2024年中考数学试题分类汇编：二次函数压轴题（20题）解析版

专题12二次函数压轴题（20题）

一、单选题

1.（2024.江苏无锡・中考真题）已知》是X的函数，若存在实数帆n（m<n）,当时，>的取值范

围是""我们将相称为这个函数的“r级关联范围例如：函数y=2x,存在m=1,

n=2,当14x<2时，2<><4,即/=2,所以14x42是函数y=2x的“2级关联范围”.下列结论：

①是函数y=-尤+4的“1级关联范围，，；

②0WxW2不是函数y=/的“2级关联范围”；

k

③函数y=-（^>o）总存在“3级关联范围”；

X

④函数,=-丁+2了+1不存在“4级关联范围”.

其中正确的为（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

【答案】A

【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质.

推出>=-x+4^Ei<x<3时，14y43,即f=l,即可判断①；推出y=x?在0WxW2时，0VyV4,即t=2,

即可判断②；③设当0<MVXV〃，贝朽

nm

k

—=3m

当函数y=4左>o）存在“3级关联范围”时:，整理得-仁=3,即可判断③；设根则

x左。mn

一=3n

{-

,，求出加

和”的值，即可判断④.

【详解】解：①当x=l时，y=-尤+4=3,当x=3时，y=-x+4=l,

"：a=-l<0,

随x的增大而减小，

y=—x+4在14x«3时，14y43,即r=l,

...1VXV3是函数y=-尤+4的“1级关联范围”；故①正确，符合题意；

②当x=0时，,=尤2=0,当x=2时，、=尤2=4,

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y=炉对称轴为y轴，a=l＞0,

.,.当xNO时，y随x的增大而增大，

y=Y在0«xV2时，04y44,即。=2,

...0VxV2是函数y=Y的“2级关联范围”，故②不正确，不符合题意;

@"：k>0,

该反比例函数图象位于第一象限，且在第一象限内，y随x的增大而减小.

kk

设当0〈小贝|—<yW—,

nm

k

—=3m

当函数＞=?左＞0）存在“3级关联范围”时＜n

k

—=3n

整理得：—=3,

mn

•左>0,0<m<x<n,

总存在工=3,

mn

函数＞=4左＞0）总存在“3级关联范围”；故③正确，符合题意;

X

④函数y=—丁+2%+1的对称轴为y=--=1,

•・"=—IvO,

・••当x＜1时，y随x的增大而增大,

T§im<x<n<l,贝U-m2+2m+1<y<-rr+2n+l,

-m2+2m+1=4m

当函数y=-Y+2x+1存在“4级关联范围”时,

—n2+2"+1=4"

m=—1—A/2

解得：

n=—1+5/2

•••一1一拒VxW-1+0是函数y=—丁+2尤+1的“4级关联范围”,

••・函数y=-f+2x+l存在“4级关联范围”，故④不正确，不符合题意；

综上：正确的有①③，

故选：A.

2.（2024.山东泰安.中考真题）如图所示是二次函数丫=加+及+。（"0）的部分图象，该函数图象的对称

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轴是直线x=l,图象与y轴交点的纵坐标是2,则下列结论：①2a+b=0；②方程依2+6尤+c=o一定有

3

一个根在-2和-1之间；③方程以2+灰+。-1=0一定有两个不相等的实数根；@b-a<2.其中，正确结

论的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】本题主要考查的是图象法求一元二次方程的近似值、抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数

的关系、二次函数与方程的关系等知识点，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关

键.

根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可.

【详解】解：•••抛物线的对称轴为直线x=l,

.•一=1,

2a

••b=-2a,

2a+b=0,故①正确；

:抛物线丁=依2+法+。（。彳0）的对称轴为直线》=1,与X轴的一个交点在2、3之间，

与x轴的另一个交点在-1、0之间，

方程a^+bx+c^0一定有一个根在-1和0之间，故②错误；

3

抛物线y=以2+—+。与直线y=,有两个交点，

/.方程+bx+c-^=O一定有两个不相等的实数根，故③正确；

:抛物线与x轴的另一个交点在-1,0之间，

••a—Z?+c<0,

图象与y轴交点的纵坐标是2,

c=2,

••Z?+2<0,

/.b-a>2.故④错误.

综上，①③正确，共2个.

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故选：B.

