高三数学一轮复习等差数列及其性质文大纲人教版

【考纲下载】1.理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．第2讲等差数列及其性质1．等差数列的有关概念

(1)等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第

项起，每一项与它的前一项的差等于

，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的

，通常用字母d表示．

(2)等差中项：在两个数a与b之间插入一个常数A，使a，A，b成等差数列，则把

叫做a与b的等差中项，

＝，即a＋b＝

.(3)等差数列的通项公式：

．同一个常数2公差AA2Aan＝a1＋(n－1)d(n∈N*)提示：通项公式an＝a1＋(n－1)d可以写成an＝dn＋(a1－d)，它是关于n的一次函数(d≠0时)或常函数(d＝0时)，它的图象是一条直线上点的横坐标为正整数的一群孤立的点，公差d是这条直线的斜率．2．等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和公式：Sn＝

＝

.【思考】

等差数列的前n项和Sn与函数的关系如何？(从d≠0与d＝0分别说明)

答案：当d≠0时，Sn＝n2＋n，Sn是关于n的二次函数，它的图象是过 原点的抛物线上横坐标为正整数的一群孤立点；当d＝0时，Sn＝na1，它的图象 是一条射线上横坐标为正整数的一群孤立点．3．等差数列的重要性质

(1)若m＋n＝p＋q，则

.(m，n，p，q∈N*)

特别地，若m＋n＝2p，则2ap＝am＋an.(2)等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d推广为an＝am＋(n－m)d.(3)设Sn是等差数列{an}的前n项和，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…构成的数列是等差数列．am＋an＝ap＋aq提示：这些重要结论，在解答选择题和填空题时非常有用(可直接应用)，在做解答题时虽然不能作为公式和定理用，但至少可以当作解题的目标或方向，检验结果的正误时可直接套用，运用上述结论时要注意它成立的条件．1．在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7，则a5等于(

)

A．3 B．7 C．10D．11

解析：设公差为d，则 .∴a1＝－2，d＝3，∴a5＝a1＋4d＝－2＋3×4＝10.

答案：C2．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于(

)A．4B．5C．6D．7

解析：∵a2＋a8＝2a5，∴a5＝6.

答案：C3．(2009·湖南)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11， 则S7等于(

)A．13B．35C．49D．63

解析：S7＝ ＝ ＝49.

答案：C4．(2009·山东)在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.

解析：设公差为d，∴3d＝a5－a2＝6.∴a6＝a3＋3d＝7＋6＝13.

答案：131.等差数列{an}中，a1和d是两个基本量，用它们可以表示数列中的任何一项，利用等差数列的通项公式与前n项和公式，列方程组解a1和d，是解决 等差数列问题的常用方法；2．由a1，d，n，an，Sn这五个量中的三个量可求出其余两个量，需选用恰当的公式，利用方程组求解．【例1】

(2009·全国Ⅱ卷)已知等差数列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0， 求Sn.

思维点拨：列方程组解a1和公差d.

解：设{an}的公差为d，则 即 解得 ，或 因此Sn＝－8n＋n(n－1)＝n(n－9)

或Sn＝8n－n(n－1)＝－n(n－9)．变式1：等差数列的前n项和为Sn，若S12＝84，S20＝460，求S28.

解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 则Sn＝na1＋n(n－1)d. ∵S12＝84，S20＝460，

∴ 解得

∴Sn＝－15n＋n(n－1)×4＝2n2－17n. ∴S28＝2×282－17×28＝1092.证明{an}为等差数列的方法：1．用定义证明：an－an－1＝d(d为常数，n≥2)⇔{an}为等差数列．2．用等差中项证明：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}为等差数列．3．通项法：an为n的一次函数或常函数⇔{an}为等差数列．4．前n项和法：Sn＝An2＋Bn或Sn＝ ⇔{an}为等差数列．【例2】

