第二十四章 相似三角形（11个知识归纳+10类题型突破）（解析版）

第二十四章相似三角形（11个知识归纳+10类题型突破）1.掌握线段的比与成比例线段的概念；2.掌握黄金分割的相关概念；3.掌握相似三角形的性质与判定4、掌握平面向量的概念及其线性运算；知识点一、线段的比与成比例线段线段的比两条线段长度的比叫做两条线段的比.注意：求两条线段的比时必须统一单位）．成比例线段四条线段、、、中，如果，那么这四条线段、、、叫做成比例线段，简称比例线段．知识点二、比例的性质基本性质合比的性质等比性质知识点三、黄金分割黄金分割若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC与BC（AC>BC），如果，这时称点C是AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比，它的值为．知识点四、相似图形相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similarfigures).要点诠释：(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；

(2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比．知识点五、平行线分线段成比例定理定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。图形：几何语言：∵l1∥l2∥l3，∴，，推论平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。图形：几何语言：∵DE∥BC，∴，，知识点六、相似三角形的判定预备定理平行于三角形的一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．判定1有两个角对应相等的两个三角形相似．判定2两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．判定3三边对应成比例的两个三角形相似直角三角形的特殊判定若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．知识点七、相似三角形的性质性质1相似三角形的对应边成比例，对应角相等。性质2相似三角形的周长比等于相似比。∽，则由比例性质可得：类似地，我们还可以得到：相似多边形周长的比等于相似比。性质3相似三角形的面积比等于相似比的平方。∽，则分别作出与的高和，则要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的。如果把两个相似多边形分成若干个相似的三角形，我们还可以得到：相似多边形面积的比等于相似比的平方。性质4相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线之比等于相似比。要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段。知识点八、位似图形定义两个相似图形，如果对应点的连线交于同一点，对应边平行或在同一直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．性质位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于相似比．画位似图形的步骤确定位似中心；连结原图形中关键点与位似中心的线段（或延长线）；按相似比进行取点；（4）顺次连接各点，所得的图形就是所求的图形。知识点九、相似三角形模型模型一：A、8模型已知：，结论模型二：共边共角型已知：，结论：模型三：一线三角型模型四：相似与旋转模型五：垂直相似结论①△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC； ②△ADC∽△ACB，AC2＝AD·AB； ③△CDB∽△ACB，CB2＝BD·BA.知识点十向量的相关概念1、平面向量的相关概念（1）向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；（2）向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）；（3）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作；（4）相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量；（5）互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量；（6）平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．2、平面向量的加减法则（1）几个向量相加的多边形法则；（2）向量减法的三角形法则；（3）向量加法的平行四边形法则．3、实数与向量相乘的运算设k是一个实数，是向量，那么k与相乘所得的积是一个向量，记作．（1）如果，且，那么的长度；的方向：当k>0时与同方向；当k<0时与反方向．（2）如果k=0或，那么．4、实数与向量相乘的运算律设m、n为实数，则（1）；（2）；（3）．5、平行向量定理如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数m，使．6、单位向量单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．设为单位向量，则．单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同．对于任意非零向量，与它同方向的单位向量记作．由实数与向量的乘积可知：，．知识点十一向量的线性运算1、向量的线性运算向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算．如、、、等，都是向量的线性运算．一般来说，如果、是两个不平行的向量，是平面内的一个向量，那么可以用、表示，并且通常将其表达式整理成的形式，其中x、y是实数．2、向量的合成与分解如果、是两个不平行的向量，（m、n是实数），那么向量就是向量与的合成；也可以说向量分解为、两个向量，这时，向量与是向量分别在、方向上的分向量，是向量关于、的分解式．平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解．题型一位似图形的相关题型1．（2023秋·河北保定·九年级统考期末）下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．其中正确命题的序号是（

）A．②③ B．①② C．③④ D．②③④【答案】A【分析】根据位似图形的性质和定义（识别位似图形，关键是看两个相似多边形的对应顶点所在的直线是否相交于一点，相交于一点的就是位似图形，交点就是位似中心）逐个判断即可得．【详解】解：①相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，则原命题错误；②位似图形一定有位似中心，则原命题正确；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形，则原命题正确；④位似图形上任意一对对应点与位似中心的距离之比等于位似比，则原命题错误；综上，正确命题的序号是②③，故选：A．【点睛】本题考查了位似图形的性质和概念，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．2．（2023春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）如图，与是位似图形，位似比为1：4，若，则的长为()

A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】根据对应点到位似中心距离之比等于位似比即可解答．【详解】∵与是位似图形，位似比为，∴，∵，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，掌握位似图形中“对应点到位似中心距离之比等于位似比”是解答本题的关键．3．（2023·湖南衡阳·统考三模）如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，则（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意求出，根据位似图形的概念得到，，进而得出，，根据相似三角形的性质计算即可．【详解】解：∵,∴，∵四边形与四边形位似，其位似中心为点，∴，，∴，，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似图形的对应边互相平行是解题的关键．巩固训练：1．（2023秋·九年级课时练习）如图，点是四边形与的位似中心，则；，．【答案】【分析】位似是特殊的相似，因而对应边的比相等，对应角相等．【详解】解：点O是四边形与的位似中心，则这两个图形相似，因而对应边的比相等，对应角相等，因而，，，故答案为：；；；；．【点睛】本题主要考查了位似的定义，掌握定义是解决此题的关键．2．（2023·辽宁朝阳·校考二模）如图，已知与是位似图形，位似中心是O，若与的周长比为2：1，的面积为3，则的面积为．

