江苏省常州市金坛区2023-2024学年高二上学期期中数学试题（原卷版）

2023年秋学期高二期中质量调研数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效，3.考试结束后，将答题卡交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为（）A. B. C. D.2.若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（）A. B. C. D.且3.某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）．已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（）A. B. C. D.4.已知、，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）A B. C. D.或5.17世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明，方程(k>0，k≠1，a≠0)表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质：若从椭圆上任意一点P向长轴AB(异于A，B两点)引垂线，垂足为Q，则为常数.据此推断，此常数的值为（）A.椭圆的离心率 B.椭圆离心率的平方C.短轴长与长轴长的比 D.短轴长与长轴长比的平方6.已知椭圆C：上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且，，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.7.若方程有两个不等的实根，则实数b的取值范围为（）A. B. C. D.8.已知实数，满足，则取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率B.点关于直线的对称点为C.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2D.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为10.已知直线，圆，则（）A.直线恒过定点B.当直线与圆相切时，C.当时，直线被圆截得的弦长为D.当时，直线上存在点，使得以为圆心，为半径的圆与圆相交11.已知点P在圆上，点，，，则（）A. B.当面积最大时，C.当最小时， D.当最大时，12.在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.在平面直角坐标系中，动点到两个定点，的距离之积等于1，化简得曲线.则下列结论正确的是（）A.满足的点P有两个 B.的最小值为2C.的面积大于 D.的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若曲线是双曲线，则其焦距为______.14.若过点的直线l与圆交于A，B两点，则弦最短时直线l的方程为______.15.双曲线右顶点为A，点M，N均在C上，且关于y轴对称，若直线，的斜率之积为，则C的离心率为______.16.已知，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与C交于P，Q两点，若，则C的离心率是______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知两条直线，.设m为实数，分别根据下列条件求m的值.（1）；（2）直线在x轴与在y轴上的截距之积等于.18.在①焦点到准线的距离是，②准线方程是，③通径的长等于.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：在平面直角坐标系中，已知抛物线，______.（1）求抛物线的方程；（2）若过直线与抛物线相交于点、，求证：是直角三角形.注；如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.19.瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的三个顶点为，，.（1）求外接圆的方程；（2）求欧拉线的方程.20.如图，已知的圆心在原点，且与直线相切.（1）求的方程；（2）点P在直线上，过点P引的两条切线、，切点为A、B.①求四边形面积的最小值；②求证：直线过定点.21.在直角坐标系中，直线是双曲线的一条渐近线，点在双曲线C上，设为双曲线上的动点，直线与y轴相交于点P，点M关于y轴的对称点为N，直线与y轴相交于点Q.（1）求双曲线C的方程；（2）在x轴上是否存在一点T，使得，若存在，求T点的