直线与方程课程(5篇)

第页共页直线与方程课程(5篇)人的记忆力会随着岁月的流逝而衰退，写作可以弥补记忆的缺乏，将曾经的人生经历和感悟记录下来，也便于保存一份美妙的回忆。的时候需要注意什么呢？有哪些格式需要注意呢？以下是我为大家搜集的优质范文，仅供参考，吧直线与方程课程篇一一、教学目的在理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程的根底上，进一步探究点法向式方程；学会分类讨论、数形结合等数学思想，形成探究才能。二、教学重点及难点本节的重点是直线的点法向式方程的推导及应用。在上一堂课的根底上，通过向量垂直的充要条件〔对应坐标的关系式〕推导出直线的点法向式方程。本节的难点是通过对直线与二元一次方程关系的分析^p，初步认识曲线与方程的关系并体会解析几何的根本思想！从而培养学生用坐标法对平面直线〔和以后的圆锥曲线〕的研究才能。三、教学过程复习上一堂课的教学内容讲授新课〔一〕点法向式方程1、概念引入从上一堂课的教学中，我们知道，在平面上过一点p，且与某一方向平行的直线l是惟一确定的．同样在平面上过一点p，且与某一方向垂直的直线l也是惟一确定的。2、概念形成直线的点法向式方程在平面上过一点p，且与某一方向垂直的直线l是惟一确定的。建立直角坐标平面，设p的坐标是(x0,y0)，方向用非零向量n(a,b)表示。那么如何根据条件求出直线l的方程呢？直线的点法向式方程的推导设直线l上任意一点q的坐标为(x,y)，由直线垂直于非零向量n，故pqn.根据pqn的充要条件知pqn0，即：a(xx0)b(yy0)0⑤；反之，假设(x1,y1)为方程⑤的任意一解，即a(x1x0)b(y1y0)0，记(x1,y1)为坐标的点为q1，可知pq1n，即q1在直线l上。综上，根据直线方程的定义知，方程⑤是直线l的方程，直线l是方程①的直线。我们把方程a(xx0)b(yy0)0叫做直线l的点法向式方程，非零向量n叫做直线l的法向量。3、例题解析直线与方程课程篇二平面解析几何第一讲直线方程知识归纳：一、直线的倾斜角与斜率1、确定直线的几何要素是：直线上两不同的点或直线上一点和直线的方向两个相对独立的条件注意：表示直线方向的有：直线的倾斜角〔斜率〕、直线的方向向量、直线的法向量2、直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角。注意：①从用运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴绕交点按逆时针方向转到与直线重合时所成的角；②规定：直线与x轴平行或重合时，直线的倾斜角为00③直线倾斜角α的取值范围是：00≤α<1800④在同一直角坐标系下，任何一条直线都有倾斜角且唯一，倾斜程度一样的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等。3、直线的斜率：倾斜角不是900的直线，它的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，即k=tanα(α≠900)。它从另一个方面反映了直线的倾斜程度。注意：一条直线必有一个确定的倾斜角，但不一定有斜率，当α=00时，k=0；当00<α<1800时，k》0；当α=900时，k不存在，当900<α<1800时，k<0。即：斜率的取值范围为k∈r例1、给出以下命题：①假设直线倾斜角为α，那么直线斜率为tanα；②假设直线倾斜角为tanα，那么直线的倾斜角为α；③直线的倾斜角越大，它的斜率越大；④直线的斜率越大，其倾斜角越大；⑤直线的倾斜角的正切值叫做直线的斜率。其中正确命题的序号为例2、直线的倾斜角为α，且sinα=4，求直线的斜率k54、直线斜率的坐标公式经过两点p的直线的斜率公式：k=y1-y21(x1,y1),p2(x2,y2)(x1≠x2)x1-x2注意：①斜率公式与两点的顺序无关，即k=y1-y2=y2-y1(x≠x)12x1-x2x2-x1②特别地：当y1=y2,x1≠x2时，k=0；此时直线平行于x轴或与x轴重合；当y1≠y2,x1=x2时，k不存在，此时直线的倾斜角为900，直线与y轴平行或重合。例3、点p(2,1),q(m,-3)，求直线p,q的斜率并判断倾斜角的范围。