【答案】12【分析】根据位似图形的周长之比等于位似比，位似图形的面积之比等于位似比的平方进行求解即可．【详解】解：∵与是位似图形，与的周长比为，∴与的位似比为，∴与的面积之比为，∵的面积为3，∴的面积为12，故答案为：12．【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，熟知位似图形的周长之比等于位似比，位似图形的面积之比等于位似比的平方是解题的关键．3．（2023春·广西防城港·九年级校考阶段练习）如图，是由等腰直角经过位似变换得到的，点均在轴上，已知：，，则两个三角形在轴上的位似中心点的坐标是．【答案】/【分析】根据题意，确定位似中心在轴的正半轴上，，设位似中点，根据面积比等于位似比的平方，由此即可求解．【详解】解：根据题意，，∴，∴，即位似为，如图所示，位似中心点在轴的正半轴上，且，∴设，则，∴，，∴，解得，，∴位似中心点的坐标是，故答案为：．【点睛】本题主要考查位似，掌握位似图形之间的位似比与面积比的关系是解题的关键．4．（2023·河南周口·统考一模）如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，若与是位似图形且顶点均在格点上．

(1)在图中画出位似中心的位置，并写出位似中心的坐标；(2)与的位似比为__________，面积比为__________．【答案】(1)见解析(2)，【分析】（1）连接、，两线相交于点D，根据位似中心的概念、结合图形解答即可；（2）根据，，即可得出相似比和面积比．【详解】（1）解：如图，位似中心的坐标为：．

（2）解：∵，，∴与的位似比为：，与的面积比为：．故答案为：，．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线所在直线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．5．（2023秋·安徽六安·九年级校考期末）如图，图中的小方格是边长为1的正方形，与是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．（1）画出位似中心点O；（2）求出与'的位似比；（3）以点O为位似中心，在图中画一个，使它与的位似比等于3∶2．【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析【分析】（1）位似图形对应点连线所在的直线经过位似中心，如图，直线AA′、BB′的交点就是位似中心O；（2）△ABC与△A′B′C′的位似比等于AB与A′B′的比，也等于AB与A′B′在水平线上的投影比，即位似比为3：6=1：2；（3）要画△A2B2C2，先确定点A2的位置，再过点A2画A2B2∥AB交OB′于B2，过点A2画A2C2∥AC交OC′于C2．【详解】解：（1）如图所示，点O即为所求；（2）与的位似比为：；（3）如图所示，即为所求．【点睛】本题考查位似图形的意义及作图能力．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．6．（2023春·山东东营·八年级统考期末）如图，点的坐标为，点的坐标为①以点为旋转中心，将顺时针方向旋转90°，得到；②以点为位似中心，将放大，使相似比为，且点在第三象限．（1）在图中画出和；（2）请直接写出点的坐标：（______，______）（3）在上面的（2）问下，直接写出在线段上的任意动点的对应点的坐标：（______，______）．【答案】（1）见解析；（2）-3，-4；（3）3-2a，-2b【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出B、O的对应点B1、O1得到△AB1O1；把△OAB向左平移1个单位，再把平移后的各顶点的坐标都乘以-2后向右平移1个单位得到△A2B2O2各顶点的坐标，然后描点即可；（2）（3）由（1）中的图形变换规律写出A2和P2的坐标．【详解】解：（1）如图，△AB1O1和△A2B2O2为所作；（2）点A2的坐标：（-3，-4）；故答案为-3，-4；（3）点P2的坐标为（3-2a，-2b）．故答案为3-2a，-2b．【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．题型二黄金分割1．（2023秋·九年级课时练习）已知线段，点P是线段的黄金分割点，则线段的长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据黄金比值为计算即可．【详解】解：点是线段的黄金分割点，，，故选：D．【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，熟记黄金比值为是解题的关键．2．（2023·云南昆明·统考二模）如果矩形满足，那么矩形叫做“黄金矩形”，如图，已知矩形是黄金矩形，对角线，相交于且，则关于黄金矩形，下列结论不正确的是（）A． B．C． D．矩形的周长【答案】C【分析】计算得出，根据矩形的性质求得各项，即可判断．【详解】解：∵，且，∴，∵四边形是矩形，∴，故选项A正确，不符合题意；∴，故选项B正确，不符合题意；∴，故选项C错误，符合题意；∴矩形的周长，故选项D正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质，二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．3．（2023春·九年级课前预习）公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，称为最早的有关黄金分割的论著．“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图，点C把线段分成两份，如果，那么称点C是线段AB的黄金分割点．冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚，健康，可爱，活泼，他泛着可爱笑容的嘴巴位于黄金分割点处，若玩偶身高，则玩偶嘴巴离地高度是___m．

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据黄金分割比，即可进行解答．【详解】解：∵，∴，设玩偶嘴巴离地高度是，∴，解得：，故选：D．【点睛】本题主要考查了黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割比为．巩固训练1．（2023春·江苏盐城·九年级校联考期中）已知线段，若是的黄金分割点，则长为．（，精确到）【答案】【分析】利用黄金分割的定义进行计算，即可解答．【详解】是的黄金分割点，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了黄金分割，近似数，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．2．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考二模）黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割．如图，B为的黄金分割点（），如图长度为，则的长度约为．（黄金分割率为）​【答案】【分析】根据黄金分割的定义可知：，由此求解即可.【详解】解：∵B为的黄金分割点，，，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟记黄金比是解题的关键.3．（2023春·安徽·九年级专题练习）鹦鹉螺是一类古老的软体动物．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为8cm，则的长为cm．（结果保留根号）【答案】【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可解答．【详解】解：∵点P是的黄金分割点（），线段的长为，∴，∴，∴故答案为：．【点睛】本题考查了黄金分割的比例线段，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．4．（2023秋·河北保定·九年级统考期末）如图，已知线段，用尺规作图法按如下步骤作图．

