抛物线-高考数学知识点总结-高考数学真题复习

§9.7抛物线2014高考会这样考1.考查抛物线的定义、标准方程；2.考查抛物线的几何性质、焦点弦问题；3.考查直线与抛物线的位置关系．复习备考要这样做1.熟练掌握抛物线的定义和四种形式的标准方程；2.能根据抛物线的方程研究抛物线的几何性质；3.掌握直线与抛物线位置关系问题的一般解法．1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))离心率e＝1准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下[难点正本疑点清源]1．抛物线的定义抛物线的定义实质上给出了一个重要的内容：可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到 准线的距离，可以使运算化繁为简．2．抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，eq\f(p,2)等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．3．求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方程．1．动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________．答案y2＝4x解析设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.2．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1的右焦点重合，则p的值为________．答案4解析因为椭圆eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y2＝2px的焦点为(2,0)，则p＝4.3．(2012·重庆)过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝eq\f(25,12)，|AF|<|BF|，则|AF|＝________.答案eq\f(5,6)解析由于y2＝2x的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，设AB所在直线的方程为y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1<x2，将y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))代入y2＝2x，得k2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＝2x，∴k2x2－(k2＋2)x＋eq\f(k2,4)＝0.∴x1x2＝eq\f(1,4).而x1＋x2＋p＝x1＋x2＋1＝eq\f(25,12)，∴x1＋x2＝eq\f(13,12).∴x1＝eq\f(1,3)，x2＝eq\f(3,4).∴|AF|＝x1＋eq\f(p,2)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,6).4．(2012·四川)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝ ()A．2eq\r(2) B．2eq\r(3) C．4 D．2eq\r(5)答案B解析由题意设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则M到焦点的距离为xM＋eq\f(p,2)＝2＋eq\f(p,2)＝3，∴p＝2，∴y2＝4x.∴yeq\o\al(2,0)＝4×2＝8，∴|OM|＝eq\r(4＋y\o\al(2,0))＝eq\r(4＋8)＝2eq\r(3).5．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 ()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))) B．[－2,2]C．[－1,1] D．[－4,4]答案C解析Q(－2,0)，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k≤1.题型一抛物线的定义及应用例1已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标．思维启迪：由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，求|PA|＋|PF|的问题可转化为求|PA|＋d的问题．解将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±eq\r(6).∵eq\r(6)>2，∴A在抛物线内部，如图．设抛物线上点P到准线l：x＝－eq\f(1,2)的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为eq\f(7,2)，即|PA|＋|PF|的最小值为eq\f(7,2)，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P的坐标为(2,2)．探究提高与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．(2011·辽宁)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为 ()A.eq\f(3,4) B．1 C.eq\f(5,4) D.eq\f(7,4)答案C解析∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋eq\f(1,2)＝3，∴xA＋xB＝eq\f(5,2).∴线段AB的中点到y轴的距离为eq\f(xA＋xB,2)＝eq\f(5,4).题型二抛物线的标准方程和几何性质例2抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为2eq\r(5)，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．思维启迪：首先确定方程的形式，根据条件列方程确定方程中的系数．解由题意，抛物线方程为x2＝2ay(a≠0)．设公共弦MN交y轴于A，N在y轴右侧，则|MA|＝|AN|，而|AN|＝eq\r(5).∵|ON|＝3，∴|OA|＝eq\r(32－\r(5)2)＝2，∴N(eq\r(5)，±2)．∵N点在抛物线上，∴5＝2a·(±2)，即2a＝±eq\f(5,2)，故抛物线的方程为x2＝eq\f(5,2)y或x2＝－eq\f(5,2)y.抛物线x2＝eq\f(5,2)y的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,8)))，准线方程为y＝－eq\f(5,8).抛物线x2＝－eq\f(5,2)y的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(5,8)))，准线方程为y＝eq\f(5,8).