2023年高等教育自学考试《高等数学（一）》模拟真题一

2023年高等教育自学考试《高等数学(一)》模拟真题一

函数/(/)=2。学是

1.【单选题】

A.奇函数

B.偶函数

C.有界函数

D.周期函数

正确答案：c

=2/包了，当?.=g时函数有界.

参考解析:14-,rZ

函数~7一上-一二的定义域是

2.【单选题】vln(.r+y)

A.(x+y)>1

B.In(x+y)KO

C.(x+y)W1

D.(x+y)>0

正确答案：A

参考解析：

因为根号下不能为负,因此得In(_r+y)下不且分母不能为0,得Mln(.r+y)>0,又因为对数函数

的真数大于0得z+丫>0,由三个不等式解得N+Y>1.

ln(1+ar)

vIim-----------------=

3.【单选题】，・<T

A.1

B.Ina

C.a

D.ea

正确答案：C

..ln(1+a.i.)

参考解析：IPT

4.【单选题】设f(x)=2x,则f''(x)=

A.2xln22

B.2xln4

C.2X-2

D.2X•4

正确答案：A

参考解析：/(x)=2',则/'(/)=2J・In22.

5.【单选题】设f(x)在x=0处可导，则f'(0)=

二®

A.)

lim[/(A.r)-f(0)]

B.►

lima£--------------------

C.a,-

lim/(0)-/(A^)

D..►A.r

正确答案：A

参考解析：

由函数/（z）在点用可导的定义/（To）=lim孚=lim人工。+/一”引，

Ar-OAJTAJ-OAJ*

得/（0）=lim/（°）,所以选A.

6.【单选题】设三元函数f（x,y）在点（x。，y。）处有极大值且两个一阶偏导数都

存在，则必有

A./"r（io，«yo）＞0,/（―,％）＞0

B./",（？・y）＞0，/'v（7o，、。）=0

c./［（一，・y））=0，/'v（z，，H）＞0

D.厂（/•、）=0,，、（」..V。）=0

正确答案：D

参考解析：

由题意及函数极大值与偏导数之间的关系可得/.(a.>)=0,/v(.r„o')=0•故选D.

7.【单选题】设z=e'siny,则dz=

A.excosy(dx+dy)

B.ex(sinydx-cosydy)

C.ex(sinydx+dy)

D.ex(sinydx+cosydy)

正确答案：D

参考解析：

U=eJsiny•三=cosy,所以du=—•da*+—•dv—eJ(sinydx+cosydyX

c/jrdydj：dy

ar曲啡斯】函数/")=•?一]的极大值点为

8.【单选题】3

A.x=-3

B.x=-l

C.x=l

D.x=3

正确答案：B

参考解析：

/(7)=-...JC极大值点为N=-1,当JT=—1时，/(力=~.

9.【单选频】若直线x=l是曲线y=f(x)的铅直渐近线，则f(x)是

.2

A.JT+1

*21

B.T——1

]

c.JC—2z+1

D.z?+2z+1

正确答案：c

参考解析：

由铅直渐近线求函数的概念知.A,D不令题意，因为相应函数甄断点不是z=1.所以1=1不是

相应曲线的铅直渐近线.虽工=1是函数星二的间断点，但lim立】=2,故选项B是错误的,所以选C

10.【单选题】下列无穷限反常积分发散的是

e'dx

A.Ji

erdz

B.J1

f+001

-ydl

C.J1

丁工2dz

D.Jl1+T

正确答案：B

参考解析：反常积分发散的为［c'dz

11.【简单计算题】

设函数/（»=等，则当Z工一1时，试求

x4-1

我的回答：

〃/81=八3）=：^=鼻.

参考解析：1—1

设/I）=/-,求/（I）.

12.【简单计算题】t2//-f11

我的回答：

参考解析：仆.）=-I，

故/'（公=-y（4J-374-2J-'）.

乙乙

则/(I)=iX(4一告+2)9

乙4=丁・

7,求/'(1)・

13.【简单计算题】

我的回答:

参考解析:

设，=工•则有/=—*/（/）=，，得到/（X）='，因此/（X）=-4.