（1）过点B作的垂线，并在垂线上取．（2）连接，以点C为圆心，为半径画弧，交于点E．（3）以点A为圆心，为半径画弧，交于点D．则点D是线段的黄金分割点，请说明其中的道理．【答案】见解析【分析】设长为x，则长为，利用勾股定理可得，进而可得，即可得，问题得解．【详解】解：设长为x，则长为，，．，，，，即点D是线段的黄金分割点．【点睛】本题主要考查了黄金分割的相关知识，根据题意，求出，，掌握黄金分割点的定义，是解答本题的关键．5．（2023·江西南昌·统考一模）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近时，越给人一种美感．如图，某女士身高，下半身长与身高的比值是．(1)求该女士下半身长；(2)为尽可能达到美的效果，求她应穿的高跟鞋的高度．（结果精确到）【答案】(1)该女士下半身x为；(2)她应穿的高跟鞋的高度为．【分析】（1）列式计算即可求解；（2）设需要穿的高跟鞋是，列方程求解即可．【详解】（1）解：；答：该女士下半身x为；（2）解：设需要穿的高跟鞋是，则，解得：，答：她应穿的高跟鞋的高度为．【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用．明确黄金分割所涉及的线段的比是解题关键．6．（2023秋·山西运城·九年级统考期末）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：黄金分割：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus，约前408年一前355年）发现：如图1，将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫做线段PB，AB的比例中项），则可得出这一比值等于（0.618…）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点P叫做线段AB的黄金分割点．采用如下方法可以得到黄金分割点：如图2，设AB是已知线段，经过点B作BD⊥AB于点B，且使BD＝AB，连接DA，在DA．上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE，C就是线段AB的黄金分割点．任务：（1）求证：C是线段AB的黄金分割点．（2）若BD＝1，则BC的长为．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）在直角三角形△ABD中设则，利用勾股定理求出，再求出，即，则，即可得出结论；（2）若BD＝1，则，把AB代入到即可求出AC，进而可求出BC．【详解】解：（1）∵BD⊥AB，∴△ABD是直角三角形，∵BD＝AB，∴设则，∴，∵DE＝DB，AC＝AE，∴，∴∴，∴，故C是线段AB的黄金分割点．（2）若BD＝1，则，由（1）知，∴，∴，∴．【点睛】本题考查黄金分割、勾股定理等知识，解题关键是正确理解题意，掌握黄金分割的定义．题型三三角形一边的平行线1．（2023秋·陕西西安·九年级西安市铁一中学校考开学考试）如图，在中，，且，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据，再根据平行线分线段成比例定理可得．【详解】解：∵，∴，∵，∴，故选A．【点睛】本题主要考查了行线分线段成比例定理，正确得到是解题的关键．2．（2023春·吉林长春·八年级校考期末）如图，，根据“平行线分线段成比例定理”，下列比例式中不正确的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例定理，即可解答．【详解】解：，，故A正确，不符合题意；，故B正确，不符合题意；，故C不正确，符合题意；，故D正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理应用，灵活运用定理，找准对应关系是解题的关键．3．（2023春·福建莆田·八年级校考期末）如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（）A． B． C．5 D．9【答案】A【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【详解】解：∵，∴，∵，，，，∴，∴，解得：，故选：A．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．巩固训练1．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校考开学考试）如图，，如果，，，那么．

【答案】/【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可．【详解】解：∵，∴，∵，，，∴，解得，经检验，满足所列方程，故答案为：．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理、解分式方程，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解答的关键，注意比例线段要对应．2．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）如图，直线．分别交直线m、n于点A，B，C，D，E，F．若，，则的长为．【答案】【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解即可．【详解】解：∵直线，∴根据平行线分线段成比例定理得：∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，理解并熟练运用基本性质定理是解题关键．3．（2023·河北衡水·校联考二模）如图，已知在中，，，点P是的中点，过点P的直线与交于点Q，依据尺规作图痕迹解决下列问题．

（1）与是否平行？（填“是”或“否”）；（2）的周长为．【答案】是8【分析】（1）由尺规作图痕迹可知，根据平行线的判定即可得到；（2）由平行线等分线段定理和三角形中位线定理即可求得结论．【详解】解：（1）与是平行，证明：由尺规作图痕迹可知，，；（2），点是的中点，，，是的中位线，，的周长．故答案为：是，8．

【点睛】本题主要考查了作图—基本作图，平行线等分线段定理和三角形中位线定理，熟知作一个角等于已知角的方法是解决问题的关键．4．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）如图，在中，点、、分别在、、上，，．若，，，求的长度．【答案】【分析】根据平行线分线段成比例，可得，代入数据即可求解．【详解】∵，，∴，∴，即∵，，，∴，解得：．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，找准对应边是解题的关键．5．（2023·全国·模拟预测）下面是证明直角三角形的一个性质定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，中，，点D为边上中点．求证：．方法一证明：延长至点E，使得，连接，．

方法二证明：过点D作于E．

【答案】见解析【分析】方法一：由题意易证四边形是矩形，然后根据矩形的性质可进行求证；方法二：由题意易得，然后根据平行线所截线段成比例可知，然后问题可求证．【详解】方法一证明：延长至点E，使得，连接，，

∵点D为边上中点，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形，∴，∴；方法二证明：过点D作于E，

