专题16 难点探究专题：几何图形中动角问题压轴题三种模型全攻略（解析版）

专题16难点探究专题：几何图形中动角问题压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一几何图形中动角定值问题】 1【考点二几何图形中动角数量关系问题】 6【考点三几何图形中动角求运动时间问题】 10【过关检测】 18【典型例题】【考点一几何图形中动角定值问题】例题：（2023秋·湖南怀化·七年级统考期末）已知如图是的平分线，是的平分线，，(1)求的度数.(2)当射线在的内部线绕点转动时，射线、的位置是否发生变化？说明理由.(3)在（2）的条件下，的大小是否发生变化？如果不变，求其度数；如果变化，说出其变化范围.【答案】(1)(2)发生变化，理由见解析(3)不变，【分析】（1）根据角平分线的定义得出，进而根据即可求解；（2）根据，则转动时同样在动，同理也在动；（3）根据（1）的结论即可求解．【详解】（1）解：∵是的平分线，是的平分线，，∴，∴（2）解：∵，∴转动时同样在动，同理同样转动；（3）不变同样35°；解：当射线在的内部线绕点转动时，∵是的平分线，是的平分线，，∴，∴．【点睛】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·江西抚州·七年级统考期末）将一副三角板中含有60°角的三角板的顶点和另一块含有45°角的三角板的顶点重合于一点，绕着点转动含有60°角的三角板，拼成如图的情况，请回答问题：(1)如图1，当点在射线上时，直接写出的度数是____________度；(2)①如图2，当为的角平分线时，求出此时的度数；②如图3，当为的角平分线时，求出此时的度数；(3)若只在内部旋转，作平分线交于点，再作的平分线交于点，在转动过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个值；若变化，请说明理由．【答案】(1)(2)①；②(3)的值不会发生变化，，理由见解析【分析】（1）根据三角板中角度的特点进行求解即可；（2）①根据角平分线的定义得到，再根据进行求解即可；②根据角平分线的定义得到，再根据进行求解即可；（3）分别用表示出．再根据角平分线的定义表示出，，再根据进行求解即可．【详解】（1）解：由题意得，∴，故答案为：；（2）解：①由题意得，，∵为的角平分线，∴，∴；②由题意得，，∵为的角平分线，∴，∴；（3）解：的值不会发生变化，，理由如下：由题意得，，∵，∴，，∵平分，平分，∴，，∴．【点睛】本题主要考查了三角板中角度的计算，角平分线的定义，熟知三角板中角度的特点是解题的关键．2．（2023秋·重庆·七年级校考期末）如图1，将一副三角板的两个锐角顶点放到一块，，，，分别是，的角平分线．(1)当绕着点逆时针旋转至射线与重合时（如图2），则的大小为；(2)如图3，在（1）的条件下，继续绕着点逆时针旋转，当时，则的大小为；(3)在绕点顺时针旋转到内部时，请你画出图形，的度数是否发生变化，若变化请说明理由，若不变请求出的度数．【答案】(1)(2)(3)的度数不变，为，图形见解析【分析】（1）利用角平分线的定义得到即可求解；（2）通过角的转化得到即可求解；（3）通过角的转化得到即可求解．【详解】（1）∵，，∴，∵，分别是，的角平分线，∴，∴（2）∵，分别是，的角平分线，∴，∴；（3）的度数不变，为，作图见下图．∵，分别是，的角平分线，∴，∴；∴的度数不变，为．【点睛】本题考查了角平分线的定义和角的和差转化，解题关键是能利用角平分线的定义得到关于的表达式，再利用角的和差关系进行计算即可．【考点二几何图形中动角数量关系问题】例题：（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）已知为直线上一点，射线、、位于直线上方，在的左侧，，．

