专升本-一元函数积分学

第四章一元函数积分学不定积分部分一．原函数的概念例1.下列等式成立色是（）例2．下列写法是否有误，为什么？（c为任意正常数）例3.下列积分结果正确吗？√√√例3说明不定积分的结果具有形式上的多样性。二.直接积分法利用不定积分的性质及基本积分表，我们就可以计算较简单的函数的积分，这种方法称做直接积分法.例4．求例5．求例6．求例7．已知某个函数的导数是，又知当时，这函数值为2，求此函数.解：因为，所以，可设又因为.所以，例8．设，求.解：，二．不定积分的第一换元法利用直接积分法所能求得的不定积分是非常有限的.为了求出一般函数的不定积分，还需要使用各种专门的方法和技巧.下面先回顾第一换元积分公式.这种方法是通过适当的变量替换，把所求的不定积分化为较易积分的形式.若已知，可微，则有换元公式：例9.求.例10.求.例11．求.例12．求.例13．求.例14．求.例15．.例16．求.例17.例18．..注意：进一步化简可得到.例19．。————（26）例20．。例21．另解：。例22.例23．。例24.=例25．例26.=例27．===例28．例29．三不定积分的第二换元法前面我们讲了第一换元法（又称凑微分法），但并非对所有的不定积分都能使用此方法，即凑微分法失效.有时对有些不定积分采用相反的变量替换，将会达到简化计算的目的.这就是第二换元法..设是单调（保证它有反函数）可导的，并且，又设，则例30.求解：令，则原式===.注意：因为为周期函数，故如限制也行.以后作题,我们不再指明t的限制范围.例31.求解：令，则原式=注意：这里的最后一步在换回用原变量表示时，要借助于直角三角形。称此法为整体代换法.例32.求解：令，则原式=.例33．求解：四.分部积分法分部积分公式使用此法的关键是正确选择和例34.求解：取，则.所以，。注意：（1）如果取，则。所以，显然，会愈加麻烦。可见，用分部积分法，最关键的是要选择好合适的函数作为.（2）根据我多年做题经验的总结，选的优先顺序是：反对多三指，按此顺序选择，一般都可行.例35.求例36.求例37.解：=例38.求解：，所以，原式=例39.求解：其中，所以，.注意：上述例5、例6的解法称为“相克法”法.例40.设，试给出递推公式。解:=，所以，.例41.求解：=所以，注意：一般地，与递推公式有关的证明题都是用分部积分法得到的.定积分部分一．定积分的七大性质例42．估值解：令.，令.所以，设分别是函数在区间上的最大值与最小值.因此，，所以，.例43．比较与的大、小.解：令.则，所以，在单调增加。因此，.例44．求解：.例45.证明：证明：因为所以，，所以：.练习：（1）设是连续函数，且求。（研89）解：此题的条件是关于的一个关系式，无法直接计算。但是一个确定的常数。若设则有再考虑就可解出令则故(2)设求。解：设则则解上述方程组，得：二．积分上限函数及其导数先回顾一个重要结论：如果函数在区间上连续，则积分上限函数在区间上具有导数，且.例46.设求.解：，所以，例47.设求.解：所以，，所以.例48.求解：.注意：一般地，.例49.求.例50..练习：证明提示：，.三.牛——莱公式如果是在区间上的一个原函数，则.例51．求.例52．求例53.求.例54.假设在上是正值连续函数，试求的极小值.解：，所以，-令在处不可导.经判定：在处取得极小值.例55..假设对于所有的实数，连续函数满足方程，求及常数C.解：方程两边对求导：在原方程中，令则，所以.例56.设在上连续，在内可导，且，.试证：.证明：-----------（1）上式中的分子---（2）又因为，所以在上单调减少，故，所以，.练习：证明：当时，的最大值不超过证明：由得当时，而当时，，故是唯一的极大值点，从而也是最大值点，即最大值为注意到当时，，四.定积分的换元积分法直接利用微积分基本公式计算定积分的前提是可以先求出被积函数的原函数，然后再代入上、下限求值，但在许多情况下，这样计算比较复杂；甚至有时原函数根本不能用积分法的一般法则求出来，也就无法直接引用微积分基本公式.为了进一步解决定积分的计算问题，考虑到不定积分的基本方法是换元积分法和分部积分法，这就启发我们能否直接将这两种方法用到定积分的计算上来？回答是肯定的.换元积分公式：设函数在上连续，且满足条件：（1）在上是单值的且有连续导数；（2）当t在上变化时，在上变化；（3）.则有：（相当于不定积分中的第二换元法）注意：（1）换元公式中要求下限小于上限，其实，这是不必要的；（2）公式也可以反过来用：；（相当与不定积分法中的第一换元法）；例57.求或换一种写法：（3）被积函数开方时要注意积分区间；例58.解一：其实，上述解法是错误的.