二、填空题

3.（2024.四川巴中.中考真题）若二次函数y=a?+bx+c（a>0）的图象向右平移1个单位长度后关于y轴

对称.则下列说法正确的序号为.（少选得1分，错选得0分，选全得满分）

①心2

a

②当3:VaW5士时，代数式储+〃_5。+8的最小值为3

22

③对于任意实数"?，不等式（2疗+6帆-。+620一定成立

④外石,%），%）为该二次函数图象上任意两点，且再<工2.当王+马+2>0时，一定有

【答案】①③④

【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，抛物线的平移，抛物线的增减性的应用，利用的应用二次

函数的性质是解本题的关键.

由二次函数y=◎2+6x+c（a>0）的图象向右平移1个单位长度后关于y轴对称.可得-霖+1=0,可得①

符合题意；由6=2〃，可得/+〃-56+8=5（a-l）2+3,结合可得②不符合题意；由对称轴为

直线尸-1,结合4>0,可得③符合题意；分三种情况分析④当花<-1〈尤2时，当-1<玉时，满足

国+%+2>0,当西<无2<-1时，不满足％+%+2>。，不符合题意，舍去，可得④符合题意；

【详解】解：..•二次函数广/+法+«>0）的图象的对称轴为直线彳=-奈

而二次函数>=依2+法+4。>0）的图象向右平移1个单位长度后关于y轴对称.

--+1=0,

2a

b

：.-=!,故①符合题意；

a

b=2a,

a2+b2-5b+S

—5a2—10〃+89

=5（tz-l）2+3,

35

*：-<a<~,

22

317

当“==时，°2+〃-5/?+8取最小值"，故②不符合题意；

24

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・•・对称轴为直线产-1,

*.*tz>0,

当时，函数取最小值4—Z?+C,

当％二加时，函数值为々/+Z?/n+c,

am12+bm+c>a—b+c,

・・・对于任意实数加，不等式a机2+匕口—a+bzo一定成立，故③符合题意；

当项<一1V%2时，

X]+电+2>0,

X2+1>—1-玉，

♦•>1<%，

当一1<玉<X2时，满足玉+工2+2>0,

:，玉+1</+1,

X<%，

当玉<%<T时，不满足％+%+2>0,不符合题意，舍去，故④符合题意；

综上：符合题意的有①③④；

故答案为：①③④.

4.（2024.黑龙江大庆•中考真题）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称

为“倍值函数”，该点称为“倍值点”.例如：“倍值函数"y=3x+l,其“倍值点”为（-1，-2）.下列说法不F

颈的序号为.

①函数y=2尤+4是“倍值函数”；

Q

②函数y=：的图象上的“倍值点”是（2,4）和（-2,-4）；

14

③若关于％的函数）=（加-1）%2+侬+1根的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是根<-；

④若关于x的函数y=f+（7〃-左+2〃+£-5的图象上存在唯一的“倍值点”，且当-1W%W3时，W的最小

值为总则女的值为土好.

2

【答案】①③④

【分析】本题考查了新定义问题，二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函

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数的性质，二次函数的最值问题.根据“倍值函数”的定义，逐一判断即可.

【详解】解：①函数y=2x+4中，令y=2x,则2x=2x+4,无解，故函数y=2x+4不是“倍值函数”，故

①说法错误；

OQ

②函数y=2中，令y=2%,则2x二一，

解得x=2或x=—2,

经检验X=2或x=-2都是原方程的解,

Q

故函数y的图象上的“倍值点”是（2,4）和（-2,-4）,故②说法正确；

③在y=（加-1）/+如+；加中，

令y=2x,贝（J2%=（机一+^^十；相，

整理得（根—I）/+（m-2）x+-^-m=0,

:关于X的函数y=（〃?-1）X2++；〃7的图象上有两个“倍值点”,

4

解得机且根W1,故③说法错误;

nk,

④在y=x2+（加一%+2）x-i------中，

42

令3=2%,贝！j2%=f+（加一%+2）%+/一亨

nk

整理得f+（机-左）x-\--------=0,

42

:该函数的图象上存在唯一的“倍值点”,

nk

.•.,=（m-%）2-4x=0,

4-2

整理得〃=（加一%丫+2左，

「・对称轴为相=左，此时〃的最小值为2左,

根据题意分类讨论,

-l<k<3

n^n=2k=k，解得k=0；

k>3

无解;

2

«nun=（3-k）+2k=k

k<-l‘解得人¥或心乎

（舍去）,

2

«mi„=（-l-k）+2k=k

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综上，上的值为0或土好，故④说法错误；

2

故答案为：①③④.