例4、〔三点共线问题〕a(-3,-5),b(1,3),c(5,11)三点，证明这三点在同一条直线上例5、〔最值问题〕实数x,y，满足2x+y=8，当2≤x≤8时，求y的最大值和最小值x5、直线的方向向量：p是直线l上的两点，直线上的向量pp及与它平行的向量都1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1≠x2)12称为直线的方向向量。直线pp与x轴不垂直时，x1≠x2，此时，向量12的坐标是1也是直线pp的方向向量，且它pp1212x2-x11，其中k为直线pp的斜率(x2-x1,y2-y1)，即〔1，k〕12x2-x16、直线的法向量：假如向量n与直线l垂直，那么称向量n为直线l的法向量。二、直线的方程1、定义：一般地，以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上点的坐标都是这个方程的解，这是，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。2、直线方程的几种形式〔1〕点斜式：问题：假设直线l经过点p，且斜率为k，求直线l的方程。0(x0,y0)解析：设点p(x,y)是直线l上不同于点p的任意一点，根据经过两点的直线的斜率公式，得k=y-y0，可化为0x-x0、斜率为k的直线l的方程。y-y0=k(x-x0)，即为过点p0方程y-y0=k(x-x0)是由直线上一点及其斜率确定的，把这个方程叫做直线的点斜式的方程，简称点斜式。注意：①k=y-y0与y-y0=k(x-x0)是不同的，前者表示直线上缺少一个点x≠x0，后者才是整条直线；x-x0②当直线l的倾斜角为00时，tan00=0，即k=0，这时直线l的方程为y=y0③当直线的倾斜角为900时，直线l斜率不存在，这时直线l与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示，它的方程是x=x0。即：局限性是不能表示垂直于x轴的直线。④经过点p的直线有无数条，可分为两类情况：0(x0,y0)ⅰ、斜率为k的直线，方程为y-y0=k(x-x0)ⅱ、斜率不存在的直线，方程为x-x0=0或写为x=x0例6、根据条件写出以下各题中的直线的方程①经过点p，倾斜角α=450，②经过点p,2)，斜率为2③经过点(4,2)，且与x轴平行1(-2,3)1(1④经过点(-2,-3)，且与x轴垂直〔2〕斜截式：问题：直线l的斜率是k，与y轴的交点是p(0,b)，代入直线方程的点斜式，得直线l的方程y-b=k(x-0)，也就是y=kx+b，我们称b是直线l在y轴上的截距。这个方程是由直线l的斜率k和它在y轴上的截距确定的，所以叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。注意：①b∈r②局限性：不表示垂直于x轴的直线③斜截式方程和一次函数的解析式一样，都是y=kx+b，但有区别：当斜率不为0时，y=kx+b是一次函数，当k=0时，y=b不是一次函数；一次函数y=kx+b〔k=0〕必是一条直线的斜截式方程。例7、求倾斜角是直线y=+1的倾斜角的1，且在y轴上的截距为-5的直线的方程。4〔3〕两点式：问题：直线l经过两点p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1≠x2)，求直线l的方程解析：因为直线l经过两点p≠1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1x2，)所以它的斜率k=y2-y1，代入点斜式，得x2-x1y-y1=y2-y1(x-x1)，当y2≠y1时，方程可以写成y-y1=x-x1x2-x1y2-y1x2-x1这个方程是由直线上两点确定的，所以叫做直线的两点式方程，简称两点式。注意：①方程y-y=y2-y1(x-x)与方程y-y1=x-x1比拟，后者比前者表示直线的范围更小了，前者不能11x2-x1y2-y1x2-x1表示斜率不存在的直线，后者除此外，还不能表示斜率为0的直线；局限性：不能表示垂直于坐标轴的直线。②两点式方程与这两个点的顺序无关。例8、点a(-5,0)，b(3,-3)，求直线ab的方程例9、一条光线从点a(3,2)出发，经x轴反射，通过点b(-1,6)，求入射光线和反射光线所在直线的方程〔4〕截距式：问题：直线l与x轴的交点为(a,0)，与y轴的交点为(0,b)，其中a≠0,b≠0，求直线l的方程。