探究提高(1)由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p的值，再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程．(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线的方程．解设直线OA的方程为y＝kx，k≠0，则直线OB的方程为y＝－eq\f(1,k)x，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx，,y2＝2px，))得x＝0或x＝eq\f(2p,k2).∴A点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2p,k2)，\f(2p,k)))，B点坐标为(2pk2，－2pk)，由|OA|＝1，|OB|＝8，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4p2\f(k2＋1,k4)＝1，①,4p2k2k2＋1＝64，②))②÷①解方程组得k6＝64，即k2＝4.则p2＝eq\f(16,k2k2＋1)＝eq\f(4,5).又p>0，则p＝eq\f(2\r(5),5)，故所求抛物线方程为y2＝eq\f(4\r(5),5)x.题型三直线与抛物线的位置关系例3(2011·江西)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2eq\r(2)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程．(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))，求λ的值．思维启迪：(1)联立方程，利用焦点弦公式求解；(2)先求出A、B坐标，利用关系式表示出点C坐标，再利用点C在抛物线上求解．解(1)直线AB的方程是y＝2eq\r(2)(x－eq\f(p,2))，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝eq\f(5p,4).由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.(2)由p＝4知4x2－5px＋p2＝0可化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2eq\r(2)，y2＝4eq\r(2)，从而A(1，－2eq\r(2))，B(4,4eq\r(2))．设eq\o(OC,\s\up6(→))＝(x3，y3)＝(1，－2eq\r(2))＋λ(4,4eq\r(2))＝(4λ＋1，4eq\r(2)λ－2eq\r(2))，又yeq\o\al(2,3)＝8x3，所以[2eq\r(2)(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.探究提高(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A、B两点．(1)设l的斜率为1，求|AB|的大小；(2)求证：eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))是一个定值．(1)解∵F(1,0)，∴直线l的方程为y＝x－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－1，,y2＝4x))得x2－6x＋1＝0，∴x1＋x2＝6，x1x2＝1.∴|AB|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)＝eq\r(2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(2)·eq\r(36－4)＝8.(2)证明设直线l的方程为x＝ky＋1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ky＋1，,y2＝4x))得y2－4ky－4＝0.∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x1，y1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(x2，y2)．∵eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3.∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))是一个定值．直线与抛物线的位置关系问题典例：(14分)(2011·湖南)已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(EB,\s\up6(→))的最小值．审题视角(1)依题设可知，利用直接法求轨迹方程；(2)先设直线l1的斜率为k，依题设条件可求出eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(EB,\s\up6(→))关于k的解析式，利用基本不等式求最值．规范解答解(1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意有eq\r(x－12＋y2)－|x|＝1.化简得y2＝2x＋2|x|.当x≥0时，y2＝4x；当x<0时，y＝0.所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)和y＝0(x<0)．[6分](2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y＝k(x－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.[8分]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1＋x2＝2＋eq\f(4,k2)，x1x2＝1.因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－eq\f(1,k).设D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.[10分]故eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(EB,\s\up6(→))＝(eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→)))·(eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→)))＝eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))＝|eq\o(AF,\s\up6(→))|·|eq\o(FB,\s\up6(→))|＋|eq\o(FD,\s\up6(→))|·|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(4,k2)))＋1＋1＋(2＋4k2)＋1＝8＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k2＋\f(1,k2)))≥8＋4×2eq\r(k2·\f(1,k2))＝16.