5.（2024.四川南充・中考真题）已知抛物线6：丫=犬+〃吠+川与苫轴交于两点八，B（A在B的左侧），抛

物线C2：y=x2+n%+〃（根4〃）与x轴交于两点C,£）（C在。的左侧），且AB=CD.下列四个结论：①G

与C?交点为（-U）；@m+n=4；③20；④A,。两点关于（-1,0）对称.其中正确的结论是—.（填

写序号）

【答案】①②④

【分析】由题意得/+/蛆+加=/+依+〃，根据〃件〃可以判断①；令尸0求出XL""，j"

2

x=-n士4a,由AB=CO可以判断②；抛物线G：V=/+«?x+机与无轴交于两点A,B（A在8的

2

左侧），抛物线G：y=/+〃x+九（相二九）与x轴交于两点c,。（C在。的左侧），根据根的判别式得出根<o

或〃?>4,〃<0或">4,可以判断③，利用两点间的距离可以判断④.

【详解】解：①由题意得％2+njx+m=x2+nx+rif

[m-n)x=n-m,

；H2W〃，

当％二一1时，y=lf

・・・。1与6交点为（-1」），故①正确,

当y=o时，尤2+血+〃？=0,解得尤=-"吐’/—4:咒

2

—m+y/m1-4m—m-y/m2-4m

・・・AB==yjm2-4m,

22

当y=0时，%2+nx+n=0,解得x="'"

2

—/+J/—4几—n—yjn1—4n

：.CD=

22

•:AB=CD,

,,,府—4m=J/_4zz，即覆—4m=n2—4M，

Am2-n2=4m-4n,则有：(m+n)(m-n)=4(m-n),

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m+n=4,故②正确;

③•・•抛物线G：y=必+鹿：+m与x轴交于两点A,B（A在与的左侧），抛物线。2：y=%2+加+〃（相。〃）与

X轴交于两点c,D（C在。的左侧）,

=m2-4m>0,=—4〃>0,

解得："zvO或〃t>4,〃v0或几>4,

由②得相+〃=4,

m=4—n,

当机<0时，〃〉4,或当相〉4时，n<0,

mn<0,故③错误;

④由①得：x2wc+m=0,解得x=-〃2±册=”

+t2

TA在3的左侧，C在。的左侧,

-m-y/m2-4m）-m+ylm2-4m一n—Jn2-4n、一〃+J/一4几、

・•・A---------2---------'°，B,0,C,0,D,0,

222

\77

m=4—n,

一（4一〃）一^（4-n）2-4（4-n）、

A,0,整理得：A,0,

22

7

7

-4+九--4〃+-〃+dn2-An

-------------------二—2,

22

・••由对称性可知：A,。两点关于（-1,0）对称，故④正确;

综上可知：①②④正确,

故答案为：①②④.

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，根的判

别式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键.

三、解答题

6.（2024.黑龙江大兴安岭地.中考真题）如图，抛物线丁=-/+灰+。与x轴交于A、8两点，与y轴交于

点C,其中8（1,0）,C（0,3）.

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(1)求抛物线的解析式.

(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P,使得aPC的面积最大.若存在，请直接写出点P坐标和△APC

的面积最大值；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴y=-X?-2x+3

、

(2)存在，点尸的坐标是「卜(了31了5.△APC的面积最大值是2令7

【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质以及与几何综合：

(1)将8,C两点坐标代入函数解析式，求出b,。的值即可；

(2)过点尸作PEA轴于点E,设尸伍-/-2x+3),且点尸在第二象限，根据SAPC-SAPE+，梯形PCOE-SAOC

可得二次函数关系式，再利用二次函数的性质即可求解.

