高中数学培优讲义练习（必修一）：专题1.9 全称量词与存在量词-重难点题型精讲（教师版）

专题1.9全称量词与存在量词-重难点题型精讲1．全称量词与全称量词命题2.存在量词与存在量词命题3．全称量词命题与存在量词命题的否定(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题．(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题．4．命题的否定与原命题的真假一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假．【题型1全称量词命题与存在量词命题的理解】【方法点拨】判定命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称量词命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．【例1】（2021秋•普宁市校级月考）下列命题中全称量词命题的个数为（）①正方形的对角线互相平分；②每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；③存在一个菱形，它的四条边不相等．A．0 B．1 C．2 D．3【解题思路】直接利用特称命题和全称命题的判定求出结果．【解答过程】解：对于①正方形的对角线互相平分，为全称量词命题；对于②每一个四边形的四个顶点在同一个圆上，为全称量词命题；③存在一个菱形，它的四条边不相等，为特称量词命题．故选：C．【变式1-1】（2021秋•临沂期中）下列命题中，是全称量词命题的是（）A．∃x∈R，x2≤0 B．当a＝3时，函数f（x）＝ax+b是增函数 C．存在平行四边形的对边不平行 D．平行四边形都不是正方形【解题思路】根据全称量词命题的定义进行判断即可．【解答过程】解：对于A，命题中含有表示存在量词的符号∃，故该命题为特称命题，所以A错误；对于B，命题不含有全称量词，故不是全称量词命题，故B错误；对于C，命题中的“存在”是存在量词，故该命题为特称命题，所以C错误；对于D，命题中的“都不是”属于全称量词，故该命题为全称量词命题，所以D正确；故选：D．【变式1-2】（2020秋•沧州期中）下列命题是全称量词命题的是（）A．有一个偶数是素数 B．至少存在一个奇数能被15整除 C．有些三角形是直角三角形 D．每个四边形的内角和都是360°【解题思路】直接利用全称命题和特称命题的定义判断即可．【解答过程】解：A，有一个，存在性量词，特称命题，B，至少存在一个，存在性量词，特称命题，C，有些，存在性量词，特称命题，D，每个，全称量词，全称命题，故选：D．【变式1-3】（2021秋•苍南县校级月考）下列命题中（1）有些自然数是偶数；（2）正方形是菱形；（3）能被6整除的数也能被3整除；（4）对于任意x∈R，总有1x存在量词命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解题思路】根据全称量词命题和存在量词命题的定义，判断即可．【解答过程】解：对于（1），有些自然数是偶数，含有存在量词“有些”，是存在量词命题；对于（2），正方形是菱形，可以写成“所有的正方形都是菱形”，它是全称量词命题；对于（3），能被6整除的数也能被3整除，可以写成“所有能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；对于（4），对于任意x∈R，总有1x所以存在量词命题的序号是（1），有1个．故选：B．【题型2全称量词命题与存在量词命题的真假】【方法点拨】判断全称量词命题真假的方法：要判定一个全称量词命题为真命题，需要进行推理证明，或用前面已经学过的定义、定理作证明，而要判断其为假命题，只需举出一个反例即可．判断存在量词命题真假的方法：判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的真假性的关键是探究集合M中x的存在性．若找到一个元素x∈M，使p(x)成立，则该命题是真命题；若不存在x∈M，使p(x)成立，则该命题是假命题．【例2】（2022春•荆州校级月考）下列结论中正确的是（）A．∀n∈N*，2n2+5n+2能被2整除是真命题 B．∀n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除是真命题 C．∃n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除是真命题 D．