(1)如图1，当平分时，求的度数；(2)点在射线上，若射线绕点逆时针旋转（且），．当在内部（图2）和的两边在射线的两侧（图3）时，和的数量关系是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系．【答案】(1)(2)不改变，，理由见解析【分析】（1）由平分，则，由，得到，最后得到；（2）分两种情况，在内部时，令，则，，结论成立；的两边在射线的两侧时．令，则，，，进而结论得证．【详解】（1）解：∵平分，∴，∵．∴，∴，∴；（2）①在内部时．令，则，，∴，∴；②的两边在射线的两侧时．令，则，，，∴，∴．综上可得，和的数量关系不改变，【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及角的有关计算，解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算．【变式训练】1．（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期末）在数学实践活动课上，“奋进”小组准备研究如下问题：如图，点A，O，B在同一条直线上，将一直角三角尺如图1放置，使直角顶点重合于点O，是直角，OE平分．

问题发现：(1)如图1，若，则的度数为______；(2)将这一直角三角尺如图2放置，其他条件不变，探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并证明．【答案】(1)(2)，证明见解析【分析】（1）先求解再利用角平分线的含义求解再利用角的和差关系可得答案；（2）先求解，再利用角平分线的定义可得，再利用角的和差关系可得结论；【详解】（1）解：平分故答案为：；（2）．理由：因为是直角所以所以因为平分所以所以所以．【点睛】本题考查的是角平分线的含义，角的和差运算，掌握“几何图形中角的和差关系”是解本题的关键．2．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线在内部，．(1)如图1，若是的平分线，求的度数；(2)如图2，探究发现：当的大小发生变化时，与的数量关系保持不变．请你用等式表示出与的数量关系，并说明理由．【答案】(1)(2)，理由见解析【分析】（1）根据补角的定义可得，再根据角平分线的定义可得答案；（2）设，则，再利用，然后整理可得结论．【详解】（1）∵是的平分线，∴，∴．∵，∴，∴，∴．（2），设，则，∵，∴，∴，∴．【点睛】此题主要考查了邻补角、角平分线的定义，正确把握定义是解题关键．【考点三几何图形中动角求运动时间问题】例题：（2023秋·湖北襄阳·七年级统考期末）如图1，点依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿道时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图2，设旋转时间为(的值在到之间，单位：秒)．

(1)当时，求的度数；(2)在运动过程中，当第二次达到时，求的值；(3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线与射线的夹角为？如果存在，请直接写出的值：如果不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)秒(3)存在，秒或秒【分析】（1）当时，，，根据平角减去，即可求解；（2）根据题意，当第二次达到时，则，解方程即可求解；（3）当射线与射线第一次夹角为时，两条射线共旋转，当射线与射线第二次夹角为时，两条射线共旋转，分别解方程即可求解．【详解】（1）解：当时，，，所以，答：的度数是；（2）根据题意，当第二次达到时，，解得，答：当第二次达到时，的值是秒；（3）存在这样的，使得射线与射线的夹角为，理由如下：当射线与射线第一次夹角为时，两条射线共旋转，所以，解得；当射线与射线第二次夹角为时，两条射线共旋转，所以，解得，综上所述，的值是秒或秒．【点睛】本题考查了结合图形中的角度计算，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·甘肃兰州·七年级校考期末）如图，O为直线上一点，过点O作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．

(1)将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后，恰好平分．求t的值；并判断此时是否平分？说明理由；(2)在（1）的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕O点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，那么经过多长时间平分？请说明理由．【答案】(1)；平分，理由见解析(2)的值为或【分析】（1）根据的度数求出的度数，根据互余得出的度数，进而求出时间t即可；根据题意和图形得出，，再根据，即可得出平分；（2）根据题意和图形得出，再根据旋转求出结果即可．【详解】（1）解：旋转前,当平分时，，则,解得：，结论：平分,理由：∵，又∵，∴,∴平分；（2）解：若平分，

则，∴，∴，当停止时,平分,则有,

∴,综上所述，满足条件的的值为或．【点睛】本题考查角平分线的定义、角的和差定义等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题.2．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）已知，是内部的一条射线，且．