解析：因为直线l经过a(a,0)和b(0,b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得假如直线与x轴的交点为(a,0)，那么称a为直线在x轴上的截距。以上直线方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，所以叫做直线的截距式方程，简称截距式注意：方程x+y=1中a≠0,b≠0，所以它不能表示与坐标轴平行〔重合〕的直线，还不能表示过原点的直aby-0x-a，即为x+y=1=b-00-aab线。例10、过两点a(-1,1)，b(3,9)的直线在x轴上的截距为〔5〕一般式方程：以上几种形式的直线方程都是二元一次方程，即平面上任何一条直线都可以用一个关于xy的二元一次方程表示；而关于xy的二元一次方程，它都表示一条直线。因此我们把xy的二元一次方程ax+by+c=0(其中a,b不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式。注意：①直线的一般式方程能表示所有直线的方程，这是其他形式的方程所不具备的。②直线的一般式方程成立的条件是a,b不同时为0。③虽然直线的一般式有三个系数，但是只需两个独立的条件即可求直线的方程，假设a≠0,那么方程可化为x+by+c=0;假设b≠0，那么方程可化为ax+y+c=0，即y=-ax-c;aabbbb假设a=0，b≠0时，方程化为y=-c,它表示与x轴平行或重合的直线；b假设a≠0，b=0时，方程化为x=-c，它表示一条与y轴平行或重合的直线；a假设abc≠0时，那么方程可化为x-a+因此只需要两个条件即可。y=1-b④直线方程的其他形式都可以转化为一般式，因此在解题时假设没有特殊说明，应把最后结果互为直线的一般式例11、设直线l的方程为(m-2m-3)x+(2m+m-1)y=2m-6，根据以下条件分别确定m的值〔1〕l在x轴上的截距为-3〔2〕l的斜率是-1〔6〕点向式：问题：设直线l经过点p，v=(a,b)是它的一个方向向量，求直线l的方程0(x0,y0)解析:设p(x,y)是直线l上的任意一点，那么向量p与v共线，根据向量共线的充要条件，存在唯一实数t，0px=x0+at①，使p，即(x-x0,y-y0)=t(a,b)，所以⎧方程组①称为直线的参数式方程。0p=tv⎨⎩y=y0+bt22假如直线l与坐标轴不平行，那么ab≠0，于是可得x-x0y-y0=t,=t，消去参数t，得到直线l的普通方程abx-x0y-y0这个方程称为直线l的点向式方程，a,b叫做直线l的方向数。=ab考虑：假设给出直线的一般式方程ax+by+c=0，如何确定直线的方向向量？〔7〕点法式：问题：设直线l有法向量n=(a,b)，且经过点p，求直线l的方程0(x0,y0)解析：设p(x,y)是直线l上的任意一点，那么有p，即p0p⊥n0p⋅n=0因为pp0=(x-x0,y-y0)，n=(a,b)，所以有a(x-x0)+b(y-y0)=0这个方向是由直线l上一点p及直线l的法向量n确定的，称为直线l的点法式。0(x0,y0)考虑：假设给出直线的一般式方程ax+by+c=0，如何确定直线的法向量？三、直线的位置关系〔同一平面上的直线〕1、平行与垂直〔1〕两条直线平行的断定①当两条直线的斜率存在时，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式为例来研究直线平行的断定设两条直线分别为，那么l1,l2的倾斜角相等，即由α1=α2，l1：y=k1x+b1l2：y=k2x+b2假设l1//l2，可得tanα1=tanα2，也即k1=k2，此时b1≠b2；反之也成立。所以有l1//l2⇔k1=k2且b1≠b2②当两条直线的斜率都不存在时，二者的倾斜角均为900，假设不重合，那么它们也是平行直线注意：当不考虑斜率，即给出直线的一般式时，有如下结论：设两条直线分别为l1：a1x+b1y+c1不为0〕或l1//l2⇔a〔可用直线的方向向量或法向量解释〕1b2-a2b1=0且b1c2-b2c1≠0或ac12-a2c1≠0例12、点a(2,2)和直线l：3x+4y-20=0，求过点a和直线l平行的直线。