原子物理与量子力学课件：力学量用厄米算符表达

原子物理与量子力学§4.1算符及其运算规则（一）算符算符：只是代表对函数施加某种运算的符号，是一种数学语言工具。例如等。量子力学中的力学量在与波函数的作用中，往往表现为一种运算形式，例如动量与相当，自由粒子体系的能量与相当。于是，用算符表示力学量的假设被人们初步认识。在量子力学中常把它称为是把算符“作用”到波函数上,作用的结果是得到了另外一个波函数.（二）算符的运算规则

如果量子力学的力学量F在经典力学中有对应的力学量，则表示这个力学量的算符,将代入由经典表示式，即

如果没有经典力学表达式的量子力学力学量，比如电子的自旋，它的算符由量子力学独立建立。例如，角动量算符(三)算符运算的基本性质定义1：线性算符

由于态叠加原理，在量子力学中的力学量算符应是线性算符。满足以下运算规则的算符称为线性算符：ψ1、ψ2是任意的两个波函数，c1与c2是两个任意复常数。定义2：单位算符单位算符

：对任意波函数运算后保持不变的算符，即其中ψ是任意波函数。那么，就说算符定义3：两个算符相等若两个算符和作用于任意一个波函数ψ所得的运算结果相同（即同一个函数），则称两个算符相等。例2：不能说算符与算符相等，因为它们是作用在一个特定的函数上，而不是作用于任意的函数上。定义4：算符之和如果把算符作用在任意函数ψ，所得到的结果和把算符分别作用在ψ上得到的两个新函数之和相等，即称算符等于与之和。写作例3：哈密顿算符就是动能算符与势能算符之和。算符求和满足交换律与结合律，当然，线性算符之和仍是线性算符。定义5：算符之积如果把算符作用于任意函数u

上得到一个新函数，且再使算符对这个新函数作用所得的结果等于另一个算符直接作用在

u

上所得的结果，即称算符为算符与的乘积。写成注意算符之积对波函数运算的先后次序，不能随便交换。一般地说算符之积不满足交换律，即定义6：对易式定义任意两个算符、的对易式为则称算符不对易；若若则称算符对易。类似地，定义两个算符、的反对易式为若或，称算符和反对易。下面是几个常见的对易式满足的恒等式定义7：逆算符设能够唯一地解出，即则称为算符的逆算符。并非所有的算符都存在逆算符。性质：若算符存在逆算符，则定义8：波函数的内积“标积”一个量子体系的任意两个波（态）函数与的内积定义为其中指对全空间的积分，是积分体积微元。由内积的定义式，可以证明式中c1、c2为任意常数。定义9：转置算符算符的转置算符定义式中与是任意两个波函数。或者写成定义10：复共轭算符算符的复共轭算符定义为算符的复共轭可以把相应算符中的所有量换成复共轭就行了。例6：在坐标表象中算符的厄米共轭算符定义为定义11：厄米共轭算符实际上，算符的厄米共轭算符等价于共轭转置算符，即证明：于是，有推论4：定义12：厄米算符厄米算符也称为自共轭算符，满足以下关系：由于厄米算符的平均值必是实数，满足力学量是可观测量（也是实数）的要求，在量子力学中，力学量用厄米算符算符表达。例8：等都是厄米算符证明：动量算符为厄米算符是厄米算符推论5：若是厄米算符，则。推论6：若两个厄米算符对易，则是厄米算符。例10：定义径向动量算符证明：证明：§4.2量子力学中的力学量用厄米算符表达(一)量子力学中的力学量用厄米算符表达1测量的平均值与涨落若测得结果A1的次数为m1，A2为m2，…，An为mn。设总次数为M，即M=m1+m2+…+mn，则测量该物理量的平均值为某一测量值Ai的次数mi与总测量次数的M之比mi/M称为Ai的概率，记为Pi。因此上式可用测量概率来表示

当可能值为离散值时:一个物理量的平均值等于物理量出现的各种可能值乘上相应的概率求和；当可能值为连续值时：一个物理量出现的各种可能值乘上相应的概率密度求积分。位置平均值量子力学中，粒子处于波函数为态，在时刻t，粒子位置在x~x+dx之间的概率正比于，粒子的平均位置如果是归一化的，则动量平均值对于归一化波函数，动量的平均值,是位置的函数对于给定的波函数，测量粒子的动量在范围内的概率为，其中可以通过傅里叶变换得到。借助于来计算动量的平均值式中用到傅立叶逆变换及的算符运算规则。这样，就得到在中计算动量的公式平均值和涨落量子力学中计算力学量（相应的算符为）在态下的平均值公式为某一物理量的测量结果则围绕平均值有涨落（偏差）。定义涨落为记称为测量结果的不确定度例1：求一维无限深势阱中运动的粒子基态平均动量厄米算符的性质厄米算符及测量平均值的定义，证明厄米算符两个重要定理。定理：体系的任何状态下，其厄米算符的平均值必为实数。