(1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数；(2)如图2所示，是直角，从点O出发在内引射线，满足，若平分，求的度数；(3)如图3所示，，射线，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为t秒．①直接写出和的数量关系；②若，当，求t的值．【答案】(1)(2)(3)①；②【分析】（1）先求出，再根据角平分线的定义得到，由此即可得到答案；（2）先求出，则，进一步求出，由角平分线的定义得到，进而可得；（3）①先求出，，根据题意可得，由此求出，，则；②求出，再由，，得到，把代入方程求出t的值即可．【详解】（1）解：∵，∴，∵平分平分，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴；（3）解：①∵，∴，∴由题意得：，∴，，∴；②由①知，∵，∴，∵，，∴，把代入得：解得，∴若，当时，．【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确理解题意是解题的关键．3．（2023秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）解答下列问题．

(1)【探索新知】如图1，射线在的内部，图中共有个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．①一个角的平分线这个角的“巧分线”．（填“是”或“不是”）②如图2，若，且射线是的“巧分线”，则．（用含的代数式表示出所有可能的结果）(2)【深入研究】如图2，若，且射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与与成时停止旋转，旋转的时间为秒．①当为何值时，射线是的“巧分线”．②若射线同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，并与同时停止．请直接写出当射线是的“巧分线”时的值．【答案】(1)①是；②或或(2)①或或；②或或【分析】（1）①根据巧分线定义即可求解；②分3种情况，根据巧分线定义即可求解；（2）①分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可；②分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可．【详解】（1）解：①一个角的平分线是这个角的“巧分线”；故答案为：是②∵，当是的角平分线时，∴；当是三等分线时，较小时，∴；当是三等分线时，较大时，∴；故答案为：或或；（2）解：①∵是的“巧分线”，∴在内部，所以转至左侧，∵与成时停止旋转，且，旋转速度为．∴．当时，如图所示：

，解得；当时，如图所示：

，解得；当时，如图所示：

，解得．∵或或均在的范围内，∴综上可得：当为或或时，射线是的“巧分线”；②依题意有：在的内部，∴，，当时，如图所示：

，解得；②当时，如图所示：

，解得；③当时，如图所示：

，解得．∴当t为或或时，射线是的“巧分线”．【点睛】本题是一道阅读理解型的题目，主要考查了角之间的数量关系，巧分线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力，解题的关键是理解“巧分线”的定义．【过关检测】一、单选题1．（2022秋·福建泉州·七年级统考期末）如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则三个角的数量关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据，即可求得，，代入，从而求解．【详解】解：如图：∵三个大小相同的正方形，∴，∴，，∴，即，故选：C．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，角度的计算，正确理解这一关系是解决本题的关键．2．（2022秋·全国·七年级期末）一副三角板、，如图1放置，（=30°、45°），将三角板绕点逆时针旋转一定角度，如图2所示，且0°＜＜90°，则下列结论中正确的个数有（

）①的角度恒为105°；②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值；③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90°的次数为2次；④在图1的情况下，作，则平分A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据直角三角形两锐角互余、角平分线的定义、角的和差逐个判断即可得．【详解】如图1，当时如图2，当时因此，的角度不恒为，则①错误如图1，当时由角平分线的定义得如图2，当时由角平分线的定义得因此，的角度恒为定值，则②正确边与三角板的三边所在直线夹角不可能成如图1，当时，设DE与AB的交点为F，即DE只与三角板的AB边所在直线夹角成，次数为1次；DB只与三角板的BC边所在直线夹角成，次数为1次如图2，当时，延长DE交AB于点F，即只有DB与三角板的AB边所在直线夹角成，次数为1次因此，在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次，则③错误如图3，作，即平分如图4，作显然不平分，则④错误综上，正确的个数只有②这1个故选：A．【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了直角三角形两锐角互余、角平分线的定义、角的和差等知识点，依据正确分两种情况讨论是解题关键．需注意的是，不能受两个示意图的影响，而少讨论一种情况．3．（2023秋·河北保定·七年级统考期末）已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（