∃n∈N*，2n2+5n+2能被2整除是假命题【解题思路】举例说明n＝1时2n2+5n+2不能被2整除，n＝2时2n2+5n+2能被2整除，从而得出结论．【解答过程】解：当n＝1时，2n2+5n+2不能被2整除，当n＝2时，2n2+5n+2能被2整除，所以A、B、D错误，C项正确．故选：C．【变式2-1】（2021秋•武汉期末）下列命题为真命题的是（）A．对每一个无理数x，x2也是无理数 B．存在一个实数x，使x2+2x+4＝0 C．有些整数只有两个正因数 D．所有的质数都是奇数【解题思路】根据含有量词的命题的真假进行判断即可．【解答过程】解：A．若x=2，则x2＝2是有理数，故AB．∵x2+2x+4＝（x+1）2+3≥3，∴存在一个实数x，使x2+2x+4＝0错误．C．∵2＝1×2，∴有些整数只有两个正因数正确，D.2是质数，但2不是奇数，故D错误，故选：C．【变式2-2】（2022春•丰城市校级期中）下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，4x0+1＝0 C．∀x∈R，x2﹣1＝0 D．∀x∈R，x2﹣2x+2≥0【解题思路】根据全称命题和特称命题的定义进行推理和证明即可．【解答过程】解：若1＜4x0＜3，得14＜x0＜34，则x0∉由4x0+1＝0得x0=−14，则x0∉z由x2﹣1＝0得x＝±1，故C错误，x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1≥0恒成立，故D正确，故选：D．【变式2-3】（2022春•罗甸县校级月考）下列命题中是假命题是（）A．∀x∈R，|x|+1＞0 B．∃x∈R，1|x|+1＝C．∃x∈R，|x|＜1 D．∀x∈N*，（x﹣1）2＞0【解题思路】根据∀x∈R，|x|≥0，可判断A，给x取值可判断BCD．【解答过程】解：因为∀x∈R，|x|≥0，所以∀x∈R，|x|+1＞0恒成立，所以A为真命题；取x＝1，满足1|x|+1＝2，所以取x＝0.1，满足|x|＜1，所以C为真命题；取x＝1∈N*，不满足（x﹣1）2＞0，所以D为假命题．故选：D．【题型3根据命题的真假求参数】【方法点拨】(1)全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．(2)存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．【例3】（2021春•泰安期末）已知命题p：∃x0＞0，x0+a﹣1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）【解题思路】由p为假命题，得￢p为真命题，即：∀x＞0，x+a﹣1≠0，则x≠1﹣a，由此可得a的取值范围．【解答过程】解：∵p为假命题，∴￢p为真命题，即：∀x＞0，x+a﹣1≠0，即x≠1﹣a，∴1﹣a≤0，则a≥1．∴a的取值范围是[1，+∞）．故选：D．【变式3-1】（2020秋•普宁市期中）若命题p：∀x∈R，x2﹣2x+m≠0是真命题，则实数m的取值范围是（）A．m≥1 B．m＞1 C．m＜1 D．m≤1【解题思路】命题p：∀x∈R，x2﹣2x+m≠0是真命题，则m≠﹣（x2﹣2x），利用二次函数的单调性求出其最大值即可得出．【解答过程】解：命题p：∀x∈R，x2﹣2x+m≠0是真命题，则m≠﹣（x2﹣2x），∵﹣（x2﹣2x）＝﹣（x﹣1）2+1≤1，∴m＞1．∴实数m的取值范围是（1，+∞）．故选：B．【变式3-2】（2022•四川模拟）若“∃x∈[﹣1，m]（m＞﹣1），|x|﹣1＞0”是假命题，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，1） B．（﹣1，1] C．[1，+∞） D．[0，1]【解题思路】由|x|﹣1＞0，解得x＞1或x＜﹣1．由“∃x∈[﹣1，m]（m＞﹣1），|x|﹣1＞0，可得m＞1．利用“∃x∈[﹣1，m]（m＞﹣1），|x|﹣1＞0”是假命题，即可得出．【解答过程】解：由|x|﹣1＞0，解得x＞1或x＜﹣1．∵“∃x∈[﹣1，m]（m＞﹣1），|x|﹣1＞0，∴m＞1．∵“∃x∈[﹣1，m]（m＞﹣1），|x|﹣1＞0”是假命题，∴﹣1＜m≤1．故选：B．