证明：由厄米算符的定义，在任意状态下，厄米算符的平均值为则平均值必为实数。逆定理：在任何状态下，平均值均为实数的算符必为厄米算符。推论设为厄米算符，则在任意态下，量子力学中力学量一定是线性厄米算符量子力学中的力学量都用算符来表示，力学量的平均值是由力学量算符和相应状态决定，定义为实验上可观测的力学量，要求在任何状态下平均值都是实数。根据厄米算符的性质定理及其逆定理知道，只有厄米算符能满足这个要求。而且量子力学状态波函数满足态叠加原理。(二)厄米算符的本征值与本征函数体系只有处于某些特殊的状态，测量力学量A

所得的结果才是完全确定的，即涨落这种状态称为力学量A

的本征态。即这个方程是算符的本征方程本征态下，厄米算符与本征函数性质定理1

厄米算符的本征值必为实数。证明：假定体系处于本征态，则厄米算符在任何状态下的平均值必为实数，所以An也必为实数。定理2

对于一个厄米算符，属于不同本征值的本征函数彼此正交。即两个波函数彼此正交。简并态问题

简并态：在求解量子力学体系的本征值问题时，力学量的同一个本征值有多个不同的本征态（波函数），体系处于这样的状态称为简并态。设力学量A的本征方程为即属于本征值的本征态有个，称本征值为重简并。量子力学体系当出现简并时，简并态不一定彼此正交。通过适当线性组合，使之彼此正交。令此即个波函数的线性叠加构成的波函数。选择组合系数，使具有正交性，即总可以找到一组，使上式的正交性条件满足。§4.3不确定度关系（一）量子力学的基本对易式与角动量的对易式

在量子力学中，同时涉及几个力学量时，如何取值？在经典力学中，两个或者多个力学量永远可以同时有确定值。在量子力学中，当体系处于任意可能态时，算符表示的力学量A没有确定值；如果是不同算符表示的不同力学量，一般情况下就更不能同时有确定值，只能在特殊情况下才能同时有确定值。不同力学量能否同时有确定值依赖于它们各自的算符及其相互关系。1.量子力学的基本对易式下面以第一个式子为例证明，设ψ为任意波函数则由ψ的任意性得以上对易式概括为2.角动量对易式角动量算符在直角坐标系下运用算符运算角动量分量与坐标分量之间的对易关系记忆方法：从左至右以依次循环指标为正，任何一个指标错位即为负，相同指标则为零。角动量分量之间的对易关系证明按照算符的行列式展开规则经典物理中自己与自己差乘一定等于零。而在量子力学中角动量与角动量差乘可以不等于0.这主要是因为角动量在量子力学总不同于经典力学，其根源是本征值为量子化的。角动量平方算符与角动量分量算符的对易关系角动量平方算符为可以证明(二)不确定度关系不确定度关系的物理表述及物理意义指量子力学体系中同时观测两个力学量（如A，B），得到的测量结果的不确定度所满足的关系，即若这两个力学量对应的算符彼此对易，则它们存在共同的本征态，在该本征态下的测量值就是相应的本征值；否则，它们没有共同本征态，同时测量时的测量值满足上述不确定度关系，其本质是微观粒子波粒二象性的表现。不确定度关系推导若算符和不对易时，常记为是一个力学量算符或普通的数。首先定义注意，仍为厄米算符，若巧妙设计积分利用的厄米性，可推出最后得出不确定关系

记为两个力学量不对易时，导致两力学量不能同时有确定,或者说，它们不能有共同本征函数。例如所以可见，若动量确定，；则，即位置完全不确定。试想，动量为的自由粒子以波长的状态（平面波）弥散于空间时，你能说出粒子的确定位置吗？反之，根据函数的性质，坐标本征函数可写为即位于点r的波（粒子）是许多不同波长（动量）的平面波的叠加，你能说出该波的波长（粒子的动量）是多少吗？总之，不确定关系所揭示的是量子力学规律的特点，是粒子具有波动性的必然结果。应用不确定关系估算一些力学量的不确定范围可参见教材。共同本征态两力学量同时有确定值的条件体系处于任意状态ψ(x)时，力学量

A

一般没有确定值。如果力学量A

有确定值，ψ(x)必为

A的本征态，即如果有另一个力学量B

在ψ

态中也有确定值，则ψ

一定也是B

的