北京市东城区市级名校2024届高一上数学期末学业质量监测试题含解析

北京市东城区市级名校2024届高一上数学期末学业质量监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1．边长为的正四面体的表面积是A. B.C. D.2．中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，其高为3，底面，底面扇环所对的圆心角为，弧AD长度为弧BC长度的3倍，且，则该曲池的体积为（）A B.C. D.3．若函数与的图象关于直线对称，则的单调递增区间是（）A. B.C. D.4．下列命题中是真命题的是（）A.“”是“”的充分条件B.“”是“”的必要条件C.“”是“”的充要条件D.“”是“”的充要条件5．奇函数在内单调递减且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.6．方程的根所在的区间为A. B.C. D.7．函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣x+1，则当x＜0时，f（x）等于（）A.﹣x+1 B.﹣x﹣1C.x+1 D.x﹣18．已知a＝20.1，b＝log43.6，c＝log30.3，则（）A.a＞b＞c B.b＞a＞cC.a＞c＞b D.c＞a＞b9．在区间上单调递减的函数是（）A. B.C. D.10．若角的终边上一点，则的值为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11．函数的定义域为______12．已知集合，.若，则___________.13．在区间上随机取一个实数，则事件发生的概率为_________.14．已知函数满足，则________.15．已知集合，若，求实数的值.三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．已知集合A为函数的定义域，集合B是不等式的解集（1）时，求；（2）若，求实数a的取值范围17．已知圆C过，两点，且圆心C在直线上（1）求圆C的方程；18．已知函数.（1）求的最小正周期；（2）当时，求的最大值和最小值.19．求值：（1）（2）2log310＋log30.8120．已知函数的最小正周期为，再从下列两个条件中选择一个作为已知条件：条件①：的图象关于点对称；条件②：的图象关于直线对称（1）请写出你选择的条件，并求的解析式；（2）在（1）的条件下，当时，求的最大值和最小值，并指出相应的取值注；如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分21．已知定义域为的函数是奇函数.（1）求的值；（2）用函数单调性的定义证明在上是减函数.

参考答案一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1、D【解析】∵边长为a的正四面体的表面为4个边长为a正三角形，∴表面积为：4×a=a2，故选D2、B【解析】利用柱体体积公式求体积.【详解】不妨设弧AD所在圆的半径为R，弧BC所在圆的半径为r，由弧AD长度为弧BC长度的3倍可知，，即.故该曲池的体积.故选：B3、C【解析】根据题意得，，进而根据复合函数的单调性求解即可.【详解】解：因为函数与的图象关于直线对称，所以，，因为的解集为，即函数的定义域为由于函数在上单调递减，在上单调递减，上单调递增，所以上单调递增，在上单调递减.故选：C4、B【解析】利用充分条件、必要条件的定义逐一判断即可.【详解】因为是集合A的子集，故“”是“”的必要条件，故选项A为假命题；当时，则，所以“”是“”的必要条件，故选项B为真命题；因为是上的减函数，所以当时，，故选项C为假命题；取，，但，故选项D为假命题.故选：B.5、A【解析】由已知可作出函数的大致图象，结合图象可得到答案.【详解】因为函数在上单调递减，，所以当时，，当，，又因为是奇函数，图象关于原点对称，所以在上单调递减，，所以当时，，当时，，大致图象如下，由得或，解得，或，或，故选：A.【点睛】本题考查了抽象函数的单调性和奇偶性，解题的关键点是由题意分析出的大致图象，考查了学生分析问题、解决问题的能力.6、C【解析】令函数，则方程的根即为函数的零点再根据函数零点的判定定理可得函数零点所在区间【详解】令函数，则方程的根即为函数的零点，再由，且，可得函数在上有零点故选C【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题7、B【解析】当x＜0时，,选B.