）A．整个运动过程中，不存在的情况B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒C．当t值为36秒时，射线恰好平分D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒【答案】C【分析】由题意知，；当时，；当时，；令，计算求解可判断选项A的正误；令，，计算求解可判断选项B、D的正误；将代入，求出的值，然后根据求解的值，根据与的关系判断选项C的正误．【详解】解：由题意知，；当时，；当时，；令，即，解得秒，∴存在的情况；故A错误，不符合题意；令，即，解得秒，令，即，解得秒，∴当时，两射线的旋转时间t不一定为20秒；故B、D错误，不符合题意；当时，，∴，∵，∴射线恰好平分，故C正确，符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了角的运算，角平分线等知识．解题的关键在于正确的表示各角度．二、填空题4．（2023春·山东威海·六年级统考期末）如图，点在直线上，，，将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转一周（如图），当旋转到第秒时，所在的直线平分，则的值为．

【答案】或【分析】根据平角的定义得到，进行分类讨论，求出旋转的度数即可求解．【详解】∵，∴，∵，∴，如图，当逆时针旋转到时，

∵平分，∴，则逆时针旋转了，∴，如图，当逆时针旋转到时，

由得：，，∴，∴，则逆时针旋转了，∴，综上可知：的值为或秒，故答案为：或秒．【点睛】此题考查了考查了角平分线定义，平角的定义，根据旋转后画出图形是解题的关键．5．（2023秋·江苏泰州·七年级统考期末）如图，于点，，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，，则与之间的数量关系为．【答案】或【分析】分和，两种情况进行讨论求解即可．【详解】解：由题意，得：的运动时间为：秒，的运动时间为：秒；∴运动的时间相同；设运动时间为秒，则：，∵，∴，当时：，∴，，∴，∴，∴，即：；当，在上方时：如图，，∴，，∴，∴，∴，即：；当，在下方时：如图2，，∴，，∴，∴，∴，即：；综上：与之间的数量关系为或；故答案为：或．【点睛】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角之间的和差关系，是解题的关键．6．（2023春·河南郑州·七年级郑州外国语中学校考开学考试）如图，和都是直角．固定不动，将绕点O旋转，在旋转过程中，下列结论正确的有．①如果，那么②是定值③若变小，则变大④【答案】①②③④【分析】由题意得到，，进行整理即可分别进行判断．【详解】解：，，，，，即，即，当，则，故①正确；，，故②正确；，若变小，则变大，故③正确；，，，故④正确；综上所述，故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了角的有关计算；解题的关键是结合图形对角进行正确拆分、组合．三、解答题7．（2023秋·七年级课时练习）已知，，平分，平分．