∵，即，∴，∴点D为边上中点，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查矩形的性质、平行线所截线段成比例及线段垂直平分线的性质，熟练掌握矩形的性质、平行线所截线段成比例及线段垂直平分线的性质是解题的关键．6．（2023·全国·九年级专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务．梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：设，，依次是的三边，，或其延长线上的点，且这三点共线，则满足．这个定理的证明步骤如下：情况①：如图1，直线交的边于点，交边于点，交边的延长线与点．过点作交于点，则，（依据），∴，∴，即．情况②：如图2，直线分别交的边，，的延长线于点，，．…(1)情况①中的依据指：；(2)请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明；(3)如图3，，分别是的边，上的点，且，连接并延长，交的延长线于点，那么【答案】(1)两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例(2)证明过程见详解(3)【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理解决问题即可；（2）如图2中，作交于，模仿情况①的方法解决问题即可；（3）利用梅氏定理即可解决问题．【详解】（1）解：情况①中的依据是：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．故答案为：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．（2）证明：如图2中，作交于，则有，∴，∴，则，变形得，∴，∵，∴，∴，∴，∴．（3）解：∵，，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．题型四相似三角形的判定定理1．（2023秋·九年级课时练习）如图，下列条件不能判定的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．【详解】解：A、∵，，∴，故此选项不合题意；B、∵，，∴，故此选项不合题意；C、∵，∴，，∴，故此选项不合题意；D、不能判定，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．2．（2023秋·九年级课时练习）如图，为线段上的一点，与交于点，，与交于点，交于点，则下列结论中错误的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由相似三角形的判定逐一进行判断即可．【详解】解：，且，，，故选项B正确，不符合题意；，，故选项A正确，不符合题意；，，故选项C正确，不符合题意；由条件无法证明，故选项D错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．3．（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）如图，下列条件：①；②；③；④；其中单独能够判定的条件有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据相似三角形的判定逐一判断即可．【详解】解：，，，故①单独能够判定；，，，故②单独能够判定；由③不能判定，，，，故④单独能够判定；其中单独能够判定的条件有3个，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．巩固训练1．（2023秋·陕西西安·九年级高新一中校考开学考试）如图，P是的边上一点，请添加一个条件使得与相似，则你添加的条件可以是，（只需添加一个符合的条件即可）

【答案】（答案不唯一）【分析】由于两个三角形有公共角，因此可添加一组角对应相等即可判定两三角形相似．【详解】解：添加条件：，∵，，∴，故答案为：（答案不唯一）【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键：两组角对应相等的两个三角形相似，两组边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似．2．（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，在正方形网格中：①；②；③；这3个斜三角形中，能与相似的是．（点、、、、均在格点上）【答案】【分析】分别求出三个三角形的三边的比（按边长的大小顺序），所求三边之比等于的三边之比就是与相似的三角形．【详解】解：∵的三边之比是，的三边之比是的三边之比是，的三边之比是．∴与相似，故答案为：．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，勾股定理与网格，掌握“三边对应成比例，两三角形相似”是解题的关键．3．（2023秋·河南漯河·九年级统考期末）如图，在中，，，点为中点，点在上，当为时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似．

【答案】3或【分析】先得到，再分与两种情况讨论即可解答．【详解】解：当时，∵，∴，∴，当时，∵，∴，∴，综上，或，故答案为：3或．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是分类讨论思想的运用及熟练掌握相似三角形的判定定理．4．（2023春·吉林长春·九年级统考开学考试）如图，点是的边上的一点，点为上的一点，若，，求证：．

【答案】见解析【分析】先根据等边对等角得到，进而得到，再由即可证明．【详解】证明：，，

，

，

．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角，熟知两组角对应相等的两个三角形相似是解题的关键．5．（2023秋·河北沧州·九年级统考期末）如图，点，分别在的边，上，且，，，，求证：．

【答案】见解析【分析】根据已知线段长证，结合，两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似，可证．【详解】证明：，，，，，，，，，，（两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似）【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．6．（2023·浙江杭州·校联考三模）如图所示，延长平行四边形一边至点F，连接交于点E，若．

(1)求证：；(2)若，求的长．【答案】(1)见解析(2)9【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，则，即可求证；（2）根据平行四边形的性质可得，根据相似三角形的性质可得，即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴；（2）解：∵四边形是平行四边形，∴，由（1）可得，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等；相似三角形对应边成比例．题型五相似三角形的性质定理1．（2023春·四川达州·九年级校考期中）如图，在中，为上一点，连接，，且与相交于点，，则（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平行四边形的性质得到，得到，根据相似三角形的性质计算即可．【详解】解：四边形是平行四边形，，，，∴，，∴，故选：D．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．2．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期中）如图，与位似，点O为位似中心，若的周长等于周长的．，则的长度为（

）

A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】根据位似变换的概念得到，根据周长之比得到相似比，继而求解．【详解】解：∵与位似，∴，∵的周长等于周长的，∴相似比为，∵，∴，故选C．【点睛】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．3．（2023春·山东济宁·九年级统考期末）如图，矩形中，，，点E为的中点，点P为边上一个动点，连接，过点P作于点Q，当时，的长为（

）

A．3 B．4 C． D．【答案】B【分析】根据矩形性质，，点E为的中点，则，由得到，得到，则四边形为平行四边形，求出的长即可．【详解】解：∵四边形为矩形，∴，，∵点E为的中点，∴，∵，∴，∴，∵，∴四边形为平行四边形，∴；故选：B．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的性质等知识，解题的关键是证明四边形为平行四边形．巩固训练1．（2023·河南平顶山·统考模拟预测）如图，中，，点D、E分别是边上的动点，折叠得到，且点落在BC边上，若恰好与相似，则的长为．

【答案】或【分析】由折叠的性质可得，先证明只存在和两种情况，再设设，则，分两种情况利用相似三角形的性质列出方程求解即可．【详解】解：由折叠的性质可得，∵，∴互不相等，∵恰好与相似，∴只存在和两种情况，设，则，当时，则，∴，解得，∴；当时，则，∴，解得，∴；综上所述，的长为或，故答案为：或．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨风华中学校考开学考试）如图，在平行四边形中，点是边的中点，交对角线于点，则的值为．