已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝. (1)求证：是等差数列；

(2)求an的表达式． 思维点拨：(1)由an与Sn的关系先转化为an＝Sn－Sn－1(n≥2)， 然后利用定义证明

(2)先求Sn，再求an.证明：(1)∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，又an＝－2Sn·Sn－1，∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0，∴ ＝2(n≥2)．由等差数列的定义知是以

为首项，以2为公差的等差数列．(2)解：由(1)知 ＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，∴Sn＝.当n≥2时，有an＝－2Sn×Sn－1＝－.又∵a1＝，∴an＝利用等差数列的性质解题，关键是要敏锐地观察出题中各项的脚标间的数量关系．【例3】

已知两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，且 ，则使得为整数的正整数n的个数是(

) A．2 B．3 C．4 D．5

思维点拨：灵活利用S2n－1公式中的a1＋a2n－1与an的关系．解析：∵∴当n＝1,2,3,5,11时，为整数．答案：D变式3：已知{an}是等差数列．

(1)前四项和为21，末四项和为67，且各项和为286，求项数；

(2)Sn＝20，S2n＝38，求S3n.

解：(1)∵a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3，

∴a1＋an＝(21＋67)＝22.

又∵286＝ ，∴n＝26， 即数列的项数是26.(2)∵{an}是等差数列．∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等差数列，设S3n＝x，则20,18，x－38成等差数列，即2×18＝20＋(x－38)，∴x＝54，即S3n＝54.解决等差数列前n项和的最值问题有两种方法，①利用an：当a1>0，d<0时，前n项和有最大值，可由an≥0且an＋1<0求得n的值；当a1<0，d>0时，前n项和有最小值，可由an≤0且an＋1>0求得n的值．②利用Sn：Sn＝n2＋n，即由二次函数求得当Sn取最值时n的值．【例4】

设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12>0，S13<0. (1)求公差d的取值范围；

(2)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．解：(1)∵S12>0，S13<0，∴

即又a3＝a1＋2d＝12，∴解得－<d<－3.(2)解法一：Sn＝na1＋ d(n＝1,2,3，…，12)．∴Sn＝n(12－2d)＋d∴当n＝6时，Sn有最大值，即Sn的值最大为S6解法二：由题意及等差数列的性质可得∴a7<0，a6>0.∴在数列{an}中，前6项为正，第7项起，以后各项为负(第7项也为负)，故S6最大．1．在有关等差数列的基本问题中，常常需要根据已知a1，an，d，n，Sn中的某些量去求其他未知的量，解方程是必不可少的，在运用方程的思想时，还要注意等差数列性质的运用以及整体代换思想的运用．【方法规律】2．注意设元技巧，利用对称性，减少运算量．若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为a－d，a，a＋d；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为a－d，a＋d，其余各项再依等差数列的定义进行对称设元．3．等差数列的前n项和公式是特殊的二次函数关系式，对前n项和的最大值或最小值的求解可以借助函数求最值的方法进行，也可以利用数列的通项公式进行求解.(12分)(2009·湖北卷)已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55，a2＋a7＝16.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}和数列{bn}满足等式：an=

(n为正整数)，求数列{bn}的前n项和Sn.【高考真题】解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则依题设d>0. ………1分由a2＋a7＝16，得2a1＋7d＝16.①由a3·a6＝55，得(a1＋2d)(a1＋5d)＝55.② ………3分由①得2a1＝16－7d，将其代入②得(16－3d)(16＋3d)＝220，即256－9d2＝220，∴d2＝4.又d>0，∴d＝2.代入①得a1＝1. ……5分∴an＝1＋(n－1)·2＝2n－1. ………6分【规范解答】(2)当n＝1时，a1＝，∴b1＝2.

………7分当n≥2时，两式相减得an－an－1＝，∴bn＝2n＋1.

………9分因此 ………10分当n＝1时，S1＝b1＝2；当n≥2时，Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2＋ ＝2n＋2－6.∵当n＝1时上式也成立，

∴当n为正整数时都有Sn＝2n＋2－6.

………

12分本题第(1)问的求解体现了方程思想，这种方法是数列中求通项公式