〔引出平行直线系方程〕〔2〕两条直线垂直的断定①当两条直线的斜率存在且不为0时，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式为例来研究直线平行的断定设两条直线分别为，l1：y=k1x+b1l2：y=k2x+b2那么得直线l1的方向向量为：a=(1,k1)l2的方向向量为：b=(1,k2)，所以有l1⊥l2⇔a⊥b⇔a⋅b=0⇔1⨯1+k1⋅k2=0即l1⊥l2⇔k1⋅k2=-1注意：或用两条直线的倾斜角推倒：即tanα2=tan(900+α1)=-=0，l2：a2x+b2y+c2=0可得l1//l2⇔a1=b1≠c1〔其中分母a2b2c21，得到k1⋅k2=-1tanα1②两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零，那么两条直线垂直。由①②得，两条直线垂直的断定就可表达为：一般地，l1⊥l2⇔k1⋅k2=-1或一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零。注意：当不考虑斜率，即给出直线的一般式时，有如下结论：设两条直线分别为l1：a1x+b1y+c1例14、两直线l1：x+my+6=0，l2：(m-2)x+3y+2m=0，当m为何值时，直线l1与l2：①平行②重合③垂直例15、长方形abcd的三个顶点的坐标分别为a(0,1),b(1,0),c(3,2),求第四个顶点d的坐标例16、求证：不管m为取什么实数，直线(2m2-1)x+(m2-1)y=m2-5总通过某一定点=0，l2：a2x+b2y+c2=0可得l1⊥l2⇔a1a2+b2b1=0例13、求与直线3x+4y+1=0垂直且过点〔1，2〕的直线方程〔引出垂直直线系方程〕)例17、直线ax-y+2a+1=0，〔1〕假设x∈(-1〔2〕假设a∈(-,1,1)时，y》0恒成立，求a的取值范围；16时，恒有y》0，求x的取值范围四、到角、夹角〔1〕到角公式定义：两条直线l1和l2相交构成四个角，他们是两对对顶角，为了区别这些角，我们把直线l1绕交点按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角，如图，直线l1到l2的角是θ1，l2到l1的角是θ2(θ1》0,θ2》0,θ1+θ2=π)推倒：设直线方程分别是l1：y=k1x+b1l2：y=k2x+b2.l1到l2的角是θ①假设1+k1⋅k2=0，即k1⋅k2=-1，那么θ=π2②假设1+k1⋅k2≠0，设l1、l2的倾斜角分别为α1,α2，那么tanα1=k1,tanα2=k2由图1〕的θ=α2-α1，所以tanθ=tan(α2-α1)由图2〕的θ=π-(α1-α2)=π+(α2-α1)，所以tanθ=tan*π+(α2-α1)+=tanπ+tan(α2-α1)0+tan(α2-α1)==tan(α2-α1)1-tanπtan(α2-α1)1-0于是tanθ=tan(α2-α1)=tanα2-tanα1k-k=211+tanα2tanα11+k1k2即tanθ=k2-k1就是l1到l2的角θ1+k1k2〔2〕夹角公式定义：由〔1〕得，l2到l1的角是π-θ，所以当l1与l2相交但不垂直时，在θ和π-θ中有且只有一个角是锐角，我们把其中的锐角叫做两条直线的夹角，记夹角为α，那么tanα=当直线l1⊥l2时，直线l1与l2的夹角为k2-k1，即为夹角公式1+k1k2π2例18、等腰三角形一腰所在直线l1的方程是x-2y-2=0，底边所在直线l2的方程是x+y-1=0，点(-2,0)在另一腰上，求这条腰所在直线l3的方程五、两条直线的交点坐标：1、设两条直线分别为l1：a1x+b1y+c1=0，l2：a2x+b2y+c2=0那么l1与l2是否有交点，只需看方程组⎧a1x+b1y+c1=0是否有唯一解⎨⎩a2x+b2y+c2=0假设方程组有唯一解，那么这两条直线相交，此解就是交点的坐标；假设方程组无解，那么两条直线无公共点，此时两条直线平行；假设方程组有无穷多解，那么两直线重合例19、求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程。经过两直线l1:a1x+b1y+c1=0与l2:a2x+b2y+c2=0交点的直线系方程为其中λ是待定系数，在这个方程中，无论λ取什么实数，a1x+b1y+c1+λ(a2x+b2y+c2)=0，都得到a2x+b2y+c2=0，因此，它不能表示直线l2。2、对称问题〔1〕点关于点的对称，点a(a，b)关于p,y0)的对称点b〔m，n〕，那么由中点坐标公式0(x0m=2x0-a,n=2y0-b，即b〔2x0-a,2y0-b〕。