14.相单计算题】‘'.'L

设函数/（T）=arctanz,求f（0）,（0）.

我的回答：

—2x

/（工）=；-■―-・/"(%)=

参考解析：1-J-(1+/)2

2(3M—1)

r（x）(1+12尸

由此得八°）=言¥=0,

o

2(3/-1)

<(0)=)=—2.

(1+MLO

计算定积分I=(1-sin\r)dx.

15.【简单计算题】0

我的回答：

参考解析：

fw/1\*4

/=兀+(1—cos'x)dcos.r=7t4"(cosJC..-cos3x)=兀----.

Jo'ozo3

16.【计算题】指出下列函数由哪些函数复合而成？

(1)y=(cosx)3：

(2)y=e'x

(3)

1

y=-a-r--c-c--o--s--3zr

我的回答：

参考解析：解：(1)y=(cosx)：'是由y=u'，u=cosx复合而成。

(2)y=e「'是由y=eu,u=-x复合而成。

(3)

y—----.—是由》='，“=arccosv,v=3«r复合而成.

arccos3JU

17.【计算题】

a+arccosn-1V工V1

设丁=Y〃，«r=—1，试确定a方,使在z=—1处连续.

JW—19—8V］〈一1

我的回答：

参考解析：

因为lim/(J-)=lim—1=0,f(—1)=力，故6=0.

又因lim/(x)=lim(a+arccosx)=a+(2A+l)7t=0(4=0,±l,土2.…),

在

〃)

o广

故当a=-(2A+1)K,6=0时+z=—1处连续.

^

+1

1

我的回答:

参考解析:

1

(1+lim(l+)»r+l

〃+1n+1

lim(^)"=limd+1)"=lim------

8ni-1r-8〃~二v~1

(1+lim(1+

19.【计算题】设

r1

—sin04jr<n

y(j7)=<乙

.0,zV0或1>7t

求⑦（工）=，（1）山在（一8,十8）内的表达式.

我的回答:

参考解析：当1V°时,叙幻=J/a）d，=Odt=0；

I丁sintdt=《(一cost)

当04才《芥时.<1>（工）=/(z)dr==-(1—cosx)；

J044

=J/(/)dz=

当工〉农时，。（.r）/(z)dr+/(z)dr=---sintdt+|Odr=cosr)=11

。x<0

故0(X)=V1—COS/),04/47t.

1•1〉7：

住

求定积分Jr2sinxdj：

20.【计算题】Jo

我的回答：

参考解析：

7

Z

~J*;d(-cosx)=­J[COSX+"2xcosxdj-

o00

=2'xdsinx=2(jrsinx—"sinzclr)=n-2.

«00・o

21.【综合题】

设z=/(“,/,、)，〃=其中/具有连续的二阶偏导数.求;

dxdy

我的回答：

参考解析：

y

卫=/'.%十'-Lf.o=r.+e、•+

dxJ"drJJ，J"J'城丫J"eayay

/«,ev4-ev(f

，「热+/「热+十4办+几「踊+’外

y，，v

=工金、广必+efuy+/厘/二+y\v+e/\.

22.【综合题】某商品日产量是x个单位时，总费用F(x)的变化率为

f(x)=0.2x+5(元/单位),且已知F(0)=0,求：

(1)总费用F(x)；

⑵若销售单价是25元，求总利润；

⑶日产量为多少时，才能获得最大利润？

我的回答：

参考解析：(1)

F(x)=f(0.2x+5)dx=0.lx2+5z+C.因F(0)=0.故C=0.故F(T)=0.l.r2+5z.

22

(2)L(x)=25x-0.1X-5X=-0.1X+20XO

(3)L7X)=-0.2%+20.当工=100时=0,L"=-0.2<0.

故当N=100单位时获利润最大•且最大利润为1000元.

23.【综合题】欲做一个容积100立方米的无盖圆柱形容器，问此圆柱形的底面

半径r和高h分别是多少时，所用材料最省？并求此时所用材料的面积。

我的回答：

设所用材料面积为A.则

A'=0得唯一实驻点r0=々呼.

故当，,，=(米)'(米)时所用材料最省.