【详解】(1)解：将5(1,0),C(0,3)代入y=—f+"+c得,

J—l+Z?+c=0

[c=3

[b=-2

解得：Q

[c=3

y———2x+3

(2)解：对于y=-"2x+3,令y=0,贝!]一/一2犬+3=0,

解得，%=一3,々=1,

・•.A(-3,0),

OA=3,

*/C(0,3),

OC=3,

过点P作PELx轴于点E,如图，

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设尸（尤,-炉-2尤+3）,且点尸在第二象限,

OE=—X,AE=3+x,

・・SAPC=SAPE+S梯形PC0E-SAOC

；（兀）（一兀）（兀）（一兀）一

=3+2—2%+3+^3—2-2%+3-x3x3

2

；.S有最大值，

（、

.♦•当冗=一93时，S有最大值，最大值为?27，此时点尸的坐标为-不3，彳15

7.（2024.山东潍坊.中考真题）在光伏发电系统运行时，太阳能板（如图1）与水平地面的夹角会对太阳辐

射的接收产生直接影响.某地区工作人员对日平均太阳辐射量》（单位：kW-h-lO'.m-d1）和太阳能

板与水平地面的夹角x°（0<x<90）进行统计，绘制了如图2所示的散点图，已知该散点图可用二次函数刻

画.

y(30.49)

,・

•U0,4S)

10.40)

1020304050MlTilJUI却＜“)

mi用2

⑴求y关于1的函数表达式;

⑵该地区太阳能板与水平地面的夹角为多少度时，日平均太阳辐射量最大？

⑶图3是该地区太阳能板安装后的示意图（此时，太阳能板与水平地面的夹角使得日平均太阳辐射量最大）,

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ZAGD为太阳能板48与水平地面G。的夹角，CO为支撑杆.已知Afi=2m,C是A5的中点，CDJ_GD.在

GD延长线上选取一点在两点间选取一点E,测得EN=4m,在两点处分别用测角仪测得

太阳能板顶端A的仰角为30。，45°,该测角仪支架的高为1m.求支撑杆8的长.（精确到0.1m,参考数

据：V2«1.414,V3®1.732)

i3

【答案】⑴尸——X2+-X+40

1005

(2)30°

(3)6.0

【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的图像和性质，解直角三角形，熟练掌

握二次函数的图像和性质是解题的关键.

（1）设y关于尤的函数表达式为y="2+6x+c,将图中的点代入即可求出答案；

（2）求出二次函数的对称轴，在对称轴处取最值；

（3）延长NF与过点A作的线交于点H,令FH=a,根据三角函数进行计算，求出

GC=AG-CA=4括+5即可得到答案.

【详解】（1）解：设〉关于x的函数表达式为＞="2+法+。,

将(0,40),(10,45),(30,49)代入,

40=。

得［45=100Q+10"C,

49=900a+30。+c

1

u=-------

100

3

解得。与，

c=40

y=———x2+—X+4Q；

1005

3

bq

（2）解：根据函数解析式得函数对称轴》=-丁=--f—=30,

故阳能板与水平地面的夹角为30度时，日平均太阳辐射量最大;

131

(3)解：y=------X2+-X+4Q=-----(九一30)2+49,

1005100

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延长N5与过点A作A"，GN的线交于点“，令FH=a,

AH=a,AN=2AH=2a,

/.HN=y]AN2-AH2=耳=1.7〃，

HN=HF+FN=4+af

y/3ci=4+a,

/.a—2^/3+2,

A/V=4g+4,

延长AN交GM与J点，

ZAJG=ZAGJ,

AJ=AG,

NM人值/

AJ=AN+---------=4。3+6,

cos60°

AG=4A/3+6,

GC=AG-CA=4A/3+5,

CD=CGsin30°=—=-+2^^2.5+2x1.732«=6.0.

22

图3

8.(2024.四川雅安・中考真题)在平面直角坐标系中，二次函数y=a?+bx+3的图象与x轴交于4(1,0),

3(3,0)两点，与y轴交于点C.

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⑴求二次函数的表达式；

⑵如图①，若点尸是线段BC上的一个动点(不与点2,C重合)，过点P作y轴的平行线交抛物线于点。，

当线段P。的长度最大时，求点。的坐标；

(3)如图②，在(2)的条件下，过点。的直线与抛物线交于点Z),且NCQO=2NOCQ.在y轴上是否存在

点E，使得二皮汨为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（l）y=f-4x+3

⑵。

⑶存在，点E（0,8+743）或（0,8-而）或（0,5）或（0,病）或（0,-759）

【分析】(1)由待定系数法即可求解；

(2)由=—x+3—(x?—4x+3)=—x?+3x,即可求解；

(3)先求出点。(5,8),再分类求解即可.