〔2〕点关于直线的对称，点a(x0,y0)关于直线l:ax+by+c=0〔a、b不同时为0〕的对称点a'(x1,y1)，那么有aa’的中点在l上且直线aa’与直线l垂直。〔3〕直线关于直线的对称，一般转化为点关于直线的对称解决，假设直线l1与对称轴l相交，那么交点必在与l1对称的直线l2上，然后再求出l1上任意不同于交点的点p1关于对称轴对称的点p2，那么经过交点及点p2的直线就是l2；假设直线l1与对称轴l平行，那么在l1上任取两不同点p1、p2，求其关于对称轴l的对称点p1、p2，过p1、p2的直线就是l2。例题20、直线l:x+y-1=0，试求①点p(4,5)关于l的对称坐标；②直线l1:y=2x+3关于直线''''l的对称的直线方程。例题21、求函数y=六、两点间的间隔，点到直线间的间隔+的最小值。p〔1〕两点间的间隔：p1p2=1(x1,y1),p2(x2,y2)那么〔2〕点到直线的间隔:l点p，求点p0(x0,y0)，直线l:ax+by+c=0〔a、b不同时为0〕0到直线的间隔。解法一：如图，作p0q⊥l于点q，设q(x1,y1)，假设a,b≠o,那么由k1=-ab(,得kp0q=bak1kp0q=-1)，⎧ax+by+c=0⎪b⎨by-y=(x-x)从而直线p的方程为，解方程组qy-y=(x-x0)得0000⎪a⎩a⎧b2x0-aby0-acx=⎪⎪1a2+b2⎨2⎪y=ay0-abx0-bc1⎪⎩a2+b2∴d=pq==0ax0+by0+c==a2+b2容易验证当a=0或b=0时，上式仍然成立。l解法二：如图，设a≠0,b≠0，那么直线l与x轴和y轴都相交，过点p0分别作x轴和y轴的平行线，交直线于r和s，那么直线p0r的方程为y=y0，r的坐标为〔-by0+c,y0〕；ax,-直线p0s的方程为x=x0，s的坐标为〔-0ax0+c〕，b于是有p0r=-ax0+by0+cby0+c-x0=,aa=ax0+by0+cax0+cp-y0=,rs=0s=-bb0+by0+c。=d，由三角形面积公式可得d⋅rs=p设pq00r⋅p0s.于是得d=因此，点p0(x0,y0)到直线l:ax+by+c=0的间隔d=上式仍成立。注意:p0r⋅p0srs=容易验证，当a=0或b=0时，①假设给出的方程不是一般式，那么应先把方程化为一般式，再利用公式求间隔；②点到直线的间隔是点到直线上的点的最短间隔；③假设点在直线上，那么点到直线的间隔为0，但间隔公式仍然成立，因为此时ax0+by0+c=0。〔3〕两平行线间的间隔。定义；两条平行直线间的间隔是指夹在两条平行直线间公垂线段的长，即一条直线上的点到另一条直线的间隔。两条平行直线l1:ax+by+c1=0与l2:ax+by+c2=0的间隔公式d=推导过程：设p那么p到l2:ax+by+c2=0的间隔0(x0,y0)为直线l1:ax+by+c1=0上任意一点，0为d=，又因为p0在l1:ax+by+c1=0上，所以ax0+by0+c1=0，即ax0+by0=-c1,所以d=注意：应用此公式时，要把两直线化为一般式，且x、y的系数分别相等。例题22、求经过点a(-1,2)与b(-,0)的直线上一点c〔5，n〕到直线x+y=1的间隔。例题23、求经过点a〔1，2〕且到原点的间隔等于1的直线方程。例题24、三角形abc中，点a〔1，1〕，b〔m〕〔1例题25、求过点p〔1，2〕且与a〔2，3〕，b(4,-5)两点间隔相等的直线方程。作业：1、设θ∈(52π2,π)，那么直线xcosθ+ysinθ+1=0的倾斜角α为〔〕(b)θ(c)θ+(a)θ-π2π2(d)π-θ2、设p〔x，y〕是曲线c：x2+y2+4x+3=0上任意一点，那么y的取值范围是xa．[-3,3]b．(-∞,-3]⋃*,+∞)c．[-3,]d．(-∞,-]⋃*,+∞)33333、m(2，－3)，n(－3，－2)，直线l过点a(1，1)且与线段mn相交，那么直线l的斜率k的取值范围是3或k≤－443b.－4≤k≤433c.≤k≤4d.－≤k≤4444．过点p〔6，－2〕且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线的方程是a．2x+3y-6=0c．x-y+3=0b．2x+3y-6=0或3x+4y-12=0d．