此时A=兀/+迎=30*T而(平方米).

r0

24.【综合题】设由抛物线y=x2与y=2-x?所围成的平面图形，试求：

(1)此平面图形的面积；

(2)此平面图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积。

我的回答：

参考解析：(1)

y=x22

先求交点,^(1,1),(-1,1),S=(2—x—JC)dx=*

y—2—x2

(2)

2

VT=7t[(2—/?)?—d]dz=2K(4—4x)dr=学九

一]o3

高等教育自学考试《高等数学(一)》

L修选题】设函数/Q+f=/+3'则/".)=

A.x2+2

/+1

B.T

C.x2

D.x-2

正确答案：D

参考解析：

八/十少=/+5=(/+!)2一2,故/⑺=/2-2,因此选D.

2.【单%题】’1

f21+3,z&O

已知函数[(])=《，则f(-1)+/(2)=

x3»1>0

A.8

艮7

C9

D.6

正确答案：C

参考解析：由题意可知，f(-l)=2X(-1)+3=1,f(2)=2=8,故f(T)+f(2)=9。

3.【单选题】

ln(l+x),n

设/(n)={7连续，则A的值为

、

k9X=0

A.1

B.-1

C.0

D.2

正确答案：A

参考解析：

lim/(x)=lim皿1-十产)=1,当且仅当/(O)=lim/(.r)时,函数连续.所以&=1,故选A.

^-•01-0Xx-»0

设二次函数z=e-),则等=

4.【单选题】

A.-e-sin(xy)

B.-sin(xy)e-sin(xy)

C.-xcos(/xy)\e-sin(xv)

D.-e-cos(xy)

正确答案:c

参考解析:令—sin(u^),则

f)u

=e"•cos(.ry)•(—x)=—xcos(.ry)•eMn，.所以选C.

函数cos受1的一个原函数为

5.【单选题】

兀•

s,n7t

A.-72

27T

——sin

B.Tt

Tt

7sm

C.V

27t

--------sin一T

D.7t2

正确答案:B

K2

cos—r-.r=-sin

参考解析:27T2

6.【单选题】设函数f(x)在x=a处可导，则f(x)在x=a处

A.不一定可微

B.可微

C.极限不一定存在

D.不一定连续

正确答案：B

参考解南：函数在某点连续是函数在该点可导的必要不充分条件，可微是可导的

充分必要条件.故选B.

修选题】曲线'=4+】的水平渐近线是

7.

A.X=-l

B.x=l

C.y=0

D.y=l

正确答案：D

曲线y=rJ+1的水平渐近线为.y=1.

参考解析：-1

8.【单选题】

函数？=SinX(7t+y)+y£(—7T.7T)的最大值为

A.0

B.n

7C

c.2

正确答案：D

参考解析：

由题意得知，函数》=sinJ"(7T+-^-)+E(—7T.K)的最大值为l+£.

已知函数八工)=，•，则/'(0)为

9.【单选题】1>0

A.0

B.1

C.2

D.不存在

正确答案：D

参考解析：

由题意可得./.(0)=lim八"一/⑹=1,/(0)=lim八虫二簪=0,因为(0)H

一。+工一°I-工一0

f'-(o),所以f'(0)不存在，故选D.

10.【单选题】

设二重积分的积分区域D是14,则2dxdy=

••

A.6n

B.3n

C.30Ji

D.4n

正确答案：A

参考解析：区域D是由半径为2和1的两个同心圆同成的圆环，则

J12dxdjy=211dj-dj*=21pdp]dO=22npdp=2XnX3=67r.

力”•、.

ii.【简单计算题】试判定y=ln(x+y/x2+1)的奇偶性.

我的回答：

参考解析：

2

因为f(_H)=ln[-x+y(-x)+l]=in(y?TT-x)=In("+"々十1二^

2

=In-,1-------=—ln(x-|-/x+1).

+1+工

即有/(-x)=一/(外,所以函数ln(/+，晚+])为奇函数.

求lim(secx-tanjr).

12.【简单计算题】：吟

我的回答：

参考解析：解:

原式=.匕皿=.ZLSOsx=0

«cosxx-sinx

r—♦2*2—•

计算lim(l+义”(常数k丰0).

