高中数学培优讲义练习（必修一）：集合间的基本关系-重难点题型检测（教师版）

专题1.4集合间的基本关系-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2021秋•凉州区校级月考）下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅⫋A，则A≠∅．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解题思路】∅是任何一个非空集合的真子集，∅只有一个子集，是它本身．【解答过程】解：在①中，空集的子集是空集，故①错误；在②中，空集只有一个子集，还是空集，故②错误；在③中，空集是任何非空集合的真子集，故③错误；在④中，若∅⫋A，则A≠∅，故④正确．故选：B．2．（3分）（2021秋•伊州区校级期末）下列集合中表示同一集合的是（）A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）} B．M＝{（x，y）|x+y＝1}，N＝{y|x+y＝1} C．M＝{4，5}，N＝{5，4} D．M＝{1，2}，N＝{（1，2）}【解题思路】分别对A，B，C，D进行分析，从而得出答案．【解答过程】解：对于A：（3，2），（2，3）不是同一个点，对于B：M是点集，N是数集，对于C：M，N是同一个集合，对于D：M是数集，N是点集，故选：C．3．（3分）（2022春•大兴区期中）已知集合A＝{1，2，3，4，5}，则A的含有2个元素的子集的个数是（）A．3 B．5 C．10 D．20【解题思路】根据集合的子集的定义判断即可．【解答过程】解：∵A＝{1，2，3，4，5}，从5个数中取2个数，有C5则A的含有2个元素的子集的个数是10个，故选：C．4．（3分）（2021秋•道里区校级月考）已知集合A＝{1，a，b}，B＝{﹣1，a2，b2}，若A＝B，则a+b＝（）A．1 B．0 C．﹣1 D．无法确定【解题思路】由A＝B，可知a＝﹣1或b＝﹣1，分情况分别求出b的值，再结合元素的互异性，即可求出结果．【解答过程】解：①当a＝﹣1时，a2＝1，∴b＝b2，∴b＝0或1，由元素的互异性可知，b≠1，∴b＝0，此时A＝B＝{1，﹣1，0}，符合题意．②当b＝﹣1时，b2＝1，∴a2＝a，∴a＝0或1，由元素的互异性可知，a≠1，∴a＝0，此时A＝B＝{1，﹣1，0}，符合题意．综上所述，a+b＝﹣1，故选：C．5．（3分）（2022•南平模拟）设集合A＝{x|﹣1≤x≤3}，集合B＝{x|x≥a}，若A⊆B，则a的取值范围为（）A．a≥3 B．﹣1≤a≤3 C．a≥﹣1 D．a≤﹣1【解题思路】由包含关系建立不等式得解．【解答过程】解：∵集合A＝{x|﹣1≤x≤3}，集合B＝{x|x≥a}，且A⊆B，∴a≤﹣1，故选：D．6．（3分）（2022•江苏模拟）已知集合M＝{1，4，x}，N＝{1，x2}，若N⊆M，则实数x组成的集合为（）A．{0} B．{﹣2，2} C．{﹣2，0，2} D．{﹣2，0，1，2}【解题思路】由N⊆M，分x2＝4或x2＝x两类讨论，再结合集合中元互异性即可求解．【解答过程】解：∵若N⊆M，∴x2＝4或x2＝x，∴x＝±2或x＝0或x＝1，又集合中元素具有互异性，∴x＝±2或x＝0，∴实数x组成的集合为{﹣2，0，2}故选：C．7．（3分）（2021秋•舒城县校级期中）已知集合A＝{x∈R|x2+x﹣6＝0}，B＝{x∈R|ax﹣1＝0}，若B⊆A，则实数a的值为（）A．13或−12 B．−13或12【解题思路】先求出A＝{﹣3，2}，根据B⊆A即可得出﹣3∈B，或2∈B，或B＝∅，从而得出﹣3a﹣1＝0，或2a﹣1＝0，或a＝0，解出a的值即可．【解答过程】解：A＝{﹣3，2}；∵B⊆A；∴﹣3∈B，或2∈B，或B＝∅；∴﹣3a﹣1＝0，或2a﹣1＝0，或a＝0；∴a=−13或故选：D．8．（3分）（2021秋•全州县校级期中）定义A*B＝{Z|Z＝xy+1，x∈A，y∈B}，设集合A＝{0，1}，集合B＝{1，2，3}，则A*B集合中真子集的个数是（）A．14 B．15 C．16 D．17【解题思路】先求出集合A*B＝{2，3，4}，由此能求出集合A*B的真子集的个数．