北京东城55中2024届高一数学第一学期期末教学质量检测试题含解析

北京东城55中2024届高一数学第一学期期末教学质量检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．为了得到函数的图像，只需将函数的图像上所有的点（）A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度2．已知是奇函数，且满足，当时，，则在内是A.单调增函数，且 B.单调减函数，且C.单调增函数，且 D.单调减函数，且3．下列函数中定义域为，且在上单调递增的是A. B.C. D.4．若，则A. B.C.1 D.5．函数的最小正周期为（）A. B.C. D.6．函数的零点所在区间为()A. B.C. D.7．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴，终边经过点，则（）A. B.C. D.8．简谐运动可用函数表示，则这个简谐运动的初相为（）A. B.C. D.9．若函数是偶函数，则满足的实数的取值范围是A. B.C. D.10．函数f（x）=-x＋tanx（＜x＜）的图象大致为（）A. B.C. D.11．已知直线与平行，则实数的取值是A.－1或2 B.0或1C.－1 D.212．已知直线经过点，倾斜角的正弦值为，则的方程为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．已知幂函数在上是增函数,则实数m的值是_________14．设，用表示不超过的最大整数.则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则的值域为___________.15．已知，则____________________.16．函数的零点个数为___三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．求经过点和,圆心在轴上的圆的方程.18．如图，正三棱柱的底面边长为3，侧棱，D是CB延长线上一点，且求二面角的正切值；求三棱锥的体积19．如图，在底面是正方形的四棱锥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点.（1）求证：；（2）确定点G在线段AC上的位置，使FG//平面PBD，并说明理由；（3）当二面角的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值.20．已知集合，.（1）当时，求，；（2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.21．已知函数．（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）求在区间的最大值和最小值22．某工厂某种航空产品的年固定成本为万元，每生产件，需另投入成本为，当年产量不足件时，（万元）.当年产量不小于件时，（万元）.每件商品售价为万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.（1）写出年利润（万元）关于年产量（件）的函数解析式；（2）年产量为多少件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分）1、B【解析】利用诱导公式，的图象变换规律，得出结论【详解】解：为了得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，故选：B2、A【解析】先根据f（x+1）=f（x﹣1）求出函数周期，然后根据函数在x∈（0，1）时上的单调性和函数值的符号推出在x∈（﹣1，0）时的单调性和函数值符号，最后根据周期性可求出所求【详解】∵f（x+1）=f（x﹣1），∴f（x+2）=f（x）即f（x）是周期为2的周期函数∵当x∈（0，1）时，＞0，且函数在（0，1）上单调递增，y=f（x）是奇函数，∴当x∈（﹣1，0）时，f（x）＜0，且函数在（﹣1，0）上单调递增根据函数的周期性可知y=f（x）在（1，2）内是单调增函数，且f（x）＜0故选A【点睛】本题主要考查了函数的周期性和函数的单调性，同时考查了分析问题，解决问题的能力，属于基础题3、D【解析】先求解选项中各函数的定义域，再判定各函数的单调性，可得选项.【详解】因为的定义域为，的定义域为，所以排除选项B,C.因为在是减函数，所以排除选项A，故选D.【点睛】本题主要考查函数的性质，求解函数定义域时，熟记常见的类型：分式，偶次根式，对数式等，单调性一般结合初等函数的单调性进行判定，侧重考查数学抽象的核心素养.4、A【解析】由，得或，所以，故选A【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系5、C【解析】根据正弦型函数周期的求法即可得到答案.【详解】故选：C.6、B【解析】根据零点存在性定理即可判断求解.【详解】∵f(x)定义域为R，且f(x)在R上单调递增，又∵f(1)＝－10＜0，f(2)＝19＞0，∴f(x)在(1，2)上存在唯一零点.故选：B.7、A【解析】利用任意角的三角函数的定义，即可求得的值【详解】角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴，终边过点.由三角函数的定义有：.