x+2y-2=0或2x+3y-6=05、假设直线l经过点(1,1),且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2,那么直线l的条数为(a)1(b)2(c)3(d)46、如下图，直线l1：ax－y＋b=0与l2：bx－y＋a=0(ab≠0,a≠b)的图象只可能是7、假设三点a(3,a)、b(2,3)、c(4,b)在一条直线上,那么有(a)a=3,b=5(b)b=a+1(c)2a－b=3(d)a－2b=38、直线l经过原点和点(－1,－1),那么它的倾斜角是aa.π5ππ5ππb.c.或d.－444449.直线l1：a1x+b1y+c1＝0与直线l2：a2x+b2y+c2＝0相交，那么方程λ1〔a1x＋b1y＋c1〕＋λ2〔a2x+b2y+c2〕2=0,(λ1≠0)表示〔〕+λ22a.过l1与l2交点的一切直线b.过l1与l2的交点，但不包括l1可包括l2的一切直线c.过l1与l2的交点，但包括l1不包括l2的一切直线d.过l1与l2的交点，但既不包括l1又不包括l2的一切直线10.方程(a－1)x－y+2a+1=0(a∈r)所表示的直线a.恒过定点(－2,3)b.恒过定点(2，3)c.恒过点(－2,3)和点(2，3)d.都是平行11、过点(-1，)且与直线3x-y+1=0的夹角为π的直线方程是〔〕6a、x-3y+4=0b、x+1=0或x+3y-2=0c、x+1=0或x-y+4=0d、y=或x+3y-2=012、直线xcosα+3y+2=0的倾斜角的取值范围是_________。13、直线l的方向向量为〔-1，2〕，直线l的倾斜角为14、直线l过p〔-2，3〕且平行于向量d=〔4，5〕，那么直线l的方程为。15、点m(a,b)在直线3x+4y=15上，那么16、△abc的三个顶点a(－3,0),b(2,1),c(－2,3).求：〔1〕bc所在直线的方程;〔2〕bc边上中线ad所在直线的方程;〔3〕bc边的垂直平分线de的方程.17、求到两直线l1：3x+4y-5=0和l2：6x+8y-9=0间隔相等的点p(x,y)满足的方程直线与方程课程篇三ⅰ.课题导入［师］同学们，我们前面几节课，我们学习了直线方程的各种形式，以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之这条直线上的点的坐标都是这个方程的解。这是这个方程叫做这条直线的方程；这条直线叫做这个方程的直线。如今大家回忆一下，我们都学习了直线方程的哪些特殊的形式。我们学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式等形式，对直线方程的表示形式有了一定的认识.如今，我们来回忆一下它们的根本形式.点斜式的根本形式：y－y1＝k〔x－x1〕适用于斜率存在的直线.斜截式的根本形式：y＝kx＋b适用于斜率存在的直线；两点式的根本形式：直线；截距式的根本形式：yy1xx1〔x1≠x2，y1≠y2〕适用于斜率存在且不为0的y2y1x2x1xy＝1〔a，b≠0〕在使用这些方程时要注意它们时要注意它们的限制条件。那么大家观察一下这些方程，都是x,y的几次方程啊？［生］都是关于x，y的二元一次方程.那么我们原来在代数中学过二元一次方程它的一般形式是什么呀？〔板书〕ax＋by＋c＝0我们如今来看一次这几种学过的特殊形式，它们经过一些变形，比方说去分母、移项、合并，这样一些变形步骤。能不能最后都化成这个统一的形式呢？比方说y＝kx＋b，xayb＝1，这些我们最终都可以吧它们变成这种形式。剩下的两种形式的变形留给同学们课下自己去完成。那么在学习这些直线的特殊形式的时候，应该说各有其特点，但是也有些缺乏。在使用的过程中有些局限性。比方说点斜式和斜截式它们的斜率都必须存在，两点式适用于适用于斜率存在且不为0的直线，截距式适用于横纵截距都存在且不为0的直线.那么我们如今想一想有没有另外一种形式，可以综合他们各自的一些特点，也就是这些方程最后化成一个统一的形式。能不能代表平面直角坐标系中的直线。要解决这些问题呢，要分两个方面进展讨论。1.直线和二元一次方程的关系〔1〕在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程.一个方面：是不是平面上的任意直线，表示它的方程都可以写成ax＋by＋c＝0的形式，刚刚大家做了一些练习，当然这只是特殊形式，是不是所有的直线都可以写成这种形式呢？直线按斜率来分类可以分几类？斜率存在和斜率不存在。这两类是不是都可以转化成一元二次方程的形式。当倾斜角不等于90°是斜率存在，直线方程可以写成y＝kx＋b的形式。