【答案】2【分析】由平行四边形的性质得出，，由是边的中点，得出==，证，即可得解．【详解】解：∵四边形为平行四边形，∴，，∵是边的中点，∴==，∵，∴，，∴，∴，故答案为．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是掌握平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质．3．（2023春·海南海口·九年级海口市第九中学校考阶段练习）如图，在边长为的菱形中，，将菱形沿翻折，使点A的对应点G落在对角线上．若，则的长为cm，的长为cm．

【答案】2/【分析】根据菱形的性质，折叠的性质，以及，可以得到为等边三角形，根据三角形内角和和平角的意义，得出，对应边成比例，设，，，由比例式列出方程，再根据，解出，即可解答．【详解】由折叠的性质可知，，∴，∴四边形是菱形，∴，，∴为等边三角形，∴，，∴，又，∴，∴，∵，∴，∴，设，，，∴，即，又，即，解得，∵，即，∴，∴．故答案为：2；．【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和，平角的意义，相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据比例式列方程．4．（2023春·河北邢台·九年级统考开学考试）如图，为上一点，．

(1)求证：；(2)若平分，，求的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）根据三角形的外角等于和它不相等的两个内角和可得，证明即可解答．（2）结合（1）和平分，证明，可得，进而可得答案．【详解】（1）证明：∵，，∴，又∵，∴．（2）解：∵平分，∴，由（1）知，，∴，又∵，∴，∴，即，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到．5．（2023春·湖南株洲·九年级统考开学考试）如图，已知矩形，点在边上，连接，过点作交于点．

(1)求证：．(2)若，，，求的长．【答案】(1)证明过程见详解(2)的长为【分析】（1）根据矩形的性质可得，，根据，可得，由此可得，根据相似三角形的判定即可求解；（2）由（1）可知，根据相似三角形的性质即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，∴在中，，∵，∴，∴，∴，且，∴．（2）解：∵，，∴，且，由（1）可知，，∴，即，解得，，∴的长为．【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质的综合，掌握以上知识是解题的关键．6．（2023春·福建泉州·八年级校考期末）（1）如图①，中，．动点、、分别在边，，上，且，设，，求，，应满足的条件；（2）如图②，四边形中，，在射线上作点，线段上作点，，且上只存在唯一的点，求作符合条件的点，．（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）

【答案】（1）

（2）见解析【分析】（1）先证得，可得到，结合，可知，可以看作关于的一元二次方程的两个实数解．（2）以点为圆心，以长为半径作圆弧，交于点，以点为圆心，以适当长度为半径作弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点为，作射线，交的延长线于点．【详解】（1）∵，∴为等边三角形．∴．∴．又，∴．∴．∴．∴．∴．又，∴，可以看作关于的一元二次方程的两个实数解．∴．∴．（2）以点为圆心，以长为半径作圆弧，交于点，以点为圆心，以适当长度为半径作弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点为，作射线，交的延长线于点．

【点睛】本题主要考查一元二次方程、相似三角形的判定及性质，角平分线的作法，能根据题意构建一元二次方程是解题的关键．题型六重心的有关性质1．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）在等腰中，，分别是，的中点，点是线段上的一个动点，当的周长最小时，点的位置在（

）

A．的重心处 B．的中点处 C．点处 D．点处【答案】A【分析】连接，，首先证明，由，推出当共线时，的值最小，此时是的中线，由此即可判断．【详解】解：如图，连接PB，BE．

，，，，，，当共线时，的值最小，此时是的中线，也是中线，点是的重心，故选：A．【点睛】本题考查三角形的重心，等腰三角形的性质，轴对称线段和最短问题，关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决问题．2．（2023·陕西榆林·统考二模）如图，点G为的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，若，则EF的长度为（

）

A．1.7 B．1.8 C．2.2 D．3.4【答案】A【分析】根据点G为的重心，可知点E为的中点，点F为的中点，即可求解．【详解】解：∵点G为的重心，∴点E为的中点，点F为的中点，∴为的中位线，∴，∵，∴，故选：A．【点睛】本题考查了三角形重心的概念，知道重心是中线的交点是解题的关键．3．（2023春·福建泉州·九年级校联考期中）如图，在中，，点是的重心，，垂足为，若，则线段的长度为（

）A．4 B．3 C．6 D．【答案】A【分析】因为点是的重心，根据三角形的重心是三角形三条中线的交点以及重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是，可知点为的中点，，根据，可得，进而证得，从而得到，代入数值即可求解．【详解】解：如图，连接并延长交于点．点是的重心，点为的中点，，，，，，，，（公共角），∴，，，，，．故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的重心的定义及其性质，熟练运用三角形重心的性质是解题的关键．巩固训练1．（2023·江苏苏州·苏州高新区第二中学校考二模）等腰中，，，则重心G到底边的距离是．【答案】/【分析】根据题意作出高线，首先根据等腰三角形的性质及勾股定理可求得的长，再根据重心的性质即可求得结果．【详解】解：如图所示，过点A作于点D，

∵，，∴，∴，∵为等腰三角形底边上的中线，∴重心一定在上，且重心G到底边的距离为的长，根据重心的性质可知，．故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，重心的性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．2．（2023·上海·一模）如图，G是的重心，延长交于点D，延长交于点E，P、Q分别是和的重心，长为6，则的长为．【答案】1【分析】连接，延长交于F点，连接，由G是的重心，可证是的中位线，从而可求出的长．利用三角形重心的定义和性质得到，，再证明得到即可．【详解】解：连接，延长交于F点，连接，如图，