[12分]当且仅当k2＝eq\f(1,k2)，即k＝±1时，eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(EB,\s\up6(→))取最小值16.[14分]答题模板第一步：联立方程，得关于x或y的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)第三步：建立关于所求问题的目标函数；第四步：最值问题常结合函数单调性或基本不等式求出；定值问题只证明函数为常数函数，与变量无关；第五步：反思回顾，有无忽略特殊情况．温馨提醒解决直线与圆锥曲线位置关系问题，要注意以下几点：(1)理解数形结合思想，掌握解决此类问题的一般方法；(2)不要忽略对Δ>0的限制或验证；(3)涉及平面向量运算时，要注意垂直、中点等几何性质的应用；(4)最值范围问题，要确定目标函数；探索性问题要先假设存在，然后推理求解．方法与技巧1．认真区分四种形式的标准方程(1)区分y＝ax2与y2＝2px(p>0)，前者不是抛物线的标准方程．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0)．2．抛物线的焦点弦：设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4)；(2)若直线AB的倾斜角为θ，则|AB|＝eq\f(2p,sin2θ)；(3)若F为抛物线焦点，则有eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p).失误与防范1．求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程．2．注意应用抛物线的定义解决问题．A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线eq\f(y2,5)－eq\f(x2,4)＝1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是 ()A．x2＝4y B．x2＝－4yC．y2＝－12x D．x2＝－12y答案D解析由题意得c＝eq\r(5＋4)＝3，∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，－3)，∴该抛物线的标准方程为x2＝12y或x2＝－12y.2．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为 ()A．18 B．24 C．36 D．48答案C解析不妨设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，由于l垂直于对称轴且过焦点，故直线l的方程为x＝eq\f(p,2).代入y2＝2px得y＝±p，即|AB|＝2p，又|AB|＝12，故p＝6，所以抛物线的准线方程为x＝－3，故S△ABP＝eq\f(1,2)×6×12＝36.3．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－eq\r(3)，那么|PF|等于 ()A．4eq\r(3) B．8 C．8eq\r(3) D．16答案B解析设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y2,8)，y))，则A(－2，y)，由kAF＝－eq\r(3)，即eq\f(y－0,－2－2)＝－eq\r(3)，得y＝4eq\r(3)，|PF|＝|PA|＝eq\f(y2,8)＋2＝8.4．从抛物线y2＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为 ()A．5 B．10 C．20 D.eq\r(15)答案B解析由抛物线方程y2＝4x易得抛物线的准线l的方程为x＝－1，又由|PM|＝5可得点P的横坐标为4，代入y2＝4x，可求得其纵坐标为±4，故S△MPF＝eq\f(1,2)×5×4＝10，选B.二、填空题(每小题5分，共15分)5．若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P的轨迹方程是_______．答案x2＝12y解析由题意可知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0，3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为x2＝12y.6．已知抛物线y2＝4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|＝4，则点M的横坐标x＝________.答案3解析抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1.根据抛物线的定义，点M到准线的距离为4，则M的横坐标为3.7．设P是曲线y2＝4x上的一个动点，则点P到点B(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为______．答案eq\r(5)解析∵抛物线的顶点为O(0,0)，p＝2，∴准线方程为x＝－1，焦点F坐标为(1,0)，∴点P到点B(－1,1)的距离与点P到准线x＝－1的距离之和等于|PB|＋|PF|.如图，|PB|＋|PF|≥|BF|，当B、P、F三点共线时取得最小值，此时|BF|＝eq\r(－1－12＋1－02)＝eq\r(5).三、解答题(共22分)8．(10分)抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．解如图，依题意设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则直线方程为y＝－x＋eq\f(1,2)p.设直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，则由抛物线定义得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)，即x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＝8.①又A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线和直线的交点，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋\f(1,2)p，,y2＝2px，))消去y得x2－3px＋eq\f(p2,4)＝0.∴x1＋x2＝3p.将其代入①得p＝2，∴所求抛物线方程为y2＝4x.当抛物线方程设为y2＝－2px时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x.综上，抛物线的方程为y2＝±4x.9．(12分)已知定点A(1,0)和直线x＝－1上的两个动点E，F，且eq\o(AE,\s\up6(→))⊥eq\o(AF,\s\up6(→))，动点P满足eq\o(EP,\s\up6(→))∥eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(FO,\s\up6(→))∥eq\o(OP,\s\up6(→))(其中O为坐标原点)．