2024届五年高考数学（理）真题分类训练：专题十五 选修系列4

第页专题十五选修系列4考点40坐标系与参数方程题组解答题1.[2023全国卷甲，10分]已知点P2,1，直线l:x=2+tcosα,y=1+tsinα（t为参数），α（1）求α；[答案]记点A,B对应的参数分别为t1,t2.令x=0令y=0，得t则PA⋅所以sin2α=±1，由题可知α∈因为直线l与x轴正半轴、y轴正半轴相交，所以α=3（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程.[答案]根据（1）得直线l的参数方程为x=2−22转化为普通方程为x+y因为x=ρcos所以l的极坐标方程为ρco2.[2023全国卷乙，10分]在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=2sinθπ4（1）写出C1[答案]C1：ρ=2sin将x2+y2=ρ2又π4≤θ≤π2，所以（2）若直线y=x+m既与C1没有公共点，也与C[答案]由C2的参数方程可得C2的普通方程为x数形结合可知，若直线y=x+m与C1没有公共点，则m若直线y=x+m与C2没有公共点，可先求相切时的临界情况，即m所以当m≤2或m>22时，直线y综上，当m<0或m>22时，直线y=x+故m的取值范围为−∞,3.[2022全国卷乙，10分]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=3cos2t,y=2s（1）写出l的直角坐标方程;[答案]直线l的极坐标方程为ρsinθ+π3+m=0,即ρ（2）若l与C有公共点，求m的取值范围.[答案]曲线C的参数方程为x=3cos2t,y=2sint（联立直线l与曲线C的方程，得3x+y+2m=0解法一若直线l与曲线C有公共点，则Δ=−22−4×3解法二4m=3y2−2y−6−2≤y≤24.[2022全国卷甲，10分]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=2+t6,y=t（（1）写出C1[答案]根据C1的参数方程，消去参数t可得x=所以曲线C1的普通方程为y2（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cosθ−sinθ=0,求[答案]曲线C3的极坐标方程可化为2ρ所以普通方程为y=2根据C2的参数方程，消去参数s可得x=根据y2=−6x−2所以C3与C2交点的直角坐标为−12,根据y2=6x−2y所以C3与C1交点的直角坐标为12,1【易错警示】参数方程消去参数时一定要注意x,y是关于参数的一个函数，参数的范围决定了x,y的范围，要注意变形的等价性.5.[2021全国卷乙，10分]在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为（1）写出⊙C[答案]由题意知⊙C的标准方程为x−则⊙C的参数方程为x=2+c（2）过点F4,1作⊙C[答案]由题意可知，切线的斜率存在，设切线方程为y−1=kx所以2k−1+1则这两条切线方程分别为y=33x−因为x=ρcosθ,y=ρ即2ρsinθ6.[2020全国卷Ⅱ，10分]已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1:x=4cos2（1）将C1,C2[答案]C1的普通方程为x+由C2的参数方程得x2=t2+1t故C2的普通方程为x2（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1,C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P[答案]由0≤x≤4,x+y=4,设所求圆的圆心的直角坐标为x0,0,由题意得x02因此，所求圆的极坐标方程为ρ=177.[2020全国卷Ⅲ，10分]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2−t−t2,y=2−（1）求AB[答案]因为t≠1，由2−t−t2=0得t=−2，所以C与y轴的交点为0,12；由2故AB=（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB[答案]由（1）可知，直线AB的直角坐标方程为x−4+y12=1，将x=ρc8.[2019全国卷Ⅲ，10分]如图，在极坐标系Ox中，A2,0，B(2，π4)，C(2，3π4)，D2,π，弧AB⌢，BC⌢，CD⌢所在圆的圆心分别是1,0，（1）分别写出M1，M2，M[答案]由题设可得，弧AB⌢，BC⌢，CD⌢所在圆的极坐标方程分别为ρ=2cosθ，ρ=2cosπ2−θ=2（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且OP=[答案]设Pρ,若0≤θ≤π4，则2若π4≤θ≤3π4，则2s若3π4≤θ≤π，则综上，P的极坐标为(3，π6)或(3，π3)或(3，2π考点41不等式选讲题组解答题1.[2023全国卷甲，10分]设a>0，函数f（1）求不等式fx<[答案]解法一求不等式fx<x的解集，即求不等式整理得2x−不等式两边同时平方，得4x2−2a因式分解得3x−ax−3a<故不等式的解集为a3,（2）若曲线y=fx与x轴所围成的图形的面积为2，求[答案]设曲线y=fx与x轴的两个交点的横坐标分别为x1,x2令fx=0，得2x−a=a得x1=3a2,x2=a2,故曲线易得三角形不在x轴上的顶点的坐标为a,−所以三角形的面积S=1即a2=4,解得a=2故a=2解法二（1）若x≤a,则f即3x>a,解得x>a3,得若x>a,则f解得x<3a,得综上,不等式的解集为a3,fx作出fx的大致图象如图,曲线y=fx与x易得Aa2,0,B3所以AB=a,△ABC的底边所以S△ABC=12A故a=22.[2023全国卷乙，10分]已知fx=（1）求不等式fx≤[答案]fx作出y=fx及y=6−x的图象，如图所示，易得A−2,8（2）在直角坐标系xOy中，求不等式组f[答案]如图所示，作出不等式组fx≤y,x其中B0,2，直线y=−x+6所以S△A3.[2022全国卷乙，10分]已知a,b,c都是正数，且a32（1）abc[答案]因为a,b,c都是正数，1=a32+当且仅当a=b（2）ab+[答案]由基本不等式得b+c≥2b同理得ba+c≤bab≤a=a=a=12abc4.[2022全国卷甲，10分]已知a,b,c均为正数，且a2+（1）a+b[答案]解法一因为a2+b2+4c2所以a+b又a,b,c均为正数,所以a+b解法二因为a2+b2+4c2又a,b,c均为正数,所以a+b（2）若b=2c,则[答案]因为b=2c，所以根据（1）有所以31a+1c≥1a5.[2021全国卷甲，10分]已知函数fx=x−2（1）画出y=fx和[答案]由已知得gx所以y=fx与（2）若fx+a≥g[答案]y=fx+a的图象是由函数y=fx的图象向左平移aa>0个单位长度或向右平移a此时y=fx+a的图象的右支对应的函数解析式为y=x+因为fx+a≥g故a的取值范围为[1126.[2021全国卷乙，10分]已知函数fx=（1）当a=1时，求不等式f[答案]当a=1时，f故fx≥6即当x≤−3时，1−x−x−3≥6当−3<x≤1时，1当x>1时，x−1+x+3≥6综上，原不等式的解集为{x|x≤−（2）若fx>−a[答案]fx=x−a+x+3≥x若fx>−a即3+a>−a或3故a的取值范围为{a|7.[2020全国卷Ⅱ，10分]已知函数fx=（1）当a=2时，求不等式f[答案]当a=2时，fx=7−2x,x≤（2）若fx≥4,求[答案]因为fx=x−a2+x−2a+1≥a2−2a+1=a当−1<a<3所以a的取值范围是−∞,8.[2020全国卷Ⅲ，10分]设a,b,c∈𝐑,a+b+（1）证明：ab+[答案]由题设可知，a，b，c均不为零，所以ab=−<0（2）用max{a,b,c}表示a,b,c的最大值，证明：max{[答案]不妨设max{a,b,c}=a,因为abc=1,a由bc≤b+c24所以max{a,b9.[2019全国卷Ⅲ，10分]设x，y，z∈𝐑，且x（1）求x−1[答案]解法一（基本不等式法）[x−因为x+y+z=故x−12+y+