(1)如图1，当，重合时，求的值；(2)如图2，当从图1所示的位置开始绕点以每秒的速度顺时针旋转．在旋转过程中，的值是否会因的变化而变化？若不变化，请求出该定值；若变化，请说明理由；(3)在（2）的条件下，求当旋转多少秒时，．【答案】(1)(2)不变，(3)【分析】（1）首先根据角平分线的定义求得和的度数，然后根据求解；（2）首先由题意得，再根据角平分线的定义得，，然后由角平分线的定义解答即可；（3）根据题意得，故，解方程即可求出的值．【详解】（1）解：因为平分，平分，所以，．所以；（2）解：的值是定值．根据题意，得：，则，．因为平分，平分，所以，，所以；（3）解：根据题意，得，所以，解得，所以当旋转时，．【点睛】本题考查的是角的和与差、角平分线定义，对角的和与差及角平分线定义的理解是解题关键．8．（2023秋·河北承德·七年级统考期末）一副三角尺按照如图所示摆放在量角器上，边与量角器0刻度线重合，边与量角器180°刻度线重合，将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动．设三角尺的运动时间为（秒）．(1)____________；(2)当秒时，边经过的量角器刻度线对应的度数为_____________°；(3)_____________秒时，；(4)_____________秒时，边平分；(5)在三角尺旋转过程中，时，求值．【答案】(1)；(2)（或）添一即可；(3)9；(4)；(5)11或19．【分析】（1）根据三角尺的特点可得；（2）先求的，再求出转过转过的角度，相加即可，根据量角器刻度有两层，且两层角度互补，故两个答案均可；（3）根据已知，求出的邻补角，再求出转过转过的角度即可解决；（4）根据角平分线的性质求出，根据邻补角求出他的领补角，即可求出转过转过的角度从而解答；（5）结合题意先求出①当在外部时，求出转过的度数即可求；②当在内部时，，求出转过的度数即可求．【详解】（1）解：由图可知，是含的三角尺，且故答案为：（2）由（1）同理可知：当秒时，边转过：此时边所在的量角器刻度线对应的度数为：，由于量角器刻度有两层，且两层角度互补，故答案为：（或）添一即可；（3），故的邻补角为转过的度数为：故答案为：9；（4）平分故的邻补角为转过的度数为：故答案为：；（5），①当在外部时，转过的度数为：②当在内部时，转过的度数为：或【点睛】本题考查了量角器、三角尺的角度、补角、角平分线以及交的和差计算；掌握三角尺的角度并正确进行交的和差计算是解题的关键．9．（2023秋·湖北武汉·七年级校考期末）如图，，，射线平分，射线平分（本题中的角均为大于且小于的角）．(1)如图，当，重合时，求的度数；(2)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，的值是否为定值？若是定值，求出的值，若不是，请说明理由．(3)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，与具有怎样的数量关系？【答案】(1)(2)为定值，理由见解析(3)当时，；当时，；当时，【分析】(1)根据角平分线的定义知、，再根据可得答案；(2)由题意知、，根据角平分线的定义得、，代入计算可得答案；(3)分情况计算，利用n表示出，，再根据角之间的关系即可求解．【详解】（1）解：，，射线平分，射线平分，、，；（2）解：的值为定值，理由如下：如图：从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度，，点C、D在直线的右侧，射线平分，射线平分，，，，的值为定值；（3）解：当时，如图2：由(2)知，；当时，如图3所示，，，射线平分，射线平分，，，；当时，如图4所示，，，射线平分，射线平分，，，；综上，与具有的数量关系为：当时，；当时，；当时，．【点睛】本题考查了角度的计算以及角平分线的定义，找准各角之间的和差关系，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．10．（2023秋·全国·七年级课堂例题）小明利用三角尺进行数学探究活动：

如图，为直线上一点，将一三角尺的直角顶点放在点处，平分．(1)如图①，若，求的度数；(2)如图②，若平分，求的度数；(3)当时，绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转秒，请探究和之间的数量关系．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）由补角及直角的定义可求得的度数，结合角平分线的定义可求解的度数；（2）由角平分线的定义可得，进而可求解；（3）可分两种情况：①时，时，分别计算可求解．【详解】（1）解：，．，．平分，．．（2）解：平分，平分，，．．，．（3）解：①当时，如图①所示．

由题意得，．平分，．．．②当时，如图②所示．

由题意得，．平分，．．．【点睛】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，补角的定义等知识的综合运用，分类讨论是解题的关键．11．（2022秋·安徽池州·七年级统考期末）已知：O为直线上的一点，是直角，平分．

图1

图2

图3(1)如图1，若，则；若，则；与的数量关系为．(2)在图2中，若，在内部是否存在一条射线，使得？若存在，请求出，若不存在，请说明理由．(3)当射线绕点O顺时针旋转到如图3所示的位置时，直接写出与的数量关系．【答案】(1)，，(2)存在，(3)【分析】（1）由直角三角形的性质求得的度数，再平分，求得的度数，从而求得的度数；若，则，由角平分线的定义求得，从而求得的度数，进而求得；（2）由，，求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，再由平角的定义求得的度数，再代入求解即可；（3）设，则，，由角平分线的定义求得，从而求得，即可得出结论．【详解】（1）解：∵，，∴，∵平分，∴，∴；∵，，∴，∵平分，∴，∴；∴，故答案为：，，；