故选：A8、B【解析】根据初相定义直接可得.【详解】由初相定义可知，当时的相位称为初相，所以，函数的初相为.故选：B9、D【解析】结合为偶函数，建立等式，利用对数计算性质，计算m值，结合单调性，建立不等式，计算x范围，即可【详解】，，，,令,则,则,当,递增,结合复合函数单调性单调递增,故偶函数在上是增函数，所以由，得，.【点睛】本道题考查了偶函数性质和函数单调性知识，结合偶函数，计算m值，利用单调性，建立关于x的不等式，即可10、D【解析】利用函数的奇偶性排除部分选项，再利用特殊值判断.【详解】因为，所以是奇函数，排除BC，又因为，排除A，故选：D11、C【解析】因为两直线的斜率都存在，由与平行得，当时，两直线重合，，故选C.12、D【解析】由题可知，则∵直线经过点∴直线的方程为，即故选D二、填空题（本大题共4小题，共20分）13、1【解析】因为幂函数在上是增函数,所以,解得,又因为,所以.故填1.14、【解析】对进行分类讨论，结合高斯函数的知识求得的值域.【详解】当为整数时，，当不是整数，且时，，当不是整数，且时，，所以的值域为.故答案为：15、7【解析】将两边平方，化简即可得结果.【详解】因为，所以,两边平方可得，所以，故答案为7.【点睛】本题主要考查指数的运算，意在考查对基础知识的掌握情况，属于简单题.16、2【解析】当x≤0时，令函数值为零解方程即可；当x＞0时，根据零点存在性定理判断即可.【详解】当x≤0时，，∵，故此时零点为；当x＞0时，在上单调递增，当x＝1时，y＜0，当x＝2时，y＞0，故在(1,2)之间有唯一零点；综上，函数y在R上共有2个零点.故答案为：2.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、.【解析】根据条件得到，设圆心为，根据点点距列出式子即可，求得参数值解析：圆的圆心在轴上，设圆心为,由圆过点和,由可得，即，求得，可得圆心为，半径为，故圆的方程为.点睛：这个题目考查了圆的方程的求法，利用圆的定义得到圆上的点到圆心的距离相等，可列出式子．一般和圆有关的多数是利用圆的几何性质，垂径定理列出方程，利用切线的性质即切点和圆心的连线和切线垂直列式子．注意观察式子的特点18、（1）2（2）【解析】取BC中点O，中点E，连结OE，OA，以O为原点，OD为x轴，OE为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正切值三棱锥的体积，由此能求出结果【详解】取BC中点O，中点E，连结OE，OA，由正三棱柱的底面边长为3，侧棱，D是CB延长线上一点，且以O为原点，OD为x轴，OE为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，则3，，0，，0，，0，，所以0，，3，，其中平面ABD的法向量1，，设平面的法向量y，，则，取，得1，，设二面角的平面角为，则，则，则，所以二面角的正切值为2由（1）可得平面，所以是三棱锥的高，且,所以三棱锥的体积：【点睛】本题主要考查了二面角的求解，及空间几何体的体积的计算，其中解答中根据几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解二面角问题是求解空间角的常用方法，同时注意“等体积法”在求解三棱锥体积中的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题19、（1）见解析（2）GEC中点（3）【解析】试题分析：（1）要证：BD⊥FG，先证BD⊥平面PAC即可；（2）确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，FG∥平面PBD内的一条直线即可；（3）利用向量数量积求解法向量，然后转化求出PC与底面ABCD所成角的正切值解析：（1）（2）当GEC中点，即时,FG//平面PBD理由如下：连接PE，F为PC中点，G为EC中点，FG//PEFG//平面PBD（3）作作于H，连接DH，，四边形ABCD是正方形，又是二面角的平面角，即是PC与底面ABCD所成角连接EH，则又，PC与与底面ABCD所成角的正切值是.点睛：这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系．证明线线垂直，可以从线面垂直入手，也可以平移到同一平面中利用平面几何知识证明；求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；在高二的课本上讲到还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可20、（1），或；（2）【解析】（1）当时，求出集合，，由此能求出，；（2）推导出，的真子集，求出，，列出不等式组，能求出实数的取值范围【小问1详解】或，当时，，，或；【小问2详解】若，且“”是“”的充分不必要条件，，的真子集，，，，解得实数的取值范围是21、（1）最小正周期为，单调递增区间；（2）在上的最大值为，最小值为.【解析】（1）由正弦型函数的性质，应用整体代入法有时单调递增求增区间，由求最小正周期即可.（2）由已知区间确定的区间，进而求的最大值和最小值【详解】（1）由三角函解析式知：最小正周期为，令，得，∴单调递增区间为，（2）在上，有，∴当时取最小值，当时取最大值为.22、（1）；（2）年产量为件时，利润最大为万元.【解析】（1）实际应用题首先要根据题意，建立数学