【详解】(1)解：由题意得：y=a(无一1)(*一3)=。(三一4》+3)=依2+法+3,

则4=1,

则抛物线的表达式为：y=/-4x+3；

(2)解：由抛物线的表达式知，点C(0,3),

由点2、C的坐标得，直线CB的表达式为：丫=-尤+3,

设点Q(x,V-4x+3),则点尸(x,-x+3),

贝"尸。=_尤+3—（尤2—4x+3）=-x2+3x,

V-l<0,故PQ有最大值,

33

此时x=则丁=%2_以+3=一二，

24

33、

即点。2,-4r

(3)解：存在，理由:

设直线CQ的表达式为y=mx+nf

335

--——TYl+¥1m=——

由点CQ的坐标得，42,解得:2,

3=n〃=3

•••直线CQ的表达式为：y=-1.r+3,

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I6，故咕小

令y=0,x=

5

过点。作TQ〃y轴交X轴于点T,则Z.TQC=ZQCO,

QNCQD=2ZOCQ,Z.TQC=ZQCO,

即直线CQ和。2关于直线QT对称，故

设直线DQ的表达式为y=dx+c,

33」

——=—a+c

3_342

代入。,得,

2，-49

0——d+c

5

解得："I

9

2

59

则直线。。的表达式为:y=—x——

22

联立上式和抛物线的表达式得：x2-4x+3=j5x-j9,

3

解得：x=5(舍去)或5,

即点。(5,8)；

设点E(O,y),由民的坐标得，BD-=68,DE2=25+(y-8)2,B£2=9+/,

当=时，则68=25+(y-8)2,

解得：y=8±V43,即点E(0,8+屈)或E(0,8-A)；

当DE=BE或=5E时，

同理可得：25+(y-8)2=9+y2或9+9=68,

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解得：y=5或土病,

即点E（0,5）或（0,屈）或（0,-回）；

综上，点£（0,8+履）或（0,8-回）或（0,5）或（0,屈）或（0,-屈）.

【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的

思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.

9.（2024・四川巴中・中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线丁=改2+乐+3.力0）经过A（T,0）,3（3,0）两

（1）求抛物线的表达式.

（2）如图1,过点P作PDLx轴，交直线BC于点E,若PE=2ED,求点P的坐标.

（3）如图2,连接AC、PC、AP,AP与BC交于点G,过点P作尸尸〃AC交2C于点尸.记ACG、PCG、

PGF的面积分别为外邑、邑.当含+[取得最大值时，求sin/BCP的值.

【答案】⑴y=+2尤+3

（2）P（2,3）

小、3M

⑶何

【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；

（2）令x=0时，y=-x2+2x+3=3,求出C（0,3）,进一步求出直线BC的解析式为y=—x+3,设

P（m,-m2+2m+3）,贝!]PD=_加+2〃z+3,表示出-m+3）,£＞（m,0）,利用尸E=2£D,可得利=2,

可得P（2,3）；

邑S,2PF

（3）由PF〃AC得至UACGsPFG,进而得到肃+苦=丁，作AN〃3C交y轴于N,作PQ〃'轴交3C

2KJ]2*,

于。，求出直线AN的解析式为产-》-1,进而得到N（0,-l）,求出C7V=4,再证明-C4Ns,尸产Q,设

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-«2+2«+3）,则Q（〃,一"+3）,得至IJPQ=-/+3”，得至ij区+色=把=一![一3]+2,

即可得到

S2S]AC212）8

31533，求出尸0=5—3=：，°。=

此时，点尸的坐标为,点Q的坐标为|-3

25Z292

oc

证明.WQsjvc队得到NBCP=NC4B,由sinNBC?=sinNC4B=——即可求出答案.

AC

【详解】（1）解：；抛物线广加+法+3（"0）与x轴交于点A（T,O）,3（3,0）,

J〃-/?+3=0

[9a+3Z?+3=0

a=-1

解得:

b=2

抛物线解析式为.y=-x2+2x+3；

（2）解：,•当x=0时，y=-x2+2x+3=3,

.*.C（0,3）,

设直线BC的解析式为y^kx+n,

.13左+〃=0

[n=3

[k=—l

解得：。,

[n=3

直线BC的解析式为y=f+3,

2

设尸（见-荷+2m+3）,则PD=-m+2m+3,

•.•尸轴于点。，

,D（m,0）,

DE=—m+3,

PE'=P£）-D£,=—m2+2m+3-（-m+3）=—m2+3m,

•:PE=2ED,

-m2+3m=2（-m+3）,

解得叫=2,加2=3（此时B,。重合，不合题意舍去）,

m=2,

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・•・尸（2,3）；

(3)解：VPF//AC,

ACGS_PFG,

ACAGCG

PF-PG-FG

GF_PFS2PG_PF

CGAC'IAGAC

S2_2PF

作AN〃5C交y轴于N,作PQ〃，轴交3C于Q,

直线3C的解析式为y=-x+3,AN//BC,

「•直线AN的解析式为＞=—x+b',

将A（-l,O）代入y=—X+//,得：0=_（_1）+少,

解得：b=-If

直线AN的解析式为y=-x-l,

当x=0时，yN=-l,

・•.N(O,-1),

JON=1,CN=ON+CO=4,

AN//BC,PQ//y,

：.ZPQF=ZNCB=ZANC,ZPFC=ZACFf

•：ZPFC=ZFPQ+ZPQF,ZACF=ZNCB+ZACN,

：.ZFPQ=ZACN,

:・KANSdPFQ,

PFPQ

,AC-GV*

设尸(〃,—/+2〃+3),则Q(〃,-n+3),

PQ=—n2+3n,

邑+22PF2PQ-2n2+6nif3?9

--=-----=—n—H—

$2H~\C

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ON=OA=1,OB=OC=3,

:.ZOBC=ZANC=45°,

ZANC=ZPQFf

/.ZOBC=ZPQF,

BC=^(3-0)2+(0-3)2=372,AB=4,

9还

,PQ=CQ='=3人,

一法―京一丁，耘一^―-丁

,PQ=CQ

••BC-AB'

:.CPQSACB,

:.ZBCP=/CAB,

AC=^(-l-O)2+(O-3)2=Vio

../R3_.3_3回

..sin/BCP=sin^.CAB=----=~■-(==--------.

ACM10

【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、相似三角形的判定和

性质、二次函数的图象和性质、解直角三角形等知识，数形结合和准确计算是解题的关键.

10.(2024•江苏常州•中考真题)将边长均为6cm的等边三角形纸片ABC、叠放在一起，使点E、8分

别在边AC、DFk(端点除外)，边AB、EF相交于点G,边BC、DE相交于点H.

(1)如图1,当E是边AC的中点时，两张纸片重叠部分的形状是；

(2)如图2,若EF〃BC,求两张纸片重叠部分的面积的最大值；

(3)如图3,当AE>EC,时，AE与有怎样的数量关系？试说明理由.

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【答案】(1)菱形

力2

(2)-----cm

2

(3)AE=B尸，理由见解析

【分析】(1)连接BE,CD,由等边三角形的性质可得/ACB=/£/»=60。，则3、D、C、E四点共圆，

由三线合一定理得到ZB£C=9O。，则3c为过3、D、C、E的圆的直径，再由DE=3C=6cm,得到DE为

过3、D、C、E的圆的直径，则点”为圆心，据此可证明/6£6=/£»〃=/63£=/班”=30。，推出

四边形BHEG是平行四边形，进而可证明四边形3HEG是菱形，即两张纸片重叠部分的形状是菱形；

(2)由等边三角形的性质得到NABC=NOEF=NC=60。，AC=BC=6cm,则由平行线的性质可推出

/ABC=/CHE,进而可证明四边形BHEG是平行四边形，再证明△E"C是等边三角形，则可设

EH=CH=2xcm,贝！|8//=(6-2x)cm,HT=gcH=xcm,由勾股定理得到ET=《EH?-HT?=Arm，

2

可得S重叠=SMBHEC=BH-ET=-273[一I)+竽，则当X=3时，S群有最大值，最大值为竽cm；

(3)过点B作氏0_LAC于M,过点E作EN_LD产于N,连接BE,则AM=­V=!。尸=LAC=3cm,

22

EF=AB=6cm,BE=BE,证明EN=3M,进而可证明RtNBE^RtMEB(HL),得到NB=ME,则

FN+BN=AM+ME,即AE=BF.