可以转化成kx-y＋b=0和ax＋by＋c＝0比拟发现什么？a=kb=-1c=b。当倾斜角等于90°斜率不存在，直线方程可以写成x=x0的形式。可以转化成x-x0=0和ax＋by＋c＝0比拟发现什么？a=1b=0c=-x0好，我们就把它分为这两种情况，当斜率存在的时候我们一般把它设成一个简单的斜截式，斜截式经过变形就可以化成一般的形式。而对于斜率不存在的时候，它的方程形式就是x=x0直线方程也可以转化成这样的一个形式。那么由此可以下这样一个结论：平面上的任意的一条直线，表示它的方程最后都可以转化成二元一次方程的形式。刚刚我们从这个角度考虑，就是直线都可以转化成二元一次方程，如今我们反过来看，是不是任意的一个二元一次方程最终在直角坐标系下都可以表示直线。〔2〕在平面直角坐标系中，任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.因为x，y的二元一次方程的一般形式是ax＋by＋c＝0，其中a、b不同时为0，在b≠0和b＝0的两种情况下，二元一次方程可分别化成直线的斜截式方程y＝－示与y轴平行或重合的直线方程x＝－acx和表bbc.a也就是说ax＋by＋c＝0〔a，b不同时为零〕大家想想假如ab都等于零这个直线方程就没了。如今我们考虑一下，这个方程能不能经过一些适当的变形，变成我们熟悉的形式，而确定它就是一个在平面直角坐标系中就是一条直线呢？by＝-ax-c斜截式方程，斜率是是y轴上的截距。二元一次方程通过变形在直角坐标系下都表示一条直线。那么我们从两个方面在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程.在平面直角坐标系中，二元一次方程都表示一条直线.根据上述结论，我们可以得到直线方程的一般式.我们就把代数中的二元一次方程定义为直线的一般式方程。定义：我们把关于x,y的二元一次方程ax+by+c=0〔其中a,b不同时为0〕叫做直线的一般式方程。我们在学习前面直线的几种特殊形式的方程，一眼就可以看出这条直线的某些特点，比方说点斜式就可以看出它的斜率还有过一个定点，还有两点式可以看出它过两个定点。那么我们怎么通过直线的一般式方程观察直线的一些特点呢？比方说a=0表示什么样一条直线？y=-平行于x轴的直线，也有可能与x轴重合。假如要平行于y轴这个系数要满足什么样的条件？假如旦旦是c等于零，通过原点的直线。假设ab都不等于零它的斜率我们____出来？这些直线的特点我们要能掌握住。我们对直线的一般式方程有了一定的理解。直线的一般式方程和和那几种特殊的形式之间有一个互相的转化，那么我们来看一个例子，通过一些转化来解决实际问题。［例1］直线经过点a(6，－４〕，斜率为－4，求直线的点斜式和一般式方程.3分析^p：此题中的直线方程的点斜式可直接代入点斜式得到，主要让学生体会由点斜式向一般式的转化，把握直线方程一般式的特点.解：经过点a(6，－４)，并且斜率等于－4的直线方程的点斜式是：3y＋４＝－4〔x－6〕3化成一般式得：４x＋3y－12＝0同学们在以后解题时，可能求直线方程的时候，求出不一定是一般式，可能是点斜式、两点式等等，如题目没有特殊要求我们都要把各种形式化成一般式。对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数为正，x，y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项，含y项、常数项顺序排列.直线与方程课程篇四《直线的方程》教案一、教学目的知识与技能：理解直线方程的点斜式的特点和使用范围过程与方法：在知道直线上一点和直线斜率的根底上，通过师生讨论得出点斜式方程情感态度价值观：养成数形结合的思想，可以使用联络的观点看问题。二、教学重难点教学重点：点斜式方程教学难点：会使用点斜式方程三、教学用具：直尺，多媒体四、教学过程1、复习导入，引入新知我们确定一条直线需要知道哪些条件呢？〔直线上一点，直线的斜率〕那么我们能不能用直线上这一点的坐标和直线的斜率把整条直线所有点的坐标应该满足的关系表达出来呢？这就是我们今天所要学习的课程《直线的方程》。2、师生互动，探究新知探究一：在平面直角坐标系中，直线l过点p〔0,3〕，斜率k=2，q(x,y)是直线l上不同于点p的任意一点，如ppt上图例所示。通过上节课所学，我们可以得出什么？由于p,q都在这条直线上，我们就