【解答过程】解：∵A＝{0，1}，B＝{1，2，3}，∴A*B＝{Z|Z＝xy+1，x∈A，y∈B}＝{1，2，3，4}，则A*B集合中真子集的个数是24﹣1＝15个，故选：B．二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2021秋•河北月考）下列集合中，与{1，2}相等的是（）A．{4，(−2)0} B．{x∈C．{x|x2﹣3x+2＝0} D．{【解题思路】利用集合相等的定义直接判断．【解答过程】解：对于A，{4，(−2)0对于B，{x∈N||x|≤2}＝{0，1，2}，故B错误；对于C，{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，故C正确；对于D，{（x，y）|y=2xy=3−x}＝{（1，2）}≠{1，2}，故D故选：AC．10．（4分）给出下列四个集合，其中为空集的是（）A．{∅} B．{x∈R|x2+x+1＝0} C．{（x，y）|y=−1xy=x，x，y∈R} D．{x∈R【解题思路】利用空集的定义、一元二次方程、方程组、不等式的性质直接求解．【解答过程】解：对于A，表示由空集构成的集合，故A不是空集；对于B，集合中的元素为方程x2+x+1＝0的实根，∵Δ＝12﹣4＝﹣1＜0，∴方程x2+x+1＝0无实根，故B为空集；对于C，方程x=−1x无实数解，故对于D，不等式|x|＜0的解集是空集，故D为空集．故选：BCD．11．（4分）（2022春•增城区期末）以下满足{0，2，4}⊆A⫋{0，1，2，3，4}，则A＝（）A．{0，2，4} B．{0，1，3，4} C．{0，1，2，4} D．{0，1，2，3，4}【解题思路】集合A一定要含有0，2，4三个元素，且至少要多一个元素，多的元素只能从1、3中选，根据要求写出集合即可．【解答过程】解：A可以为{0，1，2，4}，{0，2，3，4}，{0，2，4}．故选：AC．12．（4分）（2021秋•湖北月考）定义：若集合A非空，且是集合B的真子集，就称集合A是集合B的孙子集．下列集合是集合B＝{1，2，3}的孙子集的是（）A．∅ B．{1} C．{1，2} D．{1，2，3}【解题思路】由题意写出集合B的孙子集，再进行判断即可．【解答过程】解：由题意可知集合B＝{1，2，3}的孙子集有{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，故BC正确，故选：BC．三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2021秋•临川区校级月考）若集合A＝{x|ax2﹣2ax+a﹣1＝0}＝∅，则实数a的取值范围是（﹣∞，0]．【解题思路】利用空集的定义，将问题转化为ax2﹣2ax+a﹣1＝0无解，分a＝0和a≠0两种情况，分别求解即可．【解答过程】解：因为集合A＝{x|ax2﹣2ax+a﹣1＝0}＝∅，所以ax2﹣2ax+a﹣1＝0无解，当a＝0时，方程无解，符合题意；当a≠0时，Δ＝（﹣2a）2﹣4a（a﹣1）＝4a＜0，解得a＜0．综上所述，a的取值范围为（﹣∞，0]．故答案为：（﹣∞，0]．14．（4分）（2022春•安徽期中）设集合A={x∈N|y=12x+3∈N}，则集合【解题思路】先求出集合A，再根据集合子集个数为2n个，求解即可．【解答过程】解：∵A={x∈N|y=∴集合A的子集个数为24＝16，故答案为：16．15．（4分）（2022春•尖山区校级期中）已知集合A＝{x∈R|2a≤x≤a+3}，B＝{x∈R|x＜﹣1或x＞4}．若A⊆B，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）．【解题思路】对集合A＝∅，A≠∅两种情况讨论，根据集合的子集关系建立不等式，由此即可求解．【解答过程】解：当A＝∅时，满足A⊆B，此时2a＞a+3，解得a＞3，当A≠∅时，要满足A⊆B，只需满足2a≤a+32a＞4或2a≤a+3解得2＜a≤3或a＜﹣4，综上，实数a的范围为（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）．