【变式3-3】（2021秋•黄石月考）已知命题“存在x∈{x|﹣2＜x＜3}，使得等式2x﹣m＝0成立”是假命题，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4]∪（6，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪（6，+∞） C．（﹣∞，﹣4）∪[6，+∞） D．（﹣∞，﹣4]∪[6，+∞）【解题思路】根据条件，可得“任意x∈{x|﹣2＜x＜3}，都有等式2x﹣m≠0成立”是真命题，然后求出m的取值范围即可．【解答过程】解：命题“存在x∈{x|﹣2＜x＜3}，使得等式2x﹣m＝0成立”是假命题，所以它的否定命题“任意x∈{x|﹣2＜x＜3}，都有等式2x﹣m≠0成立”是真命题，即m≠2x，所以m≤﹣4或m≥6，即实数m的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[6，+∞）．故选：D．【题型4全称量词命题与存在量词命题的否定】【方法点拨】对全称量词命题否定的两个步骤：①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)eq\o(→,\s\up7(改为))存在量词(∃)．②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．对存在量词命题否定的两个步骤：①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)eq\o(→,\s\up7(改为))全称量词(∀)．②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．【例4】（2022春•阿勒泰地区期末）全称命题：∀x∈R，x2+5x＝4的否定是（）A．∃x∈R，x2+5x＝4 B．∀x∈R，x2+5x≠4 C．∃x∈R，x2+5x≠4 D．以上都不正确【解题思路】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答过程】解：∵全称命题的否定是特称命题，∴∀x∈R，x2+5x＝4的否定是：∃x∈R，x2+5x≠4．故选：C．【变式4-1】（2021秋•荷塘区校级期末）命题“∃x∈R，使x＞1”的否定是（）A．∀x∈R，都有x＞1 B．∃x∈R，使x＜1 C．∀x∈R，都有x≤1 D．∃x∈R，使x≤1【解题思路】根据命题“∃x∈R，使得x＞1”是特称命题，其否定为全称命题，即∀x∈R，使得x≤1，从而得到答案．【解答过程】解：∵命题“∃x∈R，使得x＞1”是特称命题∴否定命题为：∀x∈R，使得x≤1故选：C．【变式4-2】命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．∃x∈R，x3﹣x2+1≥0 B．∃x∈R，x3﹣x2+1＞0 C．∃x∈R，x3﹣x2+1≤0 D．∀x∈R，x3﹣x2+1＞0【解题思路】将量词否定，结论否定，可得结论．【解答过程】解：将量词否定，结论否定，可得∃x∈R，x3﹣x2+1＞0故选：B．【变式4-3】（2021•衡阳县校级四模）设x∈Z，集合A为偶数集，若命题p：∀x∈Z，2x∈A，则￢p（）A．∀x∈Z，2x∉A B．∀x∉Z，2x∈A C．∃x∈Z，2x∈A D．∃x∈Z，2x∉A【解题思路】根据全称命题的否定是特称命题进行判断．【解答过程】解：全称命题的否定是特称命题，∴￢p：∃x∈Z，2x∉A．故选：D．【题型5命题否定的真假判断】【方法点拨】(1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真.【例5】写出下列命题的否定，并判断真假．（1）正方形都是菱形；（2）∃x∈R，使4x﹣3＞x；（3）∀x∈R，有x+1＝2x；（4）集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．【解题思路】逐一写出并判断【解答过程】解：（1）命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．（2）命题的否定：∀x∈R，有4x﹣3≤x．因为当x＝2时，4×2﹣3＝5＞2，所以“∀x∈R，有4x﹣3≤x”是假命题．（3）命题的否定：∃x∈R，使x+1≠2x．因为当x＝2时，x+1＝2+1＝3≠2×2，所以“∃x∈R，使x+1≠2x”是真命题．（4）命题的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命题．