正确解法是（4）在运用换元公式时，要满足换元的条件，否则可能会出错.反例：（1）解一：.解二：。（解二是错的，因为不是单值函数.）（2）解一：解二：（倒代换）（解二是错的，因为在x=0处不连续.（3）如果用代换，再用换元公式，显然不行？因为不满足条件（3）.要熟记几个结论（1）对称区间上的函数特别地：（1）（2）0，为奇.（2）周期函数积分.设函数是以T为周期的函数，则：.（即结果与无关）（3）.两个重要结论：（1）（令即可）例59.求（2）（令即可）。例60.求例61.设求解：————（1）所以，.例62．设函数在上连续且单调不增，证明：对于都有；解：例63．设求解：。五．定积分的分部积分法1．分部积分公式：.例64.求.例65.例66．设函数在上具有三阶连续导数，且有求.解：=练习：设求解：（注意到的定义）记住一个重要的递推公式=例67．求解：=.例68．求例69.求．解：=六.广义积分在一些实际问题中，我们常遇到积分区间为无穷区间积分，它已经不属于前面所说的定积分，因此我们需要对定积分作推广，从而形成了广义积分的概念.无穷区间上的广义积分定义1.设函数在区间上连续，取.如果极限存在，则称此极限为函数在区间上的广义积分，记作.即：————（1）这时，也称广义积分收敛；如果上述极限不存在，函数在区间上的广义积分就没有意义，习惯上称为广义积分发散.设函数在区间上连续，取.如果极限存在，则称此极限为函数在区间上的广义积分，记作.即：————（2）这时，也称广义积分收敛；如果上述极限不存在，函数在区间上的广义积分就没有意义，习惯上称为广义积分发散.设函数在区间上连续，如果广义积和都收敛，则称上述两广义积分之和为函数在区间上的广义积分，记作：。------（3）这时，也称广义积分收敛；否则，就称发散.上述定义的三种广义积分统称无穷限的广义积分.求注意：表面上是代入上、下限作差，其实，这里的上限值是函数的极限.上题中每一步都要带上极限号，太过麻烦了，因此，我们借鉴牛-莱公式的格式，介绍一种简单的写法.例70.的另一写法：例71.求不存在！例72．求（.解：（1）当p=1时，；（2）当p<1时，；（3）当p>1时，.总之，例73.求，由于，，所以，发散！注意：（1）没有必要再计算，即可断定发散！（2）如果这样做则是错的，请同学们务必要小心：因为是奇函数，所以原式=0.例74.利用递推公式计算解：七.平面图形的面积与旋转体的体积首先介绍一下定积分应用的一个核心思想：元素法。一般地，如果某一实际问题中所求的量符合下列条件：（1）与变量的变化区间有关；（2）对区间具有可加性；（3）在代表区间上的部分量可近似表示为那么所求量记住几个常用求面积公式（1）轴上的曲边梯形的面积（2）轴上的曲边梯形的面积例74.计算由曲线所围成平面图形的面积。解：例75.计算由曲线所围成平面图形的面积。解：由，故两曲线的交点为若以为积分变量，则若以为积分变量，则例76.求椭圆的面积。例77.求曲线的一条切线，使该曲线与切线及直线所围成的平面图形的面积最小。解：设上任意一点，则过点的切线方程为，即则令得当时，当时，所以，当时，为最小值。此时，所求切线方程为下面再举一个参数方程下求面积的例子。例78.求星形线所围成的面积解：极坐标下求平面图形的面积一般不会出题，不过还是应该提一提，毕竟这个知识点大纲是要求了解的.首先要记住曲边扇形的面积公式例79.求曲线所围成的平面图形（圆）的面积。解：所求平面图形的面积为例80.求曲线所围成的平面图形的公共部分的面积.解：用定积分所能直接计算其体积的立体仅限于旋转体和平行截面面积已知的立体.先回顾三个经典公式：（1）由轴上的曲边梯形（即由曲线所围成的平面图形）绕轴旋转，；（2）由轴上的曲边梯形（即由曲线所围成的平面图形）绕轴旋转，；（3）由轴上的曲边梯形（即由曲线所围成的平面图形）绕轴旋转，。例81.求曲线与所围成的图形分别绕轴、轴旋转一周所得旋转体的体积。解：（一）绕轴（二）绕轴例82.证明半径为高为的球缺的体积为证明：例83.求圆盘绕旋转所成旋转体的体积.解：方法一（选为积分变量）右半圆左半圆取上的体积元素故方法二（选为积分变量）取上的体积元素故例84.设抛物线过原点，当时，又已知该抛物线与轴及直线所围图形的面积为使确定使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小。（研89）解：抛物线过原点，则又由题意有，即令得当时，当时，所以，是唯一的极小值点。所以，，旋转体的体积最小.下面举一个平行截面面积已知的立体的体积的求法。例85.一平面经过半径为的圆柱体的底圆中心，并与底面成角，如图所示。计算该平面截圆柱体所得立体的体积。解：取这个平面与圆柱体的底面的交线为轴，底面上过圆心且垂直于轴的