点睛：已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的值或解析式.8、A【解析】直接判断范围，比较大小即可.【详解】，，，故a＞b＞c.故选：A.9、C【解析】依次判断四个选项的单调性即可.【详解】A选项：增函数，错误；B选项：增函数，错误；C选项：当时，，为减函数，正确；D选项：增函数，错误.故选：C.10、B【解析】由三角函数的定义即可得到结果.【详解】∵角的终边上一点，∴，∴，故选：B【点睛】本题考查三角函数的定义，考查诱导公式及特殊角的三角函数值，属于基础题.二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11、【解析】由对数的真数大于零、二次根式的被开方数非负，分式的分母不为零，列不等式组可求得答案【详解】由题意得，解得，所以函数的定义域为，故答案为：12、【解析】根据给定条件可得，由此列式计算作答.【详解】因集合，，且，于是得，即，解得，所以.故答案为：13、【解析】由得：，∵在区间上随机取实数，每个数被取到的可能性相等，∴事件发生的概率为，故答案为考点：几何概型14、6【解析】由得出方程组，求出函数解析式即可.【详解】因为函数满足，所以，解之得,所以，所以.【点睛】本题主要考查求函数的值，属于基础题型.15、【解析】根据题意，可得或，然后根据结果进行验证即可.【详解】由题可知：集合，所以或，则或当时，，不符合集合元素的互异性，当时，，符合题意所以【点睛】本题考查元素与集合的关系求参数，考查计算能力，属基础题.三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16、（1）（2）【解析】(1)由函数定义域求A，由不等式求B，按照集合交并补运算规则即可；(2)由A推出B的范围，由于a的不确定性，可以将不等式转换，用基本不等式解决.【小问1详解】由，解得：，即；当时，由得：或，∴，∴，∴；【小问2详解】由知：，即对任意，恒成立，∴，∵，当且仅当，即时取等号，∴，即实数a的取值范围为；综上：，.17、（1）；（2）或.【解析】（1）设圆C的圆心为，半径为r，结合题意得，解出a、b、r的值，将其值代入圆的方程即可得答案（2）根据题意，分类讨论，斜率存在和斜率不存在两种情况：①当直线l的斜率不存在时，满足题意，②当直线l的斜率存在时，设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为：，由点到直线的距离公式求得k的值，即可得直线的方程，综合2种情况即可得答案【小问1详解】根据题意，设圆C的圆心为，半径为r，则圆C方程为，又圆C过，，且圆心C在直线上，∴，解得：，，，故圆C的方程为小问2详解】根据题意，设直线l与圆C交与MN两点，则，设D是线段MN的中点，则，∴，在中，可得当直线l的斜率不存在时，此时直线l的方程为，满足题意，当直线l的斜率存在时，设所求直线l的斜率为k，则直线l为：，即由C到直线MN距离公式：，解得：，此时直线l的方程为综上，所求直线l的方程为或18、（1）；（2）最大值为，最小值为.【解析】（1）展开两角差的余弦，再由辅助角公式化简，利用周期公式求周期；（2）由x的范围求出相位的范围，再由正弦函数的有界性可求函数在区间上的最大值和最小值.【小问1详解】，，的最小正周期为；【小问2详解】因，所以，所以，所以函数在区间上的最大值为，最小值为.19、（1）（2）4【解析】（1）利用分数指数幂的性质运算即可;(2)利用对数的运算性质计算可得结果.试题解析：(1)，(2)2log310＋log30.81=20、（1）；（2）时，有最小值，时，有最大值2.【解析】（1）若选①，根据周期求出，然后由并结合的范围求出，最后求出答案；若选②，根据周期求出，然后由并结合的范围求出，最后求出答案；（2）结合（1），先求出的范围，然后结合正弦函数的性质求出答案.【小问1详解】若选①，由题意，，因为函数的图象关于点对称，所以，而，则，于是.若选②，由题意，，因为函数的图象关于直线对称，所以，而，则，于是.【小问2详解】结合（1），因为，所以，则当时，有最小值为，当时，有最大值为.21、（1）（2）详见解析【解析】（1）既可以利用奇函数的定义求得的值，也可以利用在处有意义的奇函数的性质求，但要注意证明该值使得函数是奇函数.（2）按照函数单调性定义法证明步骤证明即可.【详解】解：（1）解法一：因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，整理得，所以，所以.解法二：因为函数是定义在上的奇函数，所以