微专题Ⅱ－1 三类“动态圆”模型的应用

三类“动态圆”模型的应用微专题Ⅱ－1|强化“科学思维”·强调应用建模·综合考法“精细研”010203目录模型(一)

“放缩圆”模型的应用模型(二)

“旋转圆”模型的应用模型(三)

“平移圆”模型的应用04专题跟踪检测01模型(一)“放缩圆”模型的应用当带电粒子垂直磁场方向射入匀强磁场，在磁场中做匀速圆周运动的半径不同时，所有带电粒子在磁场中运动的轨迹为一组动态的内切圆。[例1]

(2023·杭州高三模拟)如图所示，磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直纸面向里，图中虚线为磁场的边界，其中bc段是半径为R的四分之一圆弧，ab、cd的延长线通过圆弧的圆心，Ob长为R。一束质量为m、电荷量为q的粒子，在纸面内以不同的速率从O点垂直ab射入磁场，已知所有粒子均从圆弧边界射出，其中M、N是圆弧边界上的两点，不计粒子间的相互作用和重力。则下列分析中正确的是(

)[答案]

D[解析]

粒子做逆时针的匀速圆周运动，根据左手定则，可知粒子带正电，A错误；[思维建模]1．模型适用条件：带电粒子进入匀强磁场的速度方向一定，进入磁场后做匀速圆周运动的半径不同。2．轨迹圆特点：轨迹圆相切于入射点，圆心在垂直于初速度方向的同一直线上。3．常见分析思路：以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作出粒子运动轨迹，从而探索出临界条件。1．(多选)如图所示，在边长为L的正方形区域abcd内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。从边ad的四等分点P处沿与ad边成45°角向磁场区域内射入速度大小不等的带电粒子，粒子的质量为m，电荷量为－q(q>0)。不计粒子重力，关于粒子的运动，下列说法正确的是(

)[对点训练]答案：BCD

解析：粒子的速度较大时，半径较大，粒子可能从ab边射出，粒子的速度较小时，半径较小，粒子可能从bc、cd、ad边射出，由对称性可知，粒子不可能从b点射出，故A错误；刚好从bc边射出的粒子即速度方向与bc边相切，偏转角为135°，所以要使粒子从bc边射出圆心角一定小于135°，故D正确。02模型(二)

“旋转圆”模型的应用当带电粒子进入匀强磁场的速度大小相同，速度方向不同时，所有带电粒子在磁场中运动的轨迹半径相同，各轨迹圆相交于入射点，相当于以入射点为圆心在旋转。[例2]如图所示，S为电子射线源，该电子射线源能在图示纸面360°范围内向各个方向发射速率相等的质量为m、带电量为e的电子，MN是一块足够大的竖直挡板且与S的水平距离OS＝L，挡板左侧充满垂直纸面向里的匀强磁场。(1)若电子的发射速率为v0，要使电子一定能经过点O，则磁场的磁感应强度B的条件？[解析]电子从点S发出后受到洛伦兹力作用在纸面上做匀速圆周运动，由于电子从同一点向各个方向发射，电子的轨迹构成绕S点旋转的一组动态圆，动态圆的每一个圆都是顺时针旋转，如图甲所示。[思维建模]1．模型适用条件：带电粒子进入匀强磁场的速度大小一定、方向不同。[对点训练]答案：BD

03模型(三)

“平移圆”模型的应用带电粒子进入匀强磁场的速度相同，但入射点的位置不同，粒子在磁场中运动的轨迹圆半径相同，相当于相同的圆沿磁场边界在磁场中平移。[答案]

BD[解析]

带正电的粒子向下偏转，根据左手定则可知匀强磁场的方向垂直纸面向外，故A错误；任意一点射入磁场，粒子的运动半径等于R，如图丙所示，由几何关系可知OIJF恒为一个菱形，OF∥IJ，所以所有的粒子都从F点射出，故B正确。[思维建模]1．模型适用条件：带电粒子进入匀强磁场的速度大小和方向均相同，但入射点在磁场边界的不同位置。2．轨迹圆特点：带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径相等，入射点位置不同，各轨迹圆通过平移能确定运动轨迹。[对点训练]答案：ABC04专题跟踪检测1．(2023·宁波高三模拟)(多选)2023年1月7日，中科院聚变大科学团队利用有“人造太阳”之称的全超导托卡马克大科学装置(EAST)，发现并证明了一种新的高能量约束模式，对国际热核聚变实验堆和未来聚变堆运行具有重要意义。其基本原理是由磁场约束带电粒子运动，使之束缚在某个区域内。如图所示，环状磁场的内半径为R1，外半径为R2，被束缚的带电粒子的比荷为k，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度，速度大小为v。中空区域中的带电粒子都不会穿出磁场的外边缘而被约束在半径为R2的区域内，则环状区域内磁场的磁感应强度大小可能是(