【详解】(1)解：如图所示，连接BE,CD

；AABC,△DEF都是等边三角形，

ZACB=ZEDF=6O°,

:.B、D、C、E四点共圆，

:点E是AC的中点，

ZBEC=90°,

：.BC为过B、D、C、E的圆的直径，

又；DE=BC=6cm,

:.DE为过B、D、C、E的圆的直径，

六点〃为圆心，

：.EH=BH,

：.ZHBE=ZHEB=30°,

ZGEB=ZEBH=ZGBE=NBEH=30°,

BG//EH,BH//EG,

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，四边形BHEG是平行四边形,

又：EH=BH,

，四边形3HEG是菱形,

，两张纸片重叠部分的形状是菱形;

FG

B\/H^C

D

图1

（2）解：AABC,△£>砂都是等边三角形，

ZABC=ZDEF=ZC=60°,AC=BC=6cmf

丁EF//BC,

：./CHE=/DEF=60°,

NABC=NCHE,

：.BG〃EH,

・••四边形BHEG是平行四边形，

ZC=ZCHE=6O°,

：.△EHC是等边三角形，

过点E作ETLHC,

设EH=CH=2xcm,则BH=（6-2x）cm,HT-；CH=xcm,

ET=ylEH2-HT2=瓜cm，

,,,，重叠=§四边形3HEG=BH.ET=V3%（6-2x）

99

4~4

*.*-273<0,

...当尤=:时，S重叠有最大值，最大值为生8c疗;

22

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A

图2

(3)解：AE=BF,理由如下：

如图所示，过点3作3MLAC于过点E作硒JLDk于N,连接BE,

AABC,△。所都是边长为6cm的等边三角形，

/.AMFN=-DFAC^3cm,EF=AB=6cm,BE=BE

22

由勾股定理可得NE=4EF°-FN?=3病m，BM=\/AB2-AM2=36cm，

EN=BM,

又：BE=BE,

RtNBE^RtAffiB(HL),

NB=ME,

：.FN+BN=AM+ME,即AE=5/.

图3

【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，全等三

角形的性质与判定，勾股定理，四点共圆，正确作出辅助线是解题的关键.

11.（2024•江苏常州•中考真题）在平面直角坐标系宜为中，二次函数'=-/+打+3的图像与无轴相交

于点A、B,与y轴相交于点C.

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（1）OC=；

（2）如图，已知点A的坐标是（-1,0）.

①当且加＞1时，y的最大值和最小值分别是s、t,s-t=2,求根的值；

②连接AC,P是该二次函数的图像上位于y轴右侧的一点（点8除外），过点P作尸轴，垂足为。.作

ZDPQ=ZACO,射线尸。交y轴于点。，连接OQ、PC.若DQ=PC,求点P的横坐标.

【答案】⑴3

⑵①0+1;②1或，或7+万

24

【分析】（1）当x=0时，,=3,即0C=3；

（2）①先求出解析式为丁=-九2+2尤+3,可知对称轴为直线：x=l,当14x4加，且力＞1时，y随着力的

增大而减小，故当x=l,s=4,当％=加时，t=-m2+2m+3,由s—%=2得，4+m2-2m-3=2,解得

_AO1

m=1+也;②在RtACO中，可求tan/ACO=^=§,由题意得，DP//CQ,DQ=PC,四边形。PC。

为平行四边形或等腰梯形，当点尸在X轴上方，四边形QPCQ为平行四边形时，则PD=QC,则

tanZ.DPQ=tanZACO=tanZ1=,设FD=k,OF=n,贝|P£）=3匕OQ=3〃，贝13左=3+3〃，故〃=左+1,

贝IP（2左+1,3左），将点尸（2%+1,3。代入＞=-父+2戈+3,得一（2左+1）2+2（24+1）+3=33解得上=（,故

13

xP--x2+l--;当四边形OPCQ为等腰梯形时，贝iJPC=QD,过点P作尸E_Ly轴于点E,则CE=QO,

PE1

由℃+CE=QC+0O,得坐=0。=3,则^=[,设PE=p,则QE=3o,故3P=3,解得p=l,即与=1；

7QE3

OGDG1

当点尸在X轴下方抛物线上时，此时四边形。PC。为平行四边形，贝。而=益=§，设OG=e,Z）G=g,

则。。=3e,D尸=3g=QC,^OQ-OC=CQ,故3e-3=3g,BPg=^-l,可得尸（26-1,3-36）,将点尸

代入y=-f+2,X+3,得一（2e—iy+2（2e—l）+3=3—3e,解得e二"+巧或e二小阮（舍），因此