(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点B(0,2)的直线l与(1)中的轨迹C相交于两个不同的点M，N，若eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))<0，求直线l的斜率的取值范围．解(1)设P(x，y)，E(－1，yE)，F(－1，yF)．∵eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝(－2，yE)·(－2，yF)＝yE·yF＋4＝0，∴yE·yF＝－4，①又eq\o(EP,\s\up6(→))＝(x＋1，y－yE)，eq\o(FO,\s\up6(→))＝(1，－yF)，且eq\o(EP,\s\up6(→))∥eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(FO,\s\up6(→))∥eq\o(OP,\s\up6(→))，∴y－yE＝0且x(－yF)－y＝0，∴yE＝y，yF＝－eq\f(y,x)，代入①得y2＝4x(x≠0)，∴动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≠0)．(2)设l：y－2＝kx(易知k存在)，联立y2＝4x消去x，得ky2－4y＋8＝0，令M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝eq\f(4,k)，y1·y2＝eq\f(8,k)，eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＝eq\f(y\o\al(2,1)·y\o\al(2,2),16)－eq\f(y\o\al(2,1)＋y\o\al(2,2),4)＋1＋y1y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y1y2,4)))2－eq\f(y1＋y22,4)＋eq\f(3,2)y1y2＋1＝eq\f(12,k)＋1<0，∴－12<k<0，则实数k的取值范围为(－12,0)．B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，过焦点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点，若直线l的倾斜角为45°，则弦AB的中点坐标为 ()A．(1,0) B．(2,2)C．(3,2) D．(2,4)答案C解析依题意得，抛物线C的方程是y2＝4x，直线l的方程是y＝x－1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x,y＝x－1))消去y得(x－1)2＝4x，即x2－6x＋1＝0，因此线段AB的中点的横坐标是eq\f(6,2)＝3，纵坐标是y＝3－1＝2，所以线段AB的中点坐标是(3,2)，因此选C.2．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若eq\o(FA,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝0，则|eq\o(FA,\s\up6(→))|＋|eq\o(FB,\s\up6(→))|＋|eq\o(FC,\s\up6(→))|等于 ()A．9 B．6 C．4 D．3答案B解析设A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，又F(1,0)．由eq\o(FA,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝0知(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，即x1＋x2＋x3＝3，|eq\o(FA,\s\up6(→))|＋|eq\o(FB,\s\up6(→))|＋|eq\o(FC,\s\up6(→))|＝x1＋x2＋x3＋eq\f(3,2)p＝6.3．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A的坐标为()A．(2,2eq\r(2)) B．(2，－2eq\r(2))C．(2，±eq\r(2)) D．(2，±2eq\r(2))答案D解析如图所示，由题意，可得|OF|＝1，由抛物线的定义，得|AF|＝|AM|，∵△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1，∴eq\f(S△AMF,S△AOF)＝eq\f(\f(1,2)×|AF|×|AM|×sin∠MAF,\f(1,2)×|OF|×|AF|×sinπ－∠MAF)＝3，∴|AF|＝|AM|＝3，设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0),4)，y0))，∴eq\f(y\o\al(2,0),4)＋1＝3，解得y0＝±2eq\r(2).∴eq\f(y\o\al(2,0),4)＝2，∴点A的坐标是(2，±2eq\r(2))．二、填空题(每小题5分，共15分)4．已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P到准线的距离为d，且点P在y轴上的射影是M，点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，4))，则|PA|＋|PM|的最小值是________．答案eq\f(9,2)解析设抛物线y2＝2x的焦点为F，则Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，又点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，4))在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x＝－eq\f(1,2)，则|PM|＝d－eq\f(1,2)，又|PA|＋d＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝5，所以|PA|＋|PM|≥eq\f(9,2).5．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点A(0,2)，连接FA交抛物线于点B，过B作l的垂线，垂足为M，若AM⊥MF，则p的值为________．答案eq\r(2)解析由抛物线定义可知|BM|＝|BF|，又由平面几何知识得|BM|＝|BA|，所以点B为AF的中点，又Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,4)，1))在抛物线上，所以12＝2p×eq\f(p,4)，即p2＝2，又p>0，故p＝eq\r(2).6．设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，A是抛物线上的一点，eq\o(FA,\s\up6(→))与x轴正向的夹角为60°，则|eq\o(OA