)答案：CD2.如图所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。在xOy平面内，从原点O处沿与x轴正方向夹角为θ(0<θ<π)的方向，发射一个速率为v的带正电粒子(重力不计)。则下列说法正确的是(

)A．若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短B．若v一定，θ越大，则粒子离开磁场的位置距O点越远C．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的角速度越大D．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间越短答案：A

答案：B

答案：ABD

答案：ABD

6．(2023·台州高三模拟)(多选)如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点。一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场，现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以不同的速率射入正方形内，下列说法中正确的是(

)答案：ACD

解析：如图所示，作出带电粒子以与Od成30°角的方向的速度射入正方形内时，刚好从ab边射出的轨迹①、刚好从bc边射出的轨迹②、从cd边射出的轨迹③和刚好从ad边射出的轨迹④。由从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场可知，A．对着圆心入射的质子，其出射方向的反向延长线一定过圆心B．对着圆心入射的质子，其在磁场中的运动时间最短C．所有质子都在磁场边缘同一点射出磁场D．所有质子在磁场中做圆周运动的半径都相同答案：ACD

再假设从任意点E水平射入的质子，其做匀速圆周运动的圆心为D，由几何知识可知四边形DEOC是菱形，所以DC＝OE＝R，所以从任意点水平入射的质子也从O点的正下方C点射出，故C正确；质子在磁场中做圆周运动的速率v相同，质子运动轨迹越长，质子的运动时间越长，对着圆心入射的质子运动轨迹不是最短，因此对着圆心入射的质子在磁场中的运动时间不是最短的，故B错误；根据以上分析可知，所有质子在磁场中做圆周运动的半径都相同，故D正确。8．一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，其边界如图中虚线所示，ab为半径为R的半圆，ac、bd与直径ab共线，a、c间的距离等于半圆的半径R。一束质量均为m、电量均为q的带负电的粒子，在纸面内从c点垂直于ac以不同速率射入磁场，不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是(

)答案：D

9.(多选)某个粒子分析装置的简化示意图如图所示，在垂直纸面向外的匀强磁场(未画出)中，有一圆心为O、半径为R的圆形无磁场区域，在圆形边界的P点处有一α粒子发射源，可在图示∠GPH＝90°范围的方向上在纸面内随机向磁场区域发射速度大小相同的α粒子，在圆经过P点的直径上，固定一长度为2R的荧光挡板，α粒子击中荧光挡板后被吸收并发出荧光。答案：AD

10.如图所示，真空中宽为d的区域内有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为－q的粒子以与CD成θ角的速度v0垂直射入磁场中。要使粒子能从EF射出，则初速度v0应满足什么条件？EF上有粒子射出的区域有多大？解析：作出一组“膨胀的动态圆”，如图甲所示，当入射速度较小时，粒子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出，速率越大，轨道半径越大；当轨道与边界相切时，粒子恰好不能从右边界射出；当速率大于这个临界值时，粒子可从右边界射出，依此画出临界轨迹，借助几何知识即可求解速度的临界值。对于射出区域，只要找出上下边界即可。粒子从A点进入磁场后受洛伦兹力做匀速圆周运动，11．如图所示，在坐标系xOy的第一、二象限内有一磁感应强度大小B＝0.075T的有界匀强磁场区域，边界Ⅰ为圆形，其圆心P坐标为(0,0.08m)、半径R＝0.1m，边界Ⅱ形状未知。在磁场左侧存在宽度为0.18m的线状粒子源MN(最下端N位于x轴)，以平行于x正方向均匀地发射速度大小v＝6×105m/s的带正电粒子，经有界磁场偏转后，(1)粒子在磁场中的运动半径r；(2)从最上端M点发射的粒子恰好进入有界磁场，求粒子在磁场中的运动时间(保留两位有效数字)；(3)有界磁场边界Ⅱ的轨迹方程。由几何关系得x2＋y2＋0.082＝0.12解得x2＋y2＝0.062(y≥0)，边界Ⅱ是以O为圆心，半径为6cm的x轴正上方的半圆。答案：(1)0.08m

(2)3.3×10－7s(3)x2＋y2＝0.062(y≥0)1