16．（4分）（2021秋•安康期中）定义集合运算：A⊗B＝{z|z＝x+y，x∈A，y∈B}，设A＝{0，1}，B＝{2，3}，则集合A⊗B的真子集的个数为7．【解题思路】先求出集合A⊗B＝{2，3，4}，由此能求出集合A⊗B的真子集的个数．【解答过程】解：∵A⊗B＝{z|z＝x+y，x∈A，y∈B}，A＝{0，1}，B＝{2，3}，∴集合A⊗B＝{2，3，4}，∴集合A⊗B的真子集的个数为7．故答案为：7．四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2021秋•凉山州期末）已知集合A＝{x|x2+2x+m＝0}，是否存在这样的实数m，使得集合A有且仅有两个子集？若存在，求出所有的m的值组成的集合M；若不存在，请说明理由．【解题思路】由题意知集合A有且仅有一个元素，再转化为方程x2+2x+m＝0有两个相同的根，利用判别式Δ＝22﹣4m＝0求解．【解答过程】解：存在实数m满足条件，理由如下：若集合A有且仅有两个子集，则A有且仅有一个元素，即方程x2+2x+m＝0有两个相同的根，∴Δ＝22﹣4m＝0，解得m＝1．∴所有的m的值组成的集合M＝{1}．18．（6分）已知集合A＝{x|x2+4ax﹣4a+3＝0}，B＝{x|x2+（a﹣1）x+a2＝0}，C＝{x|x2+2ax﹣2a＝0}，其中至少有一个集合不为空集，求实数a的取值范围．【解题思路】关于“至少“至多”“不存在”等问题可考虑反面，本题的反面是A、B、C都是空集，由此能求出a的取值范围．【解答过程】解：假设集合A、B、C都是空集，对于A，元素是x，A＝∅，表示不存在x使得式子x2+4ax﹣4a+3＝0，所以Δ＝16a2﹣4（﹣4a+3）＜0，解得−32＜对于B，B＝∅，同理Δ＝（a﹣1）2﹣4a2＜0，解得a＞13或者对于集合C，C＝∅，同理Δ＝（2a）2+8a＜0，解得﹣2＜a＜0；三者交集为−32取反面即可得A、B、C三个集合至少有一个集合不为空集，∴a的取值范围是a≥﹣1或a≤−319．（8分）（2021秋•东莞市校级月考）定义A⊗B＝{z|z＝xy+xy，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0，2}，（1）求集合A⊗B的所有元素之和．（2）写出集合A⊗B的所有真子集．【解题思路】（1）分别将A，B中的元素代入，从而求出A⊗B中的元素，进而求出元素之和；（2）由（1）A⊗B＝{0，4，5，}，逐项写出即可．【解答过程】解：（1）A⊗B＝{0，4，5}，集合所有元素和9（2）∅，{0}，{4}，{5}，{0，4}，{0，5}，{4，5}共7种可能．20．（8分）（2021秋•山西期末）已知集合A＝{x|x2﹣ax+b＝0，a∈R，b∈R}．（1）若A＝{1}，求a，b的值；（2）若B＝{x∈Z|﹣3＜x＜0}，且A＝B，求a，b的值．【解题思路】（1）若A＝{1}，则1−a+b=0Δ=(−a)2−4b=0，由此能求出（2）由B＝{x∈Z|﹣3＜x＜0}＝{﹣2，﹣1}，且A＝B，得4+2a+b=01+a+b=0，由此能求出a，b【解答过程】解：（1）集合A＝{x|x2﹣ax+b＝0，a∈R，b∈R}．若A＝{1}，则1−a+b=0Δ=(−a解得a＝2，b＝1；（2）B＝{x∈Z|﹣3＜x＜0}＝{﹣2，﹣1}，且A＝B，∴4+2a+b=01+a+b=0解得a＝﹣3，b＝2．21．（8分）（2021秋•重庆月考）已知集合A＝{1，2，3}．（1）若M是A的子集，且至少含有元素3，写出满足条件的所有集合M；（2）若B＝{x|ax﹣3＝0}，且B⊆A，求实数a的取值集合．【解题思路】（1）利用列举法能求出满足条件的所有集合M．（2）当a＝0时，B＝∅，当a≠0时，B＝{3a}，此时3a=1或3a=【解答过程】解：（1）集合A＝{1，2，3}，M是A的子集，且至少含有元素3，∴满足条件的所有集合M为：{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}．（2）若B＝{x|ax﹣3＝0}，且B⊆A，∴当a＝0时，B＝∅，符合题意，当a≠0时，B＝{3a∴3a=1或3a解得a＝3或a=32或综上，实数a的取值集合为{0，