13.【简单计算题】--7

我的回答：

公以在…令/=2,Z=乡，则当/f8时ff0,

参考解析：JI

于是有lim(1+—Y=lim[(l+—)f3*=lim[(l+，)+了=[lim(1+力十了=e*.

■T~»8X-8X，f0

求y=—的导数.

14.【简单计算题】1—工N(3T1)-

我的回答：

参考解析：

方程两边取对数/n1y=21nx—ln(1—x)+-^-[ln(3—x)—21n(34-x)J.

两边对工求导得7y=下一=7+手(——田)=丁—一一！■•垣二百'

,_/2111_9、_「2__1______/-9-Ixz3/""3—x-

，=夏―H—1一9"=[T―才一1-3(1一9)『(3+H尸

15.【简单计算题】

设D是由直线y=z，y=2z及y=2围成的积分区域,求二重积分「(/十》2—才)如此

我的回答：

=y

£(24^~~8)打=(96^)|0=T-

16.【计算题】求函数f(x)=x^3x的极值。

我的回答：

参考解析：

函数的定义域为(一8,+8).令=3/-3=0得驻点x=±1.

由于/'(-1)=-6<0,/(1)=6>0,所以/(r)的极大值为/(-1)=2.极小值为/(I)=-2,

17.【计算题】

讨论曲线y=(z—l)厅的凹凸性与拐点.

我的回答：

8O二

参考解析：'"+(1—1)•-x

〃40I10_J.104x-l

3

y=vx3-TX=§.方

令S=0,得X=T■•而在.r=0处,/不存在.

以点工=0,工=4•把定义域（-8.+，）分成3个部分,列表讨论如下.

4

1(!，+oo)

<—oo,0)0(o,4->

XT4

y+不存在—0+

3

凹0凸凹

y16宿

由表易见，曲线在（-8,0）及（｝.+8）上及内为凹曲线,在（0，1）内为凸曲线.拐点分别是（0,0）和

（彳.16占'

18.【计算题】

r161

求函数/（幻=12/_9f+i2z|在闭区间［一■「上的最大值与最小值.

我的回答：

参考解析:

函数/（/）在闭区间上连续,故存在最大、最小值.由于

-J(2T:-9H+】2).-4&Z&0

4

/(X)=|2x3-9x2+12x|=|x(2x2-9.r+12)|=

x(2x2-9x+12),0<xC4-

乙

2

—6J*+181—12,-----^~&.r40—6(x—1)(1—2)・----

44

因此f（工）=V

rS

6/-18E+12,0VXAT6(x-D(x-2),0<xC—

乂因为/'（0）=-12,/：（0）=12.所以由导数极限存在定理推知函数在R=。处不可导,求出函数/（］）

在极值点,r=l,2.不可导点工=。.端点x=-1.f的函数置

/(I)=5,/(2)=4./(0)=0,/(-Y)==5.

和工=处取得最大值

所以函数在工=。处取最小值0,在.r=1A5.

*2

t十算Xy/4—JT2dx.

19.【计算题】0

我的回答:

参考解析:

设z=2sin«(0V〃V亨),则di=2cos〃d〃.当工=0时，〃=0;当i=2时,〃=£•于是

JX2y/4-X2dxsin22udu=41----

'(2sinw)2•2cosu•2cosuAu=4

JoZ

•f].

=2cos4wd(4w)=2u'---^-sin4〃

04=7V.

20.【计算题】

设函数z=z(3)由方程/+/=2e2确定，求电+点.

我的回答：

参考解析：

令F(z,y.z)=e：+e：—2e?,F—eT-.F=—e-T.F.---+ye十).

xzzvy

KCdzzeTdzze?..dz.dz

所以丁=―7-----7，丁--------------«nxJ*7—rv-=z.

jre74-ye7办jret+ye：-----------«y

21.【综合题】收音机每台售价90元，成本为60元，厂方为鼓励销售商大量采

购，决定凡是订购量超过100台以上的，每多订购1台，售价就降低1分，但最

低价为每台75元。