D重合），分别连接若四边形是菱形，且与菱形是相似菱形，那么菱形的边长是_______．（用a的代数式表示）．15．（2022秋·上海金山·九年级统考期末）如图，AD是的中线，是AD的