∵G是的重心，∴D、E分别是的中点，∴是的中位线，∴．∵P点是的重心，∴F点为的中点，，∵Q点是的重心，∴点Q在中线上，，∵，，∴，∴，∴，故答案为：1．【点睛】本题考查了三角形的重心，三角形的中位线，相似三角形的判定与性质．三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．3．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，在直角坐标系中，点B（-2，3），点C在x轴负半轴，OB=BC，点M为△OBC的重心，若将△OBC绕点O旋转90°，则旋转后三角形的重心的坐标为【答案】（1，2）或（-1，-2）或（-1，-2）或（1，2）【分析】先根据重心的性质求得重心M的坐标，再分△OBC绕点O顺时针旋转90°时和△OBC绕点O逆时针旋转90°时，利用全等三角形的判定和性质求解即可．【详解】解：∵OB=BC，点M为△OBC的重心，∴BM⊥x轴，∵点B的坐标为（-2，3），∴点M的坐标为（-2，1），①当△OBC绕点O顺时针旋转90°时，过点M作MD⊥x轴于点D，过点M1作M1E⊥y轴于点E，∠MOE+∠M1OE=90°，∠MOD+∠MOE=90°，∴∠MOD=∠M1OE，又∵MO=M1O，∴Rt△MOD≌Rt△M1OE，∴OD=OE=2，MD=M1E=1，∴点M1的坐标为（1，2）；②当△OBC绕点O逆时针旋转90°时，同理可得点M2的坐标为（-1，-2）；故答案为：（1，2）或（-1，-2）．【点睛】本题考查了重心的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，数形结合是解题的关键．4．（2023春·安徽芜湖·八年级校考阶段练习）如图，是的重心，且，，，求中边上的高．

【答案】【分析】延长到，使得，与交于点，连接，，延长与交于点，根据勾股定理的逆定理证明，继而求得的面积，最后根据的面积求得边上的高即可．【详解】解：延长到，使得，与交于点，连接，，延长与交于点，如图，

是的重心，，，，，，四边形为平行四边形，，，，，，，，，，设中边上的高为，则，．故中边上的高为．【点睛】本题考查了三角形的面积公式，平行四边形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．5．（2023·江西·九年级专题练习）如图均是由边长为1的小正方形组成的3×3网格，△ABC的顶点均在格点上．利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．(1)在图①中，作出△ABC的重心O．(2)在图②中，在△ABC的边AC上找一点P，连接BP，使△ABP的面积为△ABC面积的．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据三角形的重心是三角形的三条中线的交点，即可求解；（2）如图，连接EF交AC于点P，根据△AEP∽△CFP，可得点P即为所求，即可求解．【详解】（1）解：如图①中，点O即为所求；（2）解：如图②中，点P即为所求；理由如下∶∵AE∥CF，∴△AEP∽△CFP，∴，∴，∴△ABP的面积为△ABC面积的．【点睛】本题主要考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，熟练掌握三角形的重心是三角形的三条中线的交点，相似三角形的判定和性质定理是解题的的关键．6．（2023·吉林松原·校联考二模）如图，在正方形网格中，的顶点在格点（网格线的交点）上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．（保留作图痕迹）(1)在图1中作的重心（提示：三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心）；(2)在图2中作，且G是格点．（画出一个即可）【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据重心是三角形三边中线的交点，分别作出三边中线即可得到答案；（2）根据题意可知，因此只要保证等于即可，利用正方形的性质即可得解．【详解】（1）解：如图①，点D即为所求；；（2）解：如图2，，，，即为所求．．【点睛】本题主要考查矩形的性质，正方形的性质，三角形重心，熟知矩形的性质，正方形的性质是解题的关键题型七相似三角形的动点问题1．（2023秋·九年级单元测试）如图，在中，，，，是上一点，，点从出发沿方向，以的速度运动至点处，线段将分成两部分，可以使其中一部分与相似的点的个数为（

）A．0个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据相似三角形的判定定理“有两个角分别相等的两个三角形相似”，按点P的运动轨迹，一次进行判断即可．【详解】解：①当时，，②当时，，③当时，，④当时，，综上：一共有4个，故选：D．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握“有两个角分别相等的两个三角形相似”．2．（2023春·八年级单元测试）如图，中，，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿向点C运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿向点C运动，直到它们都到达点C为止．线段PQ的长度为y（cm），点P的运动时间为t（s），则y与t的函数图象是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据勾股定理可得，然后分两段：当点Q在AB边上时，，当点Q在BC边上时，，分别求出函数关系式，即可求解．【详解】解：∵，，，∴，根据题意得：点Q到达点B的时间是，到达点C的时间为，点P到达点C的时间为，当点Q在AB边上时，，，如图，过点Q作QD⊥AC于点D，则DQ∥BC，∴△ADQ∽△ACB，∴，∴，解得：，，∴，∴，即；当点Q在BC边上时，，，，如图，∴，，∴，即，综上所述，y与t的函数关系式为，∴函数图象第一段为过原点的直线的一部分，第二段为自左向右逐渐下降的线段．故选：A【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，求函数解析式，勾股定理，一次函数图象，熟练掌握相关知识点，并利用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键．3．（2023秋·云南楚雄·九年级校考期中）如图，在锐角三角形中，，，动点从点出发到点停止，动点从点出发到点停止，点运动的速度为，点运动的速度为，如果两点同时开始运动，那么以点，，为顶点的三角形与相似时的运动时间为（