【变式5-1】（2021秋•邹城市期中）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，请写出它们的否定，并判断其真假：（Ⅰ）p：对任意的x∈R，x2+x+1≠0都成立；（Ⅱ）q：∃x∈R，使x2+3x+5≤0．【解题思路】判断命题是特称命题还是全称命题，然后利用否定形式写出命题的否定，进而判断真假即可．【解答过程】解：（Ⅰ）由于命题中含有全称量词“任意的”，因此，该命题是全称量词命题．又因为“任意的”的否定为“存在一个”，所以其否定是：存在一个x∈R，使x2+x+1＝0成立，即“∃x∈R，使x2+x+1＝0．”因为Δ＝﹣3＜0，所以方程x2+x+1＝0无实数解，此命题为假命题．（Ⅱ）由于“：∃x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，因此，该命题是存在量词命题．又因为“存在一个”的否定为“任意一个”，所以其否定是：对任意一个实数x，都有x2+3x+5＞0成立．即“∀x∈R，有x2+3x+5＞0”．因为Δ＝﹣11＜0，所以对∀：x∈R，x2+3x+5＞0总成立，此命题是真命题．【变式5-2】（2021秋•广平县校级期中）判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：（1）∀x∈N，x3＞x2；（2）所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；（3）∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0；（4）存在一个四边形，它的对角线互相垂直．【解题思路】（1）全称命题，为假命题．（2）全称命题，为假命题．（3）特称命题，假命题．（4）特称命题真命题．【解答过程】解：（1）全称命题，当x＝0时，结论不成立，所以为假命题．命题的否定：∃x∈N，x3≤x2（2）全称命题，所有可以被5整除的整数，末位数字都是0或5；为假命题．命题的否定：存在可以被5整除的整数，末位数字不都是0；（3）特称命题，x02﹣x0+1=(x0−12)2+34≥34，所以结论不成立，为假命题．命题的否定：（4）特称命题，菱形的对角线互相垂直，真命题．命题的否定：任意的四边形，它的对角线不互相垂直．【变式5-3】（2021秋•澄城县校级月考）判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明．（1）存在实数x，使得x2+2x+3≤0；（2）有些三角形是等边三角形；（3）方程x2﹣8x﹣10＝0的每一个根都不是奇数．【解题思路】判断命题的量词，根据特称命题和全称命题的定义和性质进行判断即可．【解答过程】解：（1）含有特称量词存在，命题为特称命题，命题的否定是：对任意一个实数x，都有x2+2x+3＞0；该命题为真命题．（2）含有特称量词有些，命题为特称命题，命题的否定是：所有的三角形都不是等边三角形；故命题为假命题．（3）含有全称量词每一个，命题为全称命题，命题的否定是：方程x2﹣8x﹣10＝0的至少有一个根是奇数．故命题为假命题．【题型6根据命题否定的真假求参数】【方法点拨】结合题目条件，根据命题的否定的真假与原命题的真假之间的关系进行转化求解，进而求出参数即可.【例6】（2022春•荆州期末）已知命题p：∀a∈R，一元二次方程x2﹣ax+1＝0有实根；若￢p是真命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣2，2） C．（﹣4，4） D．（﹣2，4）【解题思路】根据命题p与￢p的真假性相反得出p是假命题，利用Δ＜0求出a的取值范围．【解答过程】解：命题p：∀a∈R，一元二次方程x2﹣ax+1＝0有实根；若￢p是真命题，则命题p是假命题，所以一元二次方程x2﹣ax+1＝0没有实根；即Δ＝a2﹣4＜0，解得﹣2＜a＜2；所以实数a的取值范围是（﹣2，2）．故选：B．【变式6-1】（2022•香洲区校级学业考试）若命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0”的否定是假命题，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，3] B．（﹣1，3） C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【解题思路】由命题的否定是假命题，可得该命题是真命题，利用Δ＞0求得a的取值