）A．或 B． C． D．或【答案】A【分析】设以点，，为顶点的三角形与相似时的运动时间为，然后分两种情况讨论，即可求解．【详解】解：设以点，，为顶点的三角形与相似时的运动时间为，根据题意得：，，则，当，即时，∴，解得：；当，即时，∴，解得：，综上所述，以点，，为顶点的三角形与相似时的运动时间为或．故选：A【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．巩固训练1．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）在中，，，点是的中点，点为上一动点，当时，与相似．【答案】或【分析】根据相似三角形的性质可得比例关系进而得出的值．【详解】解：∵和相似时，∴或者，∵在中，，，点是的中点，∴，∴由可得，由可得，故答案为：或，【点睛】本题考查了相似三角形的性质，根据题意列出线段的比例关系是解题的关键．2．（2023秋·山东滨州·九年级统考期末）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若点P、Q分别从点A、B同时出发，问经过秒钟，与相似．【答案】2或5/5或2【分析】分和两种情况解答即可．【详解】解：设P、Q运动时间为秒，根据题意，，，则，当时，则，即，解得：；当时，则，即，解得：，综上，当经过2或5秒钟，与相似．故答案为：2或5．【点睛】本题考查相似三角形的动点问题，理解题意，掌握相似三角形的性质，分类讨论是解答的关键．3．（2023春·江苏淮安·八年级校考期中）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动．若P、Q两点同时开始运动，当点P运动到点B时停止，点Q也随之停止．运动过程中，若以B、P、Q为顶点的三角形与相似，则运动时间为s．【答案】2或【分析】设点P运动的时间为，则，，再分两种情况求t的值，一是，则，可列方程；二是，则，可列方程，解方程求出相应的t的值即可．【详解】解：设点P运动的时间为，则，∴，∵，∴当时，，∴，∴，解得；∵，∴当时，，∴，∴，解得．综上所述，运动时间为或．故答案为：2或．【点睛】此题重点考查相似三角形的判定与性质、动点问题的求解、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示相似三角形的对应边的长度是解题的关键．4．（2023春·黑龙江大庆·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，多长时间后，与相似？

【答案】或【分析】首先设经秒钟与相似，由题意可得，，，又由是公共角，分别从与分析，即可求得答案．【详解】解：设经秒钟与相似，则，，，，，是公共角，①当，即时，，解得：；②当，即时，，解得：，经过2或秒钟与相似．【点睛】此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．5．（2023秋·湖南益阳·九年级校联考期末）如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为xs．(1)当时，求x的值．(2)△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．【答案】(1)(2)能，AP＝cm或20cm【分析】（1）利用平行线分线段对应成比例，列比例式进行计算即可；（2）分类讨论：①△APQ∽△CQB，②当△APQ∽△CBQ，利用相似的性质，对应边对应成比例，列式计算即可．【详解】（1）解：当时，AP：AB＝AQ：AC，∵AP＝4x，AQ＝30－3x，∴，解得：x＝；（2）解：∵BA＝BC∴，①当△APQ∽△CQB时，有，即：，解得：，∴（cm），②当△APQ∽△CBQ时，有，即：，解得：x＝5或x＝－10（舍去），∴PA＝4x＝20（cm），综上所述，当AP＝cm或20cm时，△APQ与△CQB相似．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，以及相似三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点是解题的关键．6．（2023秋·四川乐山·九年级统考期末）如图，正方形的边与矩形的边重合，将正方形以秒的速度沿方向移动，移动开始前点与点重合．已知正方形的边长为，，，设正方形移动的时间为秒，且．(1)当______秒时，；(2)若以、、为顶点的三角形同相似，求的值；(3)过点作交于点，连接．①若的面积为，的面积为，则的值会发生变化吗？请说明理由；②当线段所在直线与正方形的对角线垂直时，求线段的长．【答案】(1)(2)或(3)①不会，见解析，②【分析】（1）根据，；根据三角形的面积为：，即可；（2）根据题意得，，，分类讨论，和相似，即可；（3）根据，得；根据相似三角形的判定，得，推出；再根据，，即可；根据线段所在直线与正方形的对角线垂直，得点在对角线所在的直线上，得是等腰直角三角形，根据，求出；再根据，即可得到的值．【详解】（1）由题意得，，，∵，∴，∴，故答案为：．（2）由题意的，，，∵，∴当，∴，解得：；当，∴，解得：，经检验：经经验，和满足条件．∴当或时，以、、为顶点的三角形同相似．（3）①结论：的值不会发生变化，理由如下：∵，∴，∵在和中，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴的值不会发生变化．如图：所示∵线段所在直线与正方形的对角线垂直，∴点在对角线所在的直线上，∴点、、三点共线，∴是等腰直角三角形，∴，化简得：，解得，，∵，∴，∵，∴．【点睛】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，动点运动的轨迹，勾股定理的运用．题型八相似三角形的应用1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨风华中学校考开学考试）如图，身高的小亮站在某路灯下，发现自己的影长恰好是，经测量，此时小亮离路灯底部的距离是，则路灯离地面的高度是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】证明，得出，即，求出结果即可．【详解】解：根据题意可知，，，，∴，∵，∴，，∴，∴，即，解得：，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，证明．2．（2023春·安徽·九年级专题练习）《墨经》最早述及的小孔成像，是世界上最早的关于光学问题的论述．如图是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像的长是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】据小孔成像原理可知，利用它们的对应边成比例就可以求出之长．【详解】解：如图过O作直线，交于F，

依题意，∴，∴，由可以得，∵分别是它们的高，∴，∵，∴，故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，还有会用相似三角形对应边成比例．3．（2023秋·山西大同·九年级统考期末）同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板与光屏间距离的一半，当蜡烛火焰的高度为时，所成的像的高度为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】利用蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板与光屏间距离的一半，得出蜡烛火焰的高度与像的高度的比值为，进而求出答案．【详解】解：∵，∴，，∴，

设所成的像的高度为由题意可得：，解得：，∴所成的像的高度为．故选：C．【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，理清题意，正确得出比例关系是解题关键．巩固训练1．（2023春·吉林长春·八年级校考期末）明珠绿星数学社团想利用标杆测量楼高，小明先在处坚立一根高的标杆，发现点、、在同一直线上．测得，，已知，点、、在同一直线上，于点，于点．则楼高为m．

【答案】【分析】根据题意可得，进而根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵，，∴，∴，∴，∵，，，∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．2．（2023春·吉林长春·八年级长春市解放大路学校校考期末）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小艺同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小艺的眼晴离地面高度为米，同时量得小艺与镜子的水平距离为米，镜子与旗杆的水平距离为米，则旗杆的高度为米．

【答案】【分析】根据镜面反射的性质，，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【详解】解：如图：

∵，，∴，∵，∴，∴即∴，经检验，是原方程的解，故答案为：8【点睛】本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．3．（2023秋·河北邢台·九年级统考期末）如图，为了测量平静的河面的宽度，即的长，在离河岸点米远的点，立一根长为米的标杆，在河对岸的岸边有一根长为米的电线杆，电线杆的顶端在河里的倒影为点，即，两岸均高出水平面米，即米，经测量此时三点在同一直线上，并且点共线，点共线，且均垂直于河面，

（1）过点作于，则米；设交于点，则米；（2）河宽米．【答案】12【分析】延长交的反向延长线于点，由求得，再由求得，便可解决问题．【详解】解：延长交的反向延长线于点，

则四边形是矩形，米，，（米），，，，，（米），，米，米，米，，，，，，，米，（米），故答案为：；；12．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定的应用，关键是构造和证明三角形相似．4．（2023春·山东东营·八年级统考期末）学完了图形的相似这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一棵大树的高度，如图，直立在处的标杆米，小爱站在处，眼睛处看到标杆顶，树顶在同一条直线上人，标杆和树在同一平面内，且点，，在同一条直线上已知米，米，米，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该树的高度．【答案】树高为米【分析】过作交于点，交于点，可证明四边形为长方形，可得的长；可证明∽，故可求得的长，所以树高的长即可知．【详解】解：过作交于点，交于点，由已知得，，，，，，四边形为矩形，米，米，米，米，，，，∽，，，解得：，米，答：树高为米．【点睛】本题考查了相似三角形在实际问题中的运用，关键是正确作出辅助线，构造出相似三角形．5．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）西安古城墙凝聚了中国古代劳动人民的智慧，它作为古城西安的地标性建筑，吸引了不少人慕名而来．节假日，看见宏伟的城墙后，他想要测量城墙的高度．如图，站在距城墙约30米的点N处（即米），把手臂向前伸直且让小棍竖直，乐乐看到点B和城墙顶端D在一条直线上，点C和底端E在一条直线上．已知乐乐的臂长约为60厘米，小棍长24厘米，求城墙的高度．

【答案】城墙的高度DE为12米【分析】先说明，根据相似三角形的性质可得，最后代入相关数据即可解答．【详解】解：由题意可作出下图：

由题意得，，米，∵，∴，∴，即，解得：．∴城墙的高度为12米．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，正确作出辅助线、构造相似三角形是解答本题的关键．6．（2023春·河南南阳·九年级淅川县第一初级中学校联考期中）“参天三柏倚高峰，武帝曾经驻六龙”讲的是嵩阳书院内的三棵古柏现存两棵，分别名为“大将军柏”和“二将军柏”，林学专家测定，古柏的树龄不低于年，是我国现存最古老和最大的柏树某中学数学课题学习小组欲测量“二将军柏”的高度，他们利用太阳光照射下的影长进行测量小西先在大树影子端点处竖立了一根长为米的木棒，并测得木棒的影长米，然后小乐在的延长线上找到点，使得点，，在同一直线上，并测得米，已知图中所有点均在同一平面内，且，，根据以上测量过程及测量数据，请你帮助该课题学习小组求出“二将军柏”的高度结果精确到米．【答案】20米【分析】从实际问题中抽象出相似三角形，利用相似三角形的性质列比例式求解即可．【详解】解：由题意得，，，∴，即，∴，∵，，，∴，即，解得，答：“二将军柏”的高度约为米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出相似三角形，难度不大．题型九实数与向量相乘1．（2023春·上海奉贤·八年级统考期末）下列关于向量说法错误的是（

）A．既有大小，又有方向的量叫做向量 B．向量的大小叫做向量的模C．长度为零的向量叫做零向量 D．零向量是没有方向的【答案】D【分析】根据向量的相关定义，逐项分析判断即可求解．【详解】A.既有大小，又有方向的量叫做向量，故该选项正确，符合题意；

B.向量的大小叫做向量的模，故该选项正确，符合题意；C.长度为零的向量叫做零向量，故该选项正确，符合题意；

D.零向量有方向的，但方向不是确定的，故该选项不正确，不符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了向量的相关定义，熟练掌握向量的定义是解题的关键．2．（2023·上海·九年级假期作业）已知为单位向量，向量与方向相反，且其模为的4倍；向量与方向相同，且其模为的2倍，则下列等式中成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平面向量的性质得到，，从而得到．【详解】解：根据题意知，，，则，，则，观察选项，只有选项B符合题意．故选：B．【点睛】此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握单位向量的知识．3．（2023·上海·九年级假期作业）已知非零向量、，且有，下列说法中，不正确的是()A．| B．C．与方向相同 D．【答案】C【分析】根据向量的相关概念逐项分析判断即可求解．【详解】解：∵非零向量、，且有，∴，，，与方向相反，故A，B，D正确，C错误，故选：C．【点睛】本题考查了向量的相关概念，掌握向量的相关概念是解题的关键．巩固训练1．（2023春·上海·八年级专题练习）如果与是平行向量且长度相同，那